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3. (2025西安期末)如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=8,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是 (
C
)答案
3. C
解析
【分析】
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似），逐一分析各选项中的阴影三角形与原△ABC是否满足判定条件，排除相似的选项即可得到答案。已知原△ABC中∠A=80°，AB=8，AC=6，可结合这些已知条件对比判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠B，且阴影三角形内的80°角与原三角形的∠A=80°相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：阴影三角形与原△ABC有公共角∠C，且阴影三角形内的80°角与原三角形的∠A=80°相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：阴影三角形与原△ABC有公共角∠C，夹∠C的两边中，原三角形对应边为AC=6、BC，阴影三角形对应边为3、4，可得6/3=2，但BC长度未知，无法证明BC/4=2，不满足相似判定条件，故两三角形不相似，符合题意。
4. 选项D：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，夹∠A的两边中，阴影三角形对应边长为3、4，原三角形对应边长为AC=6、AB=8，计算得3/6=4/8=1/2，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的应用，解题时要找准图形中的公共角、对应边，结合已知条件逐一验证即可，注意用两边成比例判定相似时，相等的角必须是两组对应边的夹角。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的阴影三角形与△ABC是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似），逐一分析各选项中的阴影三角形与原△ABC是否满足判定条件，排除相似的选项即可得到答案。已知原△ABC中∠A=80°，AB=8，AC=6，可结合这些已知条件对比判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠B，且阴影三角形内的80°角与原三角形的∠A=80°相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：阴影三角形与原△ABC有公共角∠C，且阴影三角形内的80°角与原三角形的∠A=80°相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：阴影三角形与原△ABC有公共角∠C，夹∠C的两边中，原三角形对应边为AC=6、BC，阴影三角形对应边为3、4，可得6/3=2，但BC长度未知，无法证明BC/4=2，不满足相似判定条件，故两三角形不相似，符合题意。
4. 选项D：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，夹∠A的两边中，阴影三角形对应边长为3、4，原三角形对应边长为AC=6、AB=8，计算得3/6=4/8=1/2，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题核心是对相似三角形判定定理的应用，解题时要找准图形中的公共角、对应边，结合已知条件逐一验证即可，注意用两边成比例判定相似时，相等的角必须是两组对应边的夹角。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,D为BC上一点,$BC=\sqrt{3}AB=3BD$.若$AD=\sqrt{3}$,则$AC=$
（
A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$
（
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$
答案
4. B
解析
【分析】
首先梳理题目给出的边的等量关系，先转化为两组对应边的比例关系，观察到△ABD和△CBA有公共角∠B，若能证明两组对应边成比例且夹角相等，即可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质就能求出AC的长度。
【解析】
已知$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{3}AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$BD=\frac{BC}{3}=\frac{\sqrt{3}AB}{3}$，因此$\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{3}AB}{3}}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$。
又
∵∠B是△ABD和△CBA的公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CBA$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
将$AD=\sqrt{3}$代入得：$\frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$AC=3$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题解题核心是通过已知的边的等量关系推导对应边的比例，结合公共角证明三角形相似，再利用相似性质求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目给出的边的等量关系，先转化为两组对应边的比例关系，观察到△ABD和△CBA有公共角∠B，若能证明两组对应边成比例且夹角相等，即可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质就能求出AC的长度。
【解析】
已知$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{\sqrt{3}AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又$BD=\frac{BC}{3}=\frac{\sqrt{3}AB}{3}$，因此$\frac{BD}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{3}AB}{3}}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$。
又
∵∠B是△ABD和△CBA的公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ CBA$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
将$AD=\sqrt{3}$代入得：$\frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$AC=3$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题解题核心是通过已知的边的等量关系推导对应边的比例，结合公共角证明三角形相似，再利用相似性质求解未知边长，熟练掌握相似三角形的判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 在$△ ABC$中，D，E分别是边AB，AC上的点，如果$AD=2$，$DB=1$，$AE=4$，$EC=2$，那么$\frac{DE}{BC}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
5. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知线段长度求出AB、AC的长度，再计算△ADE与△ABC中夹公共角∠A的两组对应边的比值，判断两组比值是否相等，若相等则可根据两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{DE}{BC}$的值。
【解析】
解：由题意得：
$AB = AD + DB = 2 + 1 = 3$，
$AC = AE + EC = 4 + 2 = 6$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，
又
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角），
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，通过计算对应边的比值结合公共角快速判定三角形相似，进而求得对应边的比值。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知线段长度求出AB、AC的长度，再计算△ADE与△ABC中夹公共角∠A的两组对应边的比值，判断两组比值是否相等，若相等则可根据两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{DE}{BC}$的值。
【解析】
解：由题意得：
$AB = AD + DB = 2 + 1 = 3$，
$AC = AE + EC = 4 + 2 = 6$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，
又
∵ $∠ A = ∠ A$（公共角），
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，通过计算对应边的比值结合公共角快速判定三角形相似，进而求得对应边的比值。
【难度系数】
0.8
6.如图，已知$AB// DC$，点$E$，$F$在线段$BD$上，$AB=2DC$，$BE=2DF$.求证：$△ ABE∽ △ CDF$.
