9. 如图，已知$△ ABD$中，$AC ⊥ BD$，$BC=8$，$CD=4$，$\cos∠ ABC=\dfrac{4}{5}$，$BE$为$AD$边上的中线.
(1)求$AC$的长；
(2)求$△ BED$的面积.

解:(1)$\because AC⊥BD,\therefore ∠ACB=∠ACD=90°$。
在 $Rt△ABC$ 中,$\cos∠ABC=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore AB=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10,\therefore AC=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
(2)$\because BE$ 为 $AD$ 边上的中线，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$。
又$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AC=\frac{1}{2}× 12× 6=36$，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}× 36=18$。

【分析】
(1) 首先由AC⊥BD可知△ABC为直角三角形，已知cos∠ABC的值和邻边BC的长，根据锐角三角函数中余弦的定义（邻边比斜边），可先求出斜边AB的长度，再结合勾股定理即可求出AC的长；
(2) 已知BE是AD边上的中线，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，可得$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}$，先求出BD的总长度，再以BD为底、AC为高计算△ABD的面积，即可求出△BED的面积。
【解析】
(1) $\because AC⊥ BD$，$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}$，
将$BC=8$，$\cos∠ ABC=\frac{4}{5}$代入得：$AB=\frac{BC}{\cos∠ ABC}=8÷\frac{4}{5}=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$。
(2) $\because BE$为$AD$边上的中线，
$\therefore$点$E$是$AD$中点，$△ BED$和$△ ABD$同高，底$ED=\frac{1}{2}AD$，故$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
又$\because BD=BC+CD=8+4=12$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×12×6=36$，
$\therefore S_{△ BED}=\frac{1}{2}×36=18$。
【答案】
(1) $AC$的长为$\boldsymbol{6}$；
(2) $△ BED$的面积为$\boldsymbol{18}$。
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查解直角三角形和三角形面积的相关性质，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，以及三角形中线等分三角形面积的结论，计算过程较为简单，注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,E是BC边上一点,过点E作$ED⊥ AC$,垂足为D,$AB=8,DE=6,∠ C=30°$,求BE的长.

解:在 $Rt△CDE$ 中,$\sin C=\frac{DE}{CE},∠C=30°$，
$\therefore CE=\frac{DE}{\sin 30°}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$。
在 $Rt△ABC$ 中,$\tan C=\frac{AB}{BC}$，
$\therefore BC=\frac{AB}{\tan 30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3}$，
$\therefore BE=BC-CE=8\sqrt{3}-12$。

【分析】
要求BE的长，观察图形可得$BE=BC-CE$，因此只需分别求出BC和CE的长度即可。①CE在$Rt△ CDE$中，已知$∠ C=30°$，$ED⊥ AC$即$∠ CDE=90°$，$DE=6$，可利用$∠ C$的正弦函数求出CE；②BC在$Rt△ ABC$中，已知$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，$AB=8$，可利用$∠ C$的正切函数求出BC；最后将BC和CE作差即可得到BE的长度。
【解析】
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，根据锐角三角函数的定义，$\sin C=\frac{DE}{CE}$，已知$∠ C=30°$，$DE=6$，
$\therefore CE=\frac{DE}{\sin30°}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，根据锐角三角函数的定义，$\tan C=\frac{AB}{BC}$，已知$AB=8$，$∠ C=30°$，
$\therefore BC=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=8\sqrt{3}$。
$\therefore BE=BC-CE=8\sqrt{3}-12$。
【答案】
$8\sqrt{3}-12$
【知识点】
锐角三角函数的应用，解直角三角形，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的核心是将待求线段转化为两条可求线段的差，结合直角三角形中锐角三角函数的定义列式计算，熟记特殊角的三角函数值是正确计算的前提。
【难度系数】
0.7

11.如图，甲、乙两楼相距30 m，乙楼高度为36 m，自甲楼顶A处看乙楼顶B处的仰角为30°，则甲楼的高度为（）


A.$15\ \mathrm{m}$
B.$(36 - 10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
C.$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
D.$(36 - 15\sqrt{3})\ \mathrm{m}$

11. B

【分析】
遇到仰角的实际应用问题，首先要构造直角三角形将实际问题转化为数学问题。我们可以过点A作水平线垂直于乙楼，得到直角三角形：水平边就是两楼的间距30m，仰角30°是直角三角形的一个锐角，利用30°的正切值可以求出乙楼比甲楼高出的部分，再用乙楼总高度减去高出的部分就能得到甲楼的高度。
【解析】
过点A作AC⊥乙楼侧边，垂足为C，可得AC与两楼的水平间距相等，即$AC=30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=30°$，BC为乙楼比甲楼高出的高度。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$，
代入已知值：$\tan30°=\frac{BC}{30}$，
因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$BC=30×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
已知乙楼高度为36m，因此甲楼高度为$36 - BC = (36 - 10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 特殊角的三角函数值
3. 仰角的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题关键是合理构造直角三角形，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角关系，结合特殊角的三角函数值即可求解。
【难度系数】
0.7

12.如图,已知点C处有一个高空探测气球,从点C处测得水平地面上A,B两点的俯角分别为$30°$和$45°$.若$AB=2\ \mathrm{km}$,则A,C两点之间的距离为________km.

