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三、方位角类问题
3. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习.学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上.老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1 000 m，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程(参考数据：$\sqrt{2}≈1.41,\sqrt{6}≈2.45$).
3. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习.学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上.老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1 000 m，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程(参考数据：$\sqrt{2}≈1.41,\sqrt{6}≈2.45$).
答案
3. 解:如图,过点 B 作 $BE⊥ AC$,垂足为 E.
由题意,得 $∠ ACD=25°$,$∠ BCD=55°$,$∠ FAB=20°$,$AB=1\ 000\ \mathrm{m}$,$CD// FA$,
$\therefore∠ CAF=∠ ACD=25°$,
$\therefore∠ BAC=∠ FAB+∠ CAF=20°+25°=45°$,$∠ ACB=∠ BCD-∠ ACD=55°-25°=30°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=AB·\cos45°=1\ 000×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$BE=AB·\sin45°=1\ 000×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$∠ BCE=30°$,
$\therefore BC=2BE=1\ 000\sqrt{2}(\mathrm{m})$,$CE=\sqrt{3}BE=500\sqrt{6}(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\mathrm{m}$,
$\therefore AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1\ 000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx520(\mathrm{m})$.
答:甲组同学比乙组同学大约多走 520 m 的路程.
解析
【分析】
这是一道结合方位角的解直角三角形实际应用题，解题可按以下思路展开：①先根据方位角的定义和平行线内错角相等的性质，求出△ABC的两个内角∠BAC和∠ACB的度数；②已知AB的长度，要计算AC、BC的长度差，需通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解，因此过点B作BE⊥AC，将△ABC拆分为含45°角的Rt△ABE和含30°角的Rt△BCE；③分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出各边长度，进而求出AC的长度，最后计算AC与BC的差，代入近似值即可得到结果。
【解析】
首先作辅助线：过点B作$BE⊥ AC$，垂足为E。
根据题意梳理已知条件：$∠ ACD=25°$，$∠ BCD=55°$，$∠ FAB=20°$，$AB=1000\ \mathrm{m}$，且A、C两点的南北方向线平行，即$CD// FA$。
1. 求三角形内角：
由两直线平行内错角相等可得$∠ CAF=∠ ACD=25°$，因此$∠ BAC=∠ FAB+∠ CAF=20°+25°=45°$，$∠ ACB=∠ BCD-∠ ACD=55°-25°=30°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ABE$中计算边长：
$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$AE=AB·\cos45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$BE=AB·\sin45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中计算边长：
因为$∠BCE=30°$，直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，因此$BC=2BE=1000\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$CE=\sqrt{3}BE=500\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
4. 计算路程差：
$AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\ \mathrm{m}$，因此$AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1000\sqrt{2}=500(\sqrt{6}-\sqrt{2})$，代入近似值$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{6}≈2.45$，得$AC-BC≈500×(2.45-1.41)=520\ \mathrm{m}$。
【答案】
如图,过点 B 作 $BE⊥ AC$,垂足为 E.
由题意,得 $∠ ACD=25°$,$∠ BCD=55°$,$∠ FAB=20°$,$AB=1\ 000\ \mathrm{m}$,$CD// FA$,
$\therefore∠ CAF=∠ ACD=25°$,
$\therefore∠ BAC=∠ FAB+∠ CAF=20°+25°=45°$,$∠ ACB=∠ BCD-∠ ACD=55°-25°=30°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=AB·\cos45°=1\ 000×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$BE=AB·\sin45°=1\ 000×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$∠ BCE=30°$,
$\therefore BC=2BE=1\ 000\sqrt{2}(\mathrm{m})$,$CE=\sqrt{3}BE=500\sqrt{6}(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\mathrm{m}$,
$\therefore AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1\ 000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx520(\mathrm{m})$.
答:甲组同学比乙组同学大约多走 520 m 的路程.
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是将方位角信息转化为三角形的内角度数，通过作高将斜三角形转化为熟悉的特殊直角三角形求解，能有效考查学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合方位角的解直角三角形实际应用题，解题可按以下思路展开：①先根据方位角的定义和平行线内错角相等的性质，求出△ABC的两个内角∠BAC和∠ACB的度数；②已知AB的长度，要计算AC、BC的长度差，需通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解，因此过点B作BE⊥AC，将△ABC拆分为含45°角的Rt△ABE和含30°角的Rt△BCE；③分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出各边长度，进而求出AC的长度，最后计算AC与BC的差，代入近似值即可得到结果。
【解析】
首先作辅助线：过点B作$BE⊥ AC$，垂足为E。
根据题意梳理已知条件：$∠ ACD=25°$，$∠ BCD=55°$，$∠ FAB=20°$，$AB=1000\ \mathrm{m}$，且A、C两点的南北方向线平行，即$CD// FA$。
1. 求三角形内角：
由两直线平行内错角相等可得$∠ CAF=∠ ACD=25°$，因此$∠ BAC=∠ FAB+∠ CAF=20°+25°=45°$，$∠ ACB=∠ BCD-∠ ACD=55°-25°=30°$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ABE$中计算边长：
$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$AE=AB·\cos45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$BE=AB·\sin45°=1000×\frac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△BCE$中计算边长：
因为$∠BCE=30°$，直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，因此$BC=2BE=1000\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$CE=\sqrt{3}BE=500\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
4. 计算路程差：
$AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\ \mathrm{m}$，因此$AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1000\sqrt{2}=500(\sqrt{6}-\sqrt{2})$，代入近似值$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{6}≈2.45$，得$AC-BC≈500×(2.45-1.41)=520\ \mathrm{m}$。
【答案】
如图,过点 B 作 $BE⊥ AC$,垂足为 E.
