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14.如图,一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东$30°$方向上,轮船沿着正北方向航行20 n mile到达B处,此时测得灯塔M位于B的北偏东$60°$方向上,测得港口C位于B的北偏东$45°$方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
(1)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(2)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
(1)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(2)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
答案
解:(1)如图,过点 $M$ 作 $ME⊥AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，
$\because ∠DBM=∠A+∠AMB=30°+∠AMB=60°$，
$\therefore ∠AMB=30°$，
$\therefore △ABM$ 是等腰三角形，
$\therefore BM=AB=20\ \mathrm{n\ mile}$。
在 $Rt△BEM$ 中,$∠EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore EM=BM · \sin∠EBM=20 × \sin 60°=20 × \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile})$。
答:灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$。
(2)如图,过点 $C$ 作 $CD⊥AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $D$。
$\because CD⊥AB,ME⊥AB,AB,MC$ 都是正北方向，
$\therefore$ 四边形 $CDEM$ 是矩形，
$\therefore CD=EM=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},DE=CM$。
在 $Rt△BEM$ 中,$∠EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore BE=BM · \cos∠EBM=20 × \cos 60°=20 × \frac{1}{2}=10(\mathrm{n\ mile})$。
$\because$ 在 $Rt△CDB$ 中,$∠DBC=45°$，
$\therefore △CDB$ 是等腰直角三角形，
$\therefore CD=BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore CM=DE=BD-BE=10\sqrt{3}-10=10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
答:港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
解析
【分析】
本题是方位角背景下的解直角三角形应用题，解题思路如下：
(1)求灯塔M到航线AB的距离，首先过M作AB延长线的垂线ME构造直角三角形。先根据方位角的角度关系，利用三角形外角性质推出∠AMB=∠A=30°，得到等腰△ABM，求出BM的长度，再在Rt△BEM中利用60°的正弦值即可求出ME，即M到AB的距离。
(2)求C、M的距离，首先过C作AB延长线的垂线CD，结合C在M正北方向，可得四边形CDEM是矩形，将CM转化为DE的长度。先在Rt△BEM中用60°的余弦值求出BE的长度，再根据∠CBD=45°得到等腰直角△CDB，求出BD的长度，最后用BD减去BE即可得到DE也就是CM的长度。
【解析】
(1)如图，过点 $M$ 作 $ME⊥AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，
$\because ∠DBM=∠A+∠AMB=30°+∠AMB=60°$，
$\therefore ∠AMB=30°$，
$\therefore ∠A=∠AMB$，即 $△ ABM$ 是等腰三角形，
$\therefore BM=AB=20\ \mathrm{n\ mile}$。
在 $Rt△BEM$ 中,$∠EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore EM=BM · \sin∠EBM=20 × \sin 60°=20 × \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile})$。
答:灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$。
(2)如图,过点 $C$ 作 $CD⊥AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $D$。
$\because CD⊥AB,ME⊥AB,CM$ 为正北方向与 $AB$ 平行，
$\therefore$ 四边形 $CDEM$ 是矩形，
$\therefore CD=EM=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},DE=CM$。
在 $Rt△BEM$ 中,$∠EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore BE=BM · \cos∠EBM=20 × \cos 60°=20 × \frac{1}{2}=10(\mathrm{n\ mile})$。
$\because$ 在 $Rt△CDB$ 中,$∠DBC=45°$，
$\therefore △CDB$ 是等腰直角三角形，
$\therefore CD=BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore CM=DE=BD-BE=10\sqrt{3}-10=10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
答:港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】
(1) 灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$；
(2) 港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
【知识点】
解直角三角形的方位角应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是方位角类解直角三角形的典型题型，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合角度关系识别等腰三角形、矩形等特殊图形，再利用特殊角的三角函数值计算边长。解题时需注意方位角的定义和角度转化，熟练掌握特殊锐角的三角函数值是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是方位角背景下的解直角三角形应用题，解题思路如下：