答案
6. 证明:
∵AB//CD,
∴∠B=∠D.
又
∵AB=2CD,BE=2DF,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$,
∴△ABE∽△CDF.
∵AB//CD,
∴∠B=∠D.
又
∵AB=2CD,BE=2DF,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$,
∴△ABE∽△CDF.
解析
【分析】
要证明△ABE∽△CDF，可结合已知条件选择合适的相似三角形判定定理。首先由AB//DC可推出一组内错角相等，得到两个三角形的一组对应角相等；再结合AB=2DC、BE=2DF，可推得两组对应边的比值相等，且相等的角刚好是这两组对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AB=2CD，BE=2DF，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$，
∴△ABE∽△CDF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵AB//CD,
∴∠B=∠D.
又
∵AB=2CD,BE=2DF,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$,
∴△ABE∽△CDF.
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题关键是找准对应角和对应边的比例关系，熟练掌握平行线性质和相似三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ABE∽△CDF，可结合已知条件选择合适的相似三角形判定定理。首先由AB//DC可推出一组内错角相等，得到两个三角形的一组对应角相等；再结合AB=2DC、BE=2DF，可推得两组对应边的比值相等，且相等的角刚好是这两组对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AB=2CD，BE=2DF，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$，
∴△ABE∽△CDF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵AB//CD,
∴∠B=∠D.
又
∵AB=2CD,BE=2DF,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$,
∴△ABE∽△CDF.
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题关键是找准对应角和对应边的比例关系，熟练掌握平行线性质和相似三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,D为AB的中点.若在AC边上取一点E,使△ADE与△ABC相似,则AE的长为
2或$\frac{25}{8}$
.答案
7. 2或$\frac{25}{8}$
解析
【分析】
首先，先根据已知的Rt△ABC的直角边长，用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合D是AB中点得到AD的长度。由于△ADE与△ABC相似，且两三角形有公共角∠A，相似的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论：①对应角∠ADE=∠C；②对应角∠AED=∠C。分别根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可得到AE的两种可能长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
△ADE与△ABC有公共角∠A，相似分两种情况：
1. 当$△ ADE ∽ △ ACB$（∠ADE=∠C=90°）时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{AE}{5}$
解得：$AE=\frac{25}{8}$
2. 当$△ AED ∽ △ ACB$（∠AED=∠C=90°）时，对应边成比例：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
代入数值：$\frac{AE}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{5}$
解得：$AE=2$
【答案】
2或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形对应关系不唯一的情况，只计算其中一种结果导致漏解，解题时遇到未明确对应关系的相似问题，一定要结合已知条件分析所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
首先，先根据已知的Rt△ABC的直角边长，用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合D是AB中点得到AD的长度。由于△ADE与△ABC相似，且两三角形有公共角∠A，相似的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论：①对应角∠ADE=∠C；②对应角∠AED=∠C。分别根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可得到AE的两种可能长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
△ADE与△ABC有公共角∠A，相似分两种情况：
1. 当$△ ADE ∽ △ ACB$（∠ADE=∠C=90°）时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{AE}{5}$
解得：$AE=\frac{25}{8}$
2. 当$△ AED ∽ △ ACB$（∠AED=∠C=90°）时，对应边成比例：
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
代入数值：$\frac{AE}{4}=\frac{\frac{5}{2}}{5}$
解得：$AE=2$
【答案】
2或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略相似三角形对应关系不唯一的情况，只计算其中一种结果导致漏解，解题时遇到未明确对应关系的相似问题，一定要结合已知条件分析所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$BD$，$CE$均是$△ ABC$的高，连接$DE$.
(1)求证：$△ ADE ∽ △ ABC$；
(2)求$\frac{DE}{BC}$的值.
(1)求证：$△ ADE ∽ △ ABC$；
(2)求$\frac{DE}{BC}$的值.
