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三、“子母(双垂直)”模型
5. (2025 咸阳期中)如图,在$△ ABC$中,D在AB边上,连接$CD,AC=4,AD=2,BD=6$,求证:$△ ACD∽△ ABC$.
5. (2025 咸阳期中)如图,在$△ ABC$中,D在AB边上,连接$CD,AC=4,AD=2,BD=6$,求证:$△ ACD∽△ ABC$.
答案
5. 证明: $\because AD=2,BD=6,\therefore AB=AD+BD=2+6=8$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
解析
【分析】
要证明△ACD∽△ABC，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹公共角∠A的两组对应边成比例即可。首先先通过线段和差计算出AB的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值相等后，结合公共角即可完成相似证明。
【解析】
证明：
$\because AD=2,BD=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+6=8$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
又$\because ∠A=∠A$，
$\therefore △ACD∽△ABC$。
【答案】
证明: $\because AD=2,BD=6,\therefore AB=AD+BD=2+6=8$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
【知识点】
相似三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题核心是抓住两个三角形的公共角，再验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ACD∽△ABC，首先观察可得两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹公共角∠A的两组对应边成比例即可。首先先通过线段和差计算出AB的长度，再分别计算两组对应边的比值，验证比值相等后，结合公共角即可完成相似证明。
【解析】
证明：
$\because AD=2,BD=6$，
$\therefore AB=AD+BD=2+6=8$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
又$\because ∠A=∠A$，
$\therefore △ACD∽△ABC$。
【答案】
证明: $\because AD=2,BD=6,\therefore AB=AD+BD=2+6=8$,
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$.
$\because ∠ A=∠ A,\therefore △ ACD∽ △ ABC$.
【知识点】
相似三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题核心是抓住两个三角形的公共角，再验证夹公共角的两组边对应成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°,AD⊥ BC$ 于点 D.
(1)图中有多少对相似三角形?请写出来.
(2)求证:$AB^2=BD· BC,AC^2=CD· CB,AD^2=BD· CD$.
(3)求证:$AB· AC=BC· AD$.
(1)图中有多少对相似三角形?请写出来.
(2)求证:$AB^2=BD· BC,AC^2=CD· CB,AD^2=BD· CD$.
(3)求证:$AB· AC=BC· AD$.
答案
6. (1)解: 三对. 分别是$△ ABD∽ △ CBA$;$△ CAD∽ △ CBA$;$△ ABD∽ △ CAD$.
(2)证明: $\because ∠ ADB=∠ CAB=90° ,∠ B=∠ B$,
$\therefore △ ABD∽ △ CBA,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB},\therefore AB^2=BD· BC$.
$\because ∠ CDA=∠ CAB=90° ,∠ C=∠ C$,
$\therefore △ CAD∽ △ CBA,\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC},\therefore AC^2=CD· CB$.
$\because △ ABD∽ △ CBA,△ CAD∽ △ CBA$,
$\therefore △ ABD∽ △ CAD,\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD},\therefore AD^2=BD· CD$.
(3)证明: $\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$,
$\therefore AB· AC=BC· AD$.
(2)证明: $\because ∠ ADB=∠ CAB=90° ,∠ B=∠ B$,
$\therefore △ ABD∽ △ CBA,\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB},\therefore AB^2=BD· BC$.
$\because ∠ CDA=∠ CAB=90° ,∠ C=∠ C$,
$\therefore △ CAD∽ △ CBA,\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC},\therefore AC^2=CD· CB$.
$\because △ ABD∽ △ CBA,△ CAD∽ △ CBA$,
$\therefore △ ABD∽ △ CAD,\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD},\therefore AD^2=BD· CD$.
(3)证明: $\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$,
$\therefore AB· AC=BC· AD$.