$(2+2\sqrt{3})$

【分析】
本题是解直角三角形中俯角问题的应用，解题思路如下：首先过点C作AB所在水平面的垂线，构造两个含特殊角的共直角边的直角三角形；其次利用俯角的性质得到两个直角三角形的内角，设公共直角边的长度为未知数，分别用含未知数的式子表示出两条水平边的长度；再结合AB的长度列方程求出未知数的值；最后利用特殊角直角三角形的边角关系求出AC的长度即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D，设$CD=x\ \mathrm{km}$。
根据俯角的定义，结合平行线内错角相等的性质，可得$∠ A=30°$，$∠ CBD=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=45°$，$∠ D=90°$，因此$BD=CD=x\ \mathrm{km}$，则$AD=AB+BD=(2+x)\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{2+x}$
交叉相乘得：$\sqrt{3}(2+x)=3x$，整理得$x=\sqrt{3}+1$。
又因为在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ A=30°$，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，因此$AC=2CD=2(\sqrt{3}+1)=2+2\sqrt{3}$。
【答案】
$(2+2\sqrt{3})$
【知识点】
俯角的定义，解直角三角形，特殊角三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，解题核心是通过作垂线构造出共直角边的特殊直角三角形，以公共直角边为中间量建立方程求解，运算中要注意分母有理化的正确性，熟练运用特殊角的三角函数值可简化计算。
【难度系数】
0.6

13. (2026株洲期末)如图,一楼房AB后有一假山,CD的坡度$i=1:\sqrt{3}$,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山脚与楼房水平距离$BC=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,与亭子距离$CE=8\ \mathrm{m}$,小丽从楼房房顶测得E的俯角为$45°$. (1)求点E到水平地面的距离EF的高度; (2)求楼房AB的高(结果保留根号).

解:(1)在 $Rt△CEF$ 中，
$\because i=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan∠ECF$，
$\therefore ∠ECF=30°$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}CE=4(\mathrm{m})$。
(2)如图,过点 $E$ 作 $EH⊥AB$ 于点 $H$，

在 $Rt△CEF$ 中,由勾股定理,得 $CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
$\therefore BH=EF=4\ \mathrm{m},HE=BF=BC+CF=14\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
在 $Rt△AHE$ 中,$\because ∠HAE=90°-45°=45°$，
$\therefore Rt△AHE$ 为等腰直角三角形，
$\therefore AH=HE=14\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=AH+HB=(4+14\sqrt{3})\mathrm{m}$。
$\therefore$ 楼房 $AB$ 的高为 $(4+14\sqrt{3})\mathrm{m}$。

【分析】
(1) 求EF的高度时，首先明确坡度是坡面垂直高度与水平宽度的比值，对应Rt△CEF中EF与CF的比，先通过坡度求出∠ECF=30°，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质即可求出EF的长度。
(2) 求AB的高度时，可通过作辅助线EH⊥AB，将AB拆分为AH和BH两段：利用矩形对边相等的性质，可得BH=EF，HE=BF；先通过勾股定理求出CF的长度，进而得到BF即HE的长度；再根据俯角为45°推出△AHE是等腰直角三角形，得到AH=HE，最后将两段长度相加即可得到AB的总高度。
【解析】
(1) 在$Rt△ CEF$中，
$\because$ 坡面CD的坡度$i=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan∠ ECF$，
$\therefore ∠ ECF=30°$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H$，

在$Rt△ CEF$中，由勾股定理可得：
$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
$\because EH⊥ AB$，$AB⊥ BF$，$EF⊥ BF$，
$\therefore$ 四边形$HBEF$为矩形，
$\therefore BH=EF=4\ \mathrm{m}$，$HE=BF=BC+CF=10\sqrt{3}+4\sqrt{3}=14\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
在$Rt△ AHE$中，$\because$ 从A点观测E点的俯角为$45°$，
$\therefore ∠ HAE=90°-45°=45°$，即$Rt△ AHE$为等腰直角三角形，
$\therefore AH=HE=14\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AH+HB=14\sqrt{3}+4=(4+14\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 点E到水平地面的距离EF的高度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$；
(2) 楼房AB的高为$\boldsymbol{(4+14\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$。

【知识点】
坡度坡角问题，仰角俯角问题，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，结合了坡度、俯角两个核心考点，解题的关键是通过作辅助线将实际问题转化为矩形和直角三角形的问题求解，能够有效锻炼学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.65