(1)求灯塔M到航线AB的距离，首先过M作AB延长线的垂线ME构造直角三角形。先根据方位角的角度关系，利用三角形外角性质推出∠AMB=∠A=30°，得到等腰△ABM，求出BM的长度，再在Rt△BEM中利用60°的正弦值即可求出ME，即M到AB的距离。
(2)求C、M的距离，首先过C作AB延长线的垂线CD，结合C在M正北方向，可得四边形CDEM是矩形，将CM转化为DE的长度。先在Rt△BEM中用60°的余弦值求出BE的长度，再根据∠CBD=45°得到等腰直角△CDB，求出BD的长度，最后用BD减去BE即可得到DE也就是CM的长度。
【解析】
(1)如图，过点 $M$ 作 $ME⊥AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，
$\because ∠DBM=∠A+∠AMB=30°+∠AMB=60°$，
$\therefore ∠AMB=30°$，
$\therefore ∠A=∠AMB$，即 $△ ABM$ 是等腰三角形，
$\therefore BM=AB=20\ \mathrm{n\ mile}$。
在 $Rt△BEM$ 中,$∠EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore EM=BM · \sin∠EBM=20 × \sin 60°=20 × \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(\mathrm{n\ mile})$。
答:灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$。
(2)如图,过点 $C$ 作 $CD⊥AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $D$。
$\because CD⊥AB,ME⊥AB,CM$ 为正北方向与 $AB$ 平行，
$\therefore$ 四边形 $CDEM$ 是矩形，
$\therefore CD=EM=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile},DE=CM$。
在 $Rt△BEM$ 中,$∠EBM=60°,BM=20\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore BE=BM · \cos∠EBM=20 × \cos 60°=20 × \frac{1}{2}=10(\mathrm{n\ mile})$。
$\because$ 在 $Rt△CDB$ 中,$∠DBC=45°$，
$\therefore △CDB$ 是等腰直角三角形，
$\therefore CD=BD=10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$，
$\therefore CM=DE=BD-BE=10\sqrt{3}-10=10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
答:港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】
(1) 灯塔 $M$ 到轮船航线 $AB$ 的距离为 $10\sqrt{3}\ \mathrm{n\ mile}$；
(2) 港口 $C$ 与灯塔 $M$ 的距离为 $10(\sqrt{3}-1)\ \mathrm{n\ mile}$。
【知识点】
解直角三角形的方位角应用；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题是方位角类解直角三角形的典型题型，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合角度关系识别等腰三角形、矩形等特殊图形，再利用特殊角的三角函数值计算边长。解题时需注意方位角的定义和角度转化，熟练掌握特殊锐角的三角函数值是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
15. (应用意识)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动。
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
活动过程 测绘过程与数据信息
①在水池取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作$GH ⊥ CE$，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 m；
③在点F处用测角仪测得$∠ CFG=60.3°$，$∠ BFG=45°$，$∠ AFG=21.8°$；
④用计算器计算得：$\sin 60.3° \approx 0.87$，$\cos 60.3° \approx 0.50$，$\tan 60.3° \approx 1.75$，$\sin 21.8° \approx 0.37$，$\cos 21.8° \approx 0.93$，$\tan 21.8° \approx 0.40$
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)求线段CE和BC的长度(结果保留整数)；
(2)求底座的底面ABCD的面积(结果保留整数)。
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
活动过程 测绘过程与数据信息
①在水池取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作$GH ⊥ CE$，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4 m；
③在点F处用测角仪测得$∠ CFG=60.3°$，$∠ BFG=45°$，$∠ AFG=21.8°$；
④用计算器计算得：$\sin 60.3° \approx 0.87$，$\cos 60.3° \approx 0.50$，$\tan 60.3° \approx 1.75$，$\sin 21.8° \approx 0.37$，$\cos 21.8° \approx 0.93$，$\tan 21.8° \approx 0.40$
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
(1)求线段CE和BC的长度(结果保留整数)；
(2)求底座的底面ABCD的面积(结果保留整数)。
答案
15. 解:(1)$\because GH⊥CE,EF$ 的长为 $4\ \mathrm{m},∠CFG=60.3°$，
$\therefore \tan∠CFE=\tan 60.3°=\frac{CE}{EF}\approx 1.75$，
$\therefore CE=4× 1.75=7(\mathrm{m})$。
$\because ∠BFG=45°,∴BE=EF=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CE-BE=7-4=3(\mathrm{m})$。
(2)如图,过点 $A$ 作 $AM⊥GH$ 于点 $M$。