由题意,得 $∠ ACD=25°$,$∠ BCD=55°$,$∠ FAB=20°$,$AB=1\ 000\ \mathrm{m}$,$CD// FA$,
$\therefore∠ CAF=∠ ACD=25°$,
$\therefore∠ BAC=∠ FAB+∠ CAF=20°+25°=45°$,$∠ ACB=∠ BCD-∠ ACD=55°-25°=30°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,$AE=AB·\cos45°=1\ 000×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$BE=AB·\sin45°=1\ 000×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=500\sqrt{2}(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$∠ BCE=30°$,
$\therefore BC=2BE=1\ 000\sqrt{2}(\mathrm{m})$,$CE=\sqrt{3}BE=500\sqrt{6}(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=AE+CE=(500\sqrt{2}+500\sqrt{6})\mathrm{m}$,
$\therefore AC-BC=500\sqrt{2}+500\sqrt{6}-1\ 000\sqrt{2}=500\sqrt{6}-500\sqrt{2}\approx520(\mathrm{m})$.
答:甲组同学比乙组同学大约多走 520 m 的路程.
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是将方位角信息转化为三角形的内角度数，通过作高将斜三角形转化为熟悉的特殊直角三角形求解，能有效考查学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
四、生活类问题
4. (2026 承德月考)如图①,一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定,窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上,且OA=20 cm,窗钩的另一个端点 B 在窗框边上的滑槽OF上移动,AB,BO,AO构成一个三角形.如图②,当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是7 cm时(即 OB=7 cm),窗户打开的∠AOB 的度数为 37°,过点 A 作 AD⊥OF,垂足为 D.
(1)求此时 AD 的长;
(2)求此时 $\sin∠ BAO$ 的值(参考数据: $\tan 37°\approx\frac{3}{4}$).
4. (2026 承德月考)如图①,一扇窗户打开后可以用窗钩 AB 将其固定,窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上,且OA=20 cm,窗钩的另一个端点 B 在窗框边上的滑槽OF上移动,AB,BO,AO构成一个三角形.如图②,当窗钩端点 B 与点 O 之间的距离是7 cm时(即 OB=7 cm),窗户打开的∠AOB 的度数为 37°,过点 A 作 AD⊥OF,垂足为 D.
(1)求此时 AD 的长;
(2)求此时 $\sin∠ BAO$ 的值(参考数据: $\tan 37°\approx\frac{3}{4}$).
答案
4. 解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$\tan37°=\dfrac{AD}{OD}\approx\dfrac{3}{4}$.
设 $AD=3x\ \mathrm{cm}$,$OD=4x\ \mathrm{cm}$,根据勾股定理,得 $AD^2+OD^2=AO^2$,
即 $(3x)^2+(4x)^2=20^2$,解得 $x=4$(负值舍去),
$\therefore AD=12\ \mathrm{cm}$.
(2)如图,过点 B 作 $BG⊥ AO$ 于点 G,
在 $\mathrm{Rt}△ BOG$ 中,$\tan37°=\dfrac{BG}{OG}\approx\dfrac{3}{4}$,
设 $BG=3y$,$OG=4y$,根据勾股定理,得
$BG^2+OG^2=BO^2$,
即 $(3y)^2+(4y)^2=7^2$,
解得 $y=\dfrac{7}{5}$(负值舍去),
$\therefore BG=\dfrac{21}{5}$,$OG=\dfrac{28}{5}$,
$\therefore AG=AO-OG=20-\dfrac{28}{5}=\dfrac{72}{5}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABG$ 中,根据勾股定理,得 $BG^2+AG^2=AB^2$,
即 $(\dfrac{21}{5})^2+(\dfrac{72}{5})^2=AB^2$,解得 $AB=15$,
$\therefore\sin∠ BAO=\dfrac{BG}{AB}=\dfrac{\dfrac{21}{5}}{15}=\dfrac{7}{25}$.