答案
8. (1)证明:
∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ADB∽△AEC,
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
(2)解:
∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ADB∽△AEC,
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
(2)解:
∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1)要证明$△ ADE ∽ △ ABC$，已知两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。首先结合$BD$、$CE$是$△ ABC$的高，可得到直角$∠ ADB=∠ AEC=90°$，结合公共角$∠ A$先证明$△ ADB ∽ △ AEC$，得到对应边成比例后调整比例式，即可得到$△ ADE$夹$∠ A$的边对应成比例，完成证明。
(2)要求$\frac{DE}{BC}$的值，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于相似比，结合(1)的结论可知$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，因此只需在$Rt△ ADB$中，利用$∠ A=60°$的直角三角形的边角关系求出$\frac{AD}{AB}$的值即可。
【解析】
(1)证明：
$\because BD,CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADB ∽ △ AEC$，
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，调整比例得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
(2)解：
在$Rt△ ADB$中，$∠ A=60°$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ ABD=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由(1)知$△ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$△ ADE ∽ △ ABC$得证；
(2)$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的高
【点评】
本题是相似三角形应用的基础典型题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定定理找到边的比例关系，结合特殊直角三角形的性质求解比值，有助于掌握相似三角形和直角三角形知识的综合运用方法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$△ ADE ∽ △ ABC$，已知两个三角形有公共角$∠ A$，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹$∠ A$的两组对应边成比例即可。首先结合$BD$、$CE$是$△ ABC$的高，可得到直角$∠ ADB=∠ AEC=90°$，结合公共角$∠ A$先证明$△ ADB ∽ △ AEC$，得到对应边成比例后调整比例式，即可得到$△ ADE$夹$∠ A$的边对应成比例，完成证明。
(2)要求$\frac{DE}{BC}$的值，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于相似比，结合(1)的结论可知$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，因此只需在$Rt△ ADB$中，利用$∠ A=60°$的直角三角形的边角关系求出$\frac{AD}{AB}$的值即可。
【解析】
(1)证明：
$\because BD,CE$是$△ ABC$的高，
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADB ∽ △ AEC$，
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，调整比例得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
(2)解：
在$Rt△ ADB$中，$∠ A=60°$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ ABD=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
由(1)知$△ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$△ ADE ∽ △ ABC$得证；
(2)$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的高
【点评】
本题是相似三角形应用的基础典型题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定定理找到边的比例关系，结合特殊直角三角形的性质求解比值，有助于掌握相似三角形和直角三角形知识的综合运用方法。
【难度系数】
0.7
9.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P以2 mm/s的速度从点A向点B移动(不与点B重合),动点Q以4 mm/s的速度从点B向点C移动(不与点C重合).若点P,Q同时出发,经过
3或$\frac{6}{5}$
s后,△PBQ与△ABC相似.答案
9. 3或$\frac{6}{5}$
解析
【分析】
本题为直角三角形下的动点相似问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先根据动点速度表示出△PBQ的两条直角边长度；其次由于两个三角形均以∠B为直角，相似时对应顶点有两种情况，需分类讨论：①△PBQ∽△ABC（PB与AB对应，BQ与BC对应）；②△PBQ∽△CBA（PB与BC对应，BQ与AB对应）；最后分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，验证解是否符合动点运动范围（P不与B重合、Q不与C重合）即可。
【解析】
设经过t s后，△PBQ与△ABC相似，由题意可知0＜t＜6。
根据动点运动速度可得：
AP=2t mm，故PB=AB-AP=(12-2t) mm，BQ=4t mm。
已知∠B为△PBQ和△ABC的公共直角，分两种情况讨论：
1. 当△PBQ∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$
代入数值：$\frac{12-2t}{12}=\frac{4t}{24}$
化简得：$12-2t=2t$，解得$t=3$，符合0＜t＜6的范围。
2. 当△PBQ∽△CBA时，对应边成比例：
$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$
代入数值：$\frac{12-2t}{24}=\frac{4t}{12}$
化简得：$12-2t=8t$，解得$t=\frac{6}{5}$，符合0＜t＜6的范围。
综上，经过3 s或$\frac{6}{5}$s时两个三角形相似。
【答案】
3或$\frac{6}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质；动点问题求解；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的典型动点题型，解题核心是抓住公共直角的特征，对相似的对应关系进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合动点的运动限制，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
本题为直角三角形下的动点相似问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先根据动点速度表示出△PBQ的两条直角边长度；其次由于两个三角形均以∠B为直角，相似时对应顶点有两种情况，需分类讨论：①△PBQ∽△ABC（PB与AB对应，BQ与BC对应）；②△PBQ∽△CBA（PB与BC对应，BQ与AB对应）；最后分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，验证解是否符合动点运动范围（P不与B重合、Q不与C重合）即可。
【解析】
设经过t s后，△PBQ与△ABC相似，由题意可知0＜t＜6。
根据动点运动速度可得：
AP=2t mm，故PB=AB-AP=(12-2t) mm，BQ=4t mm。
已知∠B为△PBQ和△ABC的公共直角，分两种情况讨论：
1. 当△PBQ∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$
代入数值：$\frac{12-2t}{12}=\frac{4t}{24}$
化简得：$12-2t=2t$，解得$t=3$，符合0＜t＜6的范围。
2. 当△PBQ∽△CBA时，对应边成比例：
$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$
代入数值：$\frac{12-2t}{24}=\frac{4t}{12}$
化简得：$12-2t=8t$，解得$t=\frac{6}{5}$，符合0＜t＜6的范围。
综上，经过3 s或$\frac{6}{5}$s时两个三角形相似。
【答案】
3或$\frac{6}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质；动点问题求解；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的典型动点题型，解题核心是抓住公共直角的特征，对相似的对应关系进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合动点的运动限制，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