解析
【分析】
（1）找相似三角形可依据“两角分别相等的两个三角形相似”判定：图中所有三角形均为直角三角形，结合公共角、同角的余角相等找等角，即可找出所有相似三角形；
（2）证明等积式可先将其转化为比例式，找到比例式对应的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到结论；
（3）要证两边乘积相等，可利用△ABC面积的两种不同表示方法，建立等式化简即可得证。
【解析】
(1) 共三对相似三角形。
$\because ∠BAC=90°,AD⊥BC$，$\therefore ∠ADB=∠CDA=∠BAC=90°$，
又$\because ∠B=∠B$，$\therefore △ABD∽△CBA$；
$\because ∠C=∠C$，$\therefore △CAD∽△CBA$；
$\therefore △ABD∽△CAD$，
故三对分别是$△ABD∽△CBA$；$△CAD∽△CBA$；$△ABD∽△CAD$。
(2) 证明：
$\because ∠ADB=∠CAB=90°,∠B=∠B$，
$\therefore △ABD∽△CBA$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$；
$\because ∠CDA=∠CAB=90°,∠C=∠C$，
$\therefore △CAD∽△CBA$，$\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=CD·CB$；
$\because △ABD∽△CBA,△CAD∽△CBA$，
$\therefore △ABD∽△CAD$，$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，交叉相乘得$AD^2=BD·CD$。
(3) 证明：
$\because △ABC$的面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，
$\therefore \frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，两边同乘2得$AB·AC=BC·AD$。
【答案】
(1) 三对，分别是$△ ABD∽ △ CBA$；$△ CAD∽ △ CBA$；$△ ABD∽ △ CAD$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形“母子型”基本模型的典型习题，其结论也叫射影定理，掌握该模型的相似关系和结论能快速解决直角三角形相关的比例、边长计算问题，同时要注意面积法在几何证明中的简便应用。
【难度系数】
0.75
（1）找相似三角形可依据“两角分别相等的两个三角形相似”判定：图中所有三角形均为直角三角形，结合公共角、同角的余角相等找等角，即可找出所有相似三角形；
（2）证明等积式可先将其转化为比例式，找到比例式对应的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，交叉相乘即可得到结论；
（3）要证两边乘积相等，可利用△ABC面积的两种不同表示方法，建立等式化简即可得证。
【解析】
(1) 共三对相似三角形。
$\because ∠BAC=90°,AD⊥BC$，$\therefore ∠ADB=∠CDA=∠BAC=90°$，
又$\because ∠B=∠B$，$\therefore △ABD∽△CBA$；
$\because ∠C=∠C$，$\therefore △CAD∽△CBA$；
$\therefore △ABD∽△CAD$，
故三对分别是$△ABD∽△CBA$；$△CAD∽△CBA$；$△ABD∽△CAD$。
(2) 证明：
$\because ∠ADB=∠CAB=90°,∠B=∠B$，
$\therefore △ABD∽△CBA$，$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，交叉相乘得$AB^2=BD·BC$；
$\because ∠CDA=∠CAB=90°,∠C=∠C$，
$\therefore △CAD∽△CBA$，$\therefore \frac{AC}{CB}=\frac{CD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=CD·CB$；
$\because △ABD∽△CBA,△CAD∽△CBA$，
$\therefore △ABD∽△CAD$，$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{BD}{AD}$，交叉相乘得$AD^2=BD·CD$。
(3) 证明：
$\because △ABC$的面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC$，也可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，
$\therefore \frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}BC·AD$，两边同乘2得$AB·AC=BC·AD$。
【答案】
(1) 三对，分别是$△ ABD∽ △ CBA$；$△ CAD∽ △ CBA$；$△ ABD∽ △ CAD$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形“母子型”基本模型的典型习题，其结论也叫射影定理，掌握该模型的相似关系和结论能快速解决直角三角形相关的比例、边长计算问题，同时要注意面积法在几何证明中的简便应用。
【难度系数】
0.75
四、“一线三等角”模型
7.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,点P在边BC上,∠B=∠APD=90°,求证:$△ ABP ∼ △ PCD$;
(2)如图②,在四边形ABCD中,点P在边BC上(不与点B,C重合),当∠B=∠C=∠APD时,求证:$△ ABP ∼ △ PCD$;
(3)如图③,在△ABC中,P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8$\sqrt{2}$,CE=6,求DE的长.
7.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,点P在边BC上,∠B=∠APD=90°,求证:$△ ABP ∼ △ PCD$;
(2)如图②,在四边形ABCD中,点P在边BC上(不与点B,C重合),当∠B=∠C=∠APD时,求证:$△ ABP ∼ △ PCD$;
(3)如图③,在△ABC中,P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8$\sqrt{2}$,CE=6,求DE的长.
答案
7. (1)证明: $\because AB// CD,∠ B=∠ APD=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ C=90° ,∠ BAP+∠ APB=90° ,∠ APB+∠ CPD=90°$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(2)证明: $\because ∠ B=∠ C=∠ APD$,
$\therefore ∠ CPD=180° -∠ APD-∠ APB,∠ BAP=180° -∠ APB-∠ B$,
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(3)解: 由(2)知$△ BDP∽ △ CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$.
$\because P$是$BC$的中点,$BC=8\sqrt{2},\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$.
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ B=∠ C=45° ,\therefore ∠ A=90°$.
又$\because BC=8\sqrt{2},\therefore AC=AB=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3},AE=AC-CE=8-6=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$.
$\therefore ∠ B=∠ C=90° ,∠ BAP+∠ APB=90° ,∠ APB+∠ CPD=90°$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(2)证明: $\because ∠ B=∠ C=∠ APD$,
$\therefore ∠ CPD=180° -∠ APD-∠ APB,∠ BAP=180° -∠ APB-∠ B$,
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP,\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(3)解: 由(2)知$△ BDP∽ △ CPE,\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$.
