1. (2026 信阳期末)在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$BC=2$，$AB=3$，则下列结论正确的是（）

A.$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{3}$
B.$\tan A=\frac{2}{3}$
C.$\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$\tan B=\sqrt{5}$

1. C

【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数值的判断问题，解题思路分两步：第一步先利用勾股定理求出未知直角边AC的长度；第二步根据锐角三角函数的定义，分别计算各选项中对应角的三角函数值，与选项内容对比即可得出正确答案，计算时要注意区分每个角的对边、邻边，避免混淆。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
接下来逐一分析选项：
A选项：$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，$∠ A$的对边为$BC$，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}$，A错误；
B选项：$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比值，$∠ A$的邻边为$AC$，因此$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B错误；
C选项：$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边为$AC$，因此$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，C正确；
D选项：$\tan B$是$∠ B$的对边与邻边的比值，$∠ B$的邻边为$BC$，因此$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形中三角函数的计算，解题的关键是准确掌握正弦、正切的定义，分清对应角的对边和邻边，计算时注意根式的化简即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在平面直角坐标系内有一点$P(3,4)$，连接$OP$，则$OP$与$x$轴正方向所夹锐角$α$的正弦值是（）

A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$

2. D

【分析】
要求锐角α的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。所以我们需要构造包含角α的直角三角形：过点P向x轴作垂线，就能得到直角三角形。已知点P的坐标是(3,4)，可得直角三角形两条直角边的长度，再用勾股定理算出斜边OP的长度，最后代入正弦的定义即可求出结果。
【解析】
过点P作PA⊥x轴，垂足为A。
∵点P的坐标为(3,4)，
∴OA=3，PA=4。
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OA^2+PA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据锐角正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{∠α的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，勾股定理，点坐标的几何意义
【点评】
本题是基础题型，解题的关键是结合平面直角坐标系构造直角三角形，准确记忆锐角三角函数的定义，区分正弦、余弦、正切对应的边的比例关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

3. (2025衢州一模)如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tan B的值为 ()


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. A

【分析】
要求tanB的值，需先结合锐角正切的定义，构造出包含∠B的直角三角形。我们可以先设每个小正方形的边长为1，过点A作BC的垂线得到直角三角形，再找到∠B的对边和邻边的长度，代入正切公式计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由网格特征可得：AD=1，BD=2。
在Rt△ABD中，根据正切的定义，锐角的正切值为对边与邻边的比值，即：
$\tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{1}{2}$。
所以本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 正切的定义
2. 网格线段长度计算
【点评】
本题考查锐角三角函数的应用，解题的关键是正确构造含所求角的直角三角形，准确找到对应对边和邻边的长度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

4. (2025 永州期末)下列三角函数值是有理数的是 （）

A.$\sin 30°$
B.$\cos 45°$
C.$\sin 60°$
D.$\tan 30°$

4. A

【分析】
解题思路如下：首先明确题目要求是选出三角函数值为有理数的选项，需分两步完成：第一步回忆30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，分别计算四个选项的结果；第二步结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数，含开方开不尽的数的代数式一般为无理数），逐个判断每个结果是否为有理数，最终锁定正确选项。
【解析】
我们分别计算每个选项的三角函数值并判断属性：
A. $\sin30°=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$是分数，属于有理数，符合要求；
B. $\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不符合要求；
C. $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无理数，不符合要求；
D. $\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{3}$是无理数，不符合要求。
综上，只有A选项的三角函数值是有理数。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值，有理数的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆能力，以及对有理数、无理数概念的区分能力，熟练识记特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5. 在$△ ABC$中，$∠ C$，$∠ B$均为锐角，且满足$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$，则$∠ A$的大小为（）

A.$100°$
B.$105°$
C.$90°$
D.$60°$

5. B

【分析】
解题时首先观察到等式是绝对值与平方的和为0，根据非负数的性质，绝对值和偶次幂的结果都具有非负性，两者相加等于0时，只能各自的结果都为0，由此可得到sinC和cosB的值；再结合∠C、∠B都是锐角，对照特殊角的三角函数值即可求出∠C和∠B的度数；最后根据三角形内角和为180°，就能计算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数均为非负数，且$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| + ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$
∴$\left| \sin C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right| = 0$，$( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \cos B )^2 = 0$
即$\sin C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
又
∵∠C、∠B均为锐角
∴∠C=45°，∠B=30°
∵三角形内角和为180°
∴∠A=180° - ∠C - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，牢记常见特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求出角度。
【难度系数】
0.7

6.已知α为锐角，且$\sqrt{3}\tan(90° - α)=1$，则α的大小为。

6. $60°$

【分析】
解题时先对已知等式变形，求出$\tan(90°-α)$的取值，再结合$α$是锐角的条件，可知$90°-α$也为锐角，对照特殊角的正切函数值得到$90°-α$的度数，最后计算即可得到$α$的大小。
【解析】
解：已知$\sqrt{3}\tan(90° - α)=1$，对等式变形得：
$\tan(90° - α)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\because α$为锐角，$\therefore 90°-α$也为锐角
又$\because \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\therefore 90° - α=30°$
解得$α=90°-30°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值，互余角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，解题时注意锐角的范围限制，熟练记忆特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. 计算：
(1) $4\sin 60° - 6\cos 60° \tan 30° + \sin^2 45°$；
(2) $\sqrt{2}\sin 45° + 2\cos 30° + |1 - \tan 60°|$。

解:(1) 原式$=4× \frac{\sqrt{3}}{2}-6× \frac{1}{2}× \frac{\sqrt{3}}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 =2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$。
(2) 原式$=\sqrt{2}× \frac{\sqrt{2}}{2}+2× \frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}$。

【分析】
这两道题均为特殊锐角三角函数值的混合运算题，解题思路分为三步：第一步，准确回忆30°、45°、60°对应的sin、cos、tan的三角函数值；第二步，将各三角函数值代入原式，同时处理绝对值（先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号）；第三步，按照实数混合运算的顺序，先算乘方、乘法，再算加减，逐步化简得到最终结果。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值后按运算顺序计算：
原式$=4× \frac{\sqrt{3}}{2}-6× \frac{1}{2}× \frac{\sqrt{3}}{3}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
$=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$
(2) 先判断绝对值内的正负：$\tan60°=\sqrt{3}＞1$，因此$|1-\tan60°|=\sqrt{3}-1$，再代入计算：
原式$=\sqrt{2}× \frac{\sqrt{2}}{2}+2× \frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-1)$
$=1+\sqrt{3}+\sqrt{3}-1$
$=2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}+\frac{1}{2}$；(2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及实数运算规则的掌握，解题时需注意运算顺序，去绝对值时要先判断内部式子的正负，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

8. (2025 茂名月考)已知 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，$AB=6$，解这个直角三角形。

解:在 $Rt△ABC$ 中,$\because ∠C=90°,∠B=60°,AB=6$，
$\therefore ∠A=90°-60°=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。

【分析】
解直角三角形需要求出三角形中所有未知的角和边。首先根据直角三角形两锐角互余的性质计算未知锐角∠A的度数；再结合30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出短直角边BC的长度；最后利用勾股定理计算剩余直角边AC的长度即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$\because ∠C=90°,∠B=60°,AB=6$，
$\therefore ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°$，
$\because$ 30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC为∠A的对边，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
【答案】
解:在 $Rt△ABC$ 中,$\because ∠C=90°,∠B=60°,AB=6$，
$\therefore ∠A=90°-60°=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。

【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，熟练掌握直角三角形的边角相关性质是解题的关键，计算时要注意二次根式的化简要准确。
【难度系数】
0.8