解析
【分析】
(1) 要求AD的长度，观察图形可知AD是Rt△AOD的直角边，已知OA=20cm，∠AOB=37°且给出了tan37°的近似值，可利用正切函数的比例关系设AD、OD的长度为含同一未知数的表达式，再结合勾股定理列方程求解即可得到AD的长。
(2) 要求sin∠BAO的值，∠BAO不在直角三角形中，因此需要过点B作BG⊥AO构造含∠BAO的Rt△ABG，先在Rt△BOG中利用tan37°的比例关系和勾股定理求出BG、OG的长度，再计算AG的长度，接着在Rt△ABG中用勾股定理求出AB的长度，最后根据正弦函数的定义，用对边BG比斜边AB即可得到sin∠BAO的值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD⊥ OF$，故$∠ ADO=90°$，已知$\tan∠ AOB=\tan37°=\dfrac{AD}{OD}\approx\dfrac{3}{4}$。
设 $AD=3x\ \mathrm{cm}$，$OD=4x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理$AD^2+OD^2=AO^2$，代入数据得：
$(3x)^2+(4x)^2=20^2$
化简得$25x^2=400$，解得$x=4$（负值舍去），因此$AD=3×4=12\ \mathrm{cm}$。
(2) 如图，过点 $B$ 作 $BG⊥ AO$ 于点 $G$，
在$\mathrm{Rt}△ BOG$中，$∠ BGO=90°$，$\tan37°=\dfrac{BG}{OG}\approx\dfrac{3}{4}$，设 $BG=3y$，$OG=4y$，根据勾股定理$BG^2+OG^2=BO^2$，代入$OB=7\ \mathrm{cm}$得：
$(3y)^2+(4y)^2=7^2$
化简得$25y^2=49$，解得$y=\dfrac{7}{5}$（负值舍去），因此$BG=3×\dfrac{7}{5}=\dfrac{21}{5}$，$OG=4×\dfrac{7}{5}=\dfrac{28}{5}$。
可得$AG=AO-OG=20-\dfrac{28}{5}=\dfrac{72}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，根据勾股定理$BG^2+AG^2=AB^2$，代入数据得：
$AB^2=(\dfrac{21}{5})^2+(\dfrac{72}{5})^2=\dfrac{441+5184}{25}=225$
解得$AB=15$（长度为正），因此$\sin∠ BAO=\dfrac{BG}{AB}=\dfrac{\dfrac{21}{5}}{15}=\dfrac{7}{25}$。
【答案】
(1) 此时$AD$的长为$12\ \mathrm{cm}$；
(2) 此时$\sin∠ BAO$的值为$\dfrac{7}{25}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活中窗户固定的实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是合理构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的比例关系和勾股定理求解线段长度，侧重考查基础知识的应用能力，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AD的长度，观察图形可知AD是Rt△AOD的直角边，已知OA=20cm，∠AOB=37°且给出了tan37°的近似值，可利用正切函数的比例关系设AD、OD的长度为含同一未知数的表达式，再结合勾股定理列方程求解即可得到AD的长。
(2) 要求sin∠BAO的值，∠BAO不在直角三角形中，因此需要过点B作BG⊥AO构造含∠BAO的Rt△ABG，先在Rt△BOG中利用tan37°的比例关系和勾股定理求出BG、OG的长度，再计算AG的长度，接着在Rt△ABG中用勾股定理求出AB的长度，最后根据正弦函数的定义，用对边BG比斜边AB即可得到sin∠BAO的值。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD⊥ OF$，故$∠ ADO=90°$，已知$\tan∠ AOB=\tan37°=\dfrac{AD}{OD}\approx\dfrac{3}{4}$。
设 $AD=3x\ \mathrm{cm}$，$OD=4x\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理$AD^2+OD^2=AO^2$，代入数据得：
$(3x)^2+(4x)^2=20^2$
化简得$25x^2=400$，解得$x=4$（负值舍去），因此$AD=3×4=12\ \mathrm{cm}$。
(2) 如图，过点 $B$ 作 $BG⊥ AO$ 于点 $G$，
在$\mathrm{Rt}△ BOG$中，$∠ BGO=90°$，$\tan37°=\dfrac{BG}{OG}\approx\dfrac{3}{4}$，设 $BG=3y$，$OG=4y$，根据勾股定理$BG^2+OG^2=BO^2$，代入$OB=7\ \mathrm{cm}$得：
$(3y)^2+(4y)^2=7^2$
化简得$25y^2=49$，解得$y=\dfrac{7}{5}$（负值舍去），因此$BG=3×\dfrac{7}{5}=\dfrac{21}{5}$，$OG=4×\dfrac{7}{5}=\dfrac{28}{5}$。
可得$AG=AO-OG=20-\dfrac{28}{5}=\dfrac{72}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，根据勾股定理$BG^2+AG^2=AB^2$，代入数据得：
$AB^2=(\dfrac{21}{5})^2+(\dfrac{72}{5})^2=\dfrac{441+5184}{25}=225$
解得$AB=15$（长度为正），因此$\sin∠ BAO=\dfrac{BG}{AB}=\dfrac{\dfrac{21}{5}}{15}=\dfrac{7}{25}$。
【答案】
(1) 此时$AD$的长为$12\ \mathrm{cm}$；
(2) 此时$\sin∠ BAO$的值为$\dfrac{7}{25}$。
【知识点】
解直角三角形的应用；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题结合生活中窗户固定的实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题的关键是合理构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的比例关系和勾股定理求解线段长度，侧重考查基础知识的应用能力，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