$\because P$是$BC$的中点,$BC=8\sqrt{2},\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$.
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6},\therefore BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ B=∠ C=45° ,\therefore ∠ A=90°$.
又$\because BC=8\sqrt{2},\therefore AC=AB=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3},AE=AC-CE=8-6=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证△ABP∽△PCD，已知∠B=90°，首先由AB//CD、∠B=90°可得∠C=90°，即∠B=∠C；再结合∠APD=90°，利用同角的余角相等可推出∠BAP=∠CPD，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证。
(2) 类比(1)的思路，已知∠B=∠C=∠APD，利用平角为180°和三角形内角和为180°，可推导出∠BAP=∠CPD，同样根据两角对应相等即可证明两个三角形相似。
(3) 首先利用(2)的结论得到△BDP∽△CPE，结合P是BC中点求出BP、CP的长度，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长；再由∠B=∠C=45°判断△ABC是等腰直角三角形，求出AB、AC的长，进而得到AD、AE的长度，最后在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD,∠ B=∠ APD=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=90°$，$∠ BAP+∠ APB=90°$，$∠ APB+∠ CPD=180°-∠ APD=90°$，
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD$，$\therefore △ ABP ∽ △ PCD$。
(2) 证明：$\because ∠ B=∠ C=∠ APD$，
又$\because ∠ CPD=180°-∠ APD-∠ APB$，$∠ BAP=180°-∠ APB-∠ B$，
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP$，$\therefore △ ABP ∽ △ PCD$。
(3) 解：由(2)的结论可得$△ BDP ∽ △ CPE$，$\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$。
$\because P$是$BC$的中点，$BC=8\sqrt{2}$，$\therefore BP=CP=\frac{1}{2}BC=4\sqrt{2}$。
代入比例式得$\frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}$，解得$BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$。
$\because ∠ B=∠ C=45°$，$\therefore ∠ A=180°-45°-45°=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形，
又$\because BC=8\sqrt{2}$，$\therefore AB=AC=8$，
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$，$AE=AC-CE=8-6=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) $DE$的长为$\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是“一线三等角”相似模型的典型应用，从特殊的直角情形推广到一般角情形，再结合等腰三角形的性质考查线段长度的求解，解题的关键是熟练掌握两角对应相等的三角形相似判定定理，能灵活运用相似的性质和勾股定理计算线段长度，有助于掌握相似三角形基本模型的应用思路。
【难度系数】
0.65
(1) 要证△ABP∽△PCD，已知∠B=90°，首先由AB//CD、∠B=90°可得∠C=90°，即∠B=∠C；再结合∠APD=90°，利用同角的余角相等可推出∠BAP=∠CPD，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证。
(2) 类比(1)的思路，已知∠B=∠C=∠APD，利用平角为180°和三角形内角和为180°，可推导出∠BAP=∠CPD，同样根据两角对应相等即可证明两个三角形相似。
(3) 首先利用(2)的结论得到△BDP∽△CPE，结合P是BC中点求出BP、CP的长度，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长；再由∠B=∠C=45°判断△ABC是等腰直角三角形，求出AB、AC的长，进而得到AD、AE的长度，最后在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD,∠ B=∠ APD=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=90°$，$∠ BAP+∠ APB=90°$，$∠ APB+∠ CPD=180°-∠ APD=90°$，
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD$，$\therefore △ ABP ∽ △ PCD$。
(2) 证明：$\because ∠ B=∠ C=∠ APD$，
又$\because ∠ CPD=180°-∠ APD-∠ APB$，$∠ BAP=180°-∠ APB-∠ B$，
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP$，$\therefore △ ABP ∽ △ PCD$。
(3) 解：由(2)的结论可得$△ BDP ∽ △ CPE$，$\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$。
$\because P$是$BC$的中点，$BC=8\sqrt{2}$，$\therefore BP=CP=\frac{1}{2}BC=4\sqrt{2}$。
代入比例式得$\frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}$，解得$BD=\frac{4\sqrt{2}× 4\sqrt{2}}{6}=\frac{16}{3}$。
$\because ∠ B=∠ C=45°$，$\therefore ∠ A=180°-45°-45°=90°$，即$△ ABC$是等腰直角三角形，
又$\because BC=8\sqrt{2}$，$\therefore AB=AC=8$，
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$，$AE=AC-CE=8-6=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) $DE$的长为$\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是“一线三等角”相似模型的典型应用，从特殊的直角情形推广到一般角情形，再结合等腰三角形的性质考查线段长度的求解，解题的关键是熟练掌握两角对应相等的三角形相似判定定理，能灵活运用相似的性质和勾股定理计算线段长度，有助于掌握相似三角形基本模型的应用思路。
【难度系数】
0.65