$\because ∠AFG=21.8°$，
$\therefore \tan∠AFG=\tan 21.8°=\frac{AM}{MF}\approx 0.4$。
$\because AM=BE=4\ \mathrm{m},∴MF=4÷0.4=10(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=ME=MF-EF=10-4=6(\mathrm{m})$，
又$\because BC=3$，
$\therefore$ 底座的底面 $ABCD$ 的面积为 $3× 6=18(\mathrm{m^2})$。
解析
【分析】
(1) 先定位边长所在的直角三角形：由$GH⊥ CE$可知$△ CEF$、$△ BEF$均为直角三角形，已知$EF$的长度和$∠ CFG$的度数，可通过正切函数直接求出$CE$的长度；再由$∠ BFG=45°$可得$△ BEF$是等腰直角三角形，推出$BE=EF$，最后用$CE$减去$BE$即可得到$BC$的长度。
(2) 求矩形面积需要先得到$AB$的长度：过点$A$作$AM⊥ GH$于$M$，根据矩形的性质可知$AM=BE$、$AB=ME$，再结合$∠ AFG$的正切值求出$MF$的长度，用$MF$减去$EF$即可得到$AB$的长度，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because GH⊥ CE$，$EF=4\ \mathrm{m}$，$∠ CFG=60.3°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$\tan∠ CFE=\tan60.3°=\frac{CE}{EF}\approx1.75$，
$\therefore CE=EF×\tan60.3°\approx4×1.75=7(\mathrm{m})$。
$\because ∠ BFG=45°$，$∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$是等腰直角三角形，$\therefore BE=EF=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CE-BE=7-4=3(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点$A$作$AM⊥ GH$于点$M$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB// CE$，$AB=ME$，$AM=BE=4\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AMF$中，$∠ AFG=21.8°$，$\tan∠ AFG=\frac{AM}{MF}\approx0.40$，
$\therefore MF=\frac{AM}{\tan21.8°}\approx\frac{4}{0.4}=10(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=ME=MF-EF=10-4=6(\mathrm{m})$，
$\therefore$ 矩形$ABCD$的面积$S=AB× BC=6×3=18(\mathrm{m^2})$。
【答案】
(1) $CE$的长为$\boldsymbol{7\ \mathrm{m}}$，$BC$的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) 底座底面$ABCD$的面积为$\boldsymbol{18\ \mathrm{m^2}}$。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了三角函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据已知条件构造合适的直角三角形，结合给定的三角函数值求解对应边长，能有效提升将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先定位边长所在的直角三角形：由$GH⊥ CE$可知$△ CEF$、$△ BEF$均为直角三角形，已知$EF$的长度和$∠ CFG$的度数，可通过正切函数直接求出$CE$的长度；再由$∠ BFG=45°$可得$△ BEF$是等腰直角三角形，推出$BE=EF$，最后用$CE$减去$BE$即可得到$BC$的长度。
(2) 求矩形面积需要先得到$AB$的长度：过点$A$作$AM⊥ GH$于$M$，根据矩形的性质可知$AM=BE$、$AB=ME$，再结合$∠ AFG$的正切值求出$MF$的长度，用$MF$减去$EF$即可得到$AB$的长度，最后代入矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because GH⊥ CE$，$EF=4\ \mathrm{m}$，$∠ CFG=60.3°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$\tan∠ CFE=\tan60.3°=\frac{CE}{EF}\approx1.75$，
$\therefore CE=EF×\tan60.3°\approx4×1.75=7(\mathrm{m})$。
$\because ∠ BFG=45°$，$∠ BEF=90°$，
$\therefore △ BEF$是等腰直角三角形，$\therefore BE=EF=4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=CE-BE=7-4=3(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点$A$作$AM⊥ GH$于点$M$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AB// CE$，$AB=ME$，$AM=BE=4\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AMF$中，$∠ AFG=21.8°$，$\tan∠ AFG=\frac{AM}{MF}\approx0.40$，
$\therefore MF=\frac{AM}{\tan21.8°}\approx\frac{4}{0.4}=10(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=ME=MF-EF=10-4=6(\mathrm{m})$，
$\therefore$ 矩形$ABCD$的面积$S=AB× BC=6×3=18(\mathrm{m^2})$。
【答案】
(1) $CE$的长为$\boldsymbol{7\ \mathrm{m}}$，$BC$的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) 底座底面$ABCD$的面积为$\boldsymbol{18\ \mathrm{m^2}}$。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了三角函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据已知条件构造合适的直角三角形，结合给定的三角函数值求解对应边长，能有效提升将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.6
