反比例函数
反比例函数的概念
反比例函数的图象与性质
图象——双曲线
性质
k＞0，在每一个象限内，y随x的增大而①
k＜0，在每一个象限内，y随x的增大而②

k的几何意义
在反比例函数图象上任取一点，过这一点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值③
在反比例函数图象上任取一点，过这一点向一个坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形面积是定值④
实际问题与反比例函数

1. 减小
2. 增大
3. |k|
4. $\frac{1}{2}|k|$

【分析】
本题考查反比例函数的核心基础知识点，解题时可逐一对应相关知识点推导：1. 回忆反比例函数的增减性规律，结合k的正负符号判断y随x的变化趋势；2. 推导k的几何意义时，可设反比例函数上点的坐标为(x,y)，结合反比例函数解析式可变形为xy=k的特点，根据矩形、三角形的面积公式计算即可得到对应定值。
【解析】
① 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
② 当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
③ 设反比例函数图象上任意一点坐标为$(x,y)$，则满足$xy=k$。过该点向$x$轴、$y$轴分别作垂线，围成矩形的长为$|x|$，宽为$|y|$，面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$，即定值为$|k|$；
④ 过该点向单个坐标轴作垂线，这一点、垂足和原点构成的三角形面积是上述矩形面积的一半，即$S=\frac{1}{2}|k|$，即定值为$\frac{1}{2}|k|$。
【答案】
①减小；②增大；③$|k|$；④$\frac{1}{2}|k|$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数k的几何意义
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，考查的内容均为该章节的核心基础结论，是解决反比例函数相关综合题的前提，需要准确记忆、熟练掌握。
【难度系数】
0.9

1. 下列函数是反比例函数的是 （）

A.$y=x$
B.$y=kx^{-1}$
C.$y=\frac{-8}{x}$
D.$y=\frac{8}{x^2}$

1. C

【分析】
解这道题的核心是紧扣反比例函数的定义，首先明确反比例函数的3个判定要点：①可整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的形式，也可变形为$y=kx^{-1}$或$xy=k$（$k≠0$）；②自变量$x$的次数为$-1$；③系数$k$不能为0。接下来逐一判断每个选项是否符合上述要点，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，也可写为$y=kx^{-1}(k\ne0)$、$xy=k(k\ne0)$的形式，对各选项逐一分析：
1. 选项A：$y=x$是正比例函数，不符合反比例函数的形式，排除；
2. 选项B：$y=kx^{-1}$未注明$k\ne0$，当$k=0$时函数变为$y=0$，不属于反比例函数，排除；
3. 选项C：$y=\frac{-8}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-8\ne0$，满足反比例函数的定义；
4. 选项D：$y=\frac{8}{x^2}$中自变量$x$的次数为$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记反比例函数的形式特征，尤其要注意定义中“系数不为0”“自变量次数为-1”两个容易忽略的要点，掌握定义即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

2. 在双曲线$y=\frac{1-k}{x}$的任一支上，若y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）

A.2
B.0
C.-2
D.1

2. A

【分析】
本题考查反比例函数的增减性规律，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\frac{a}{x}(a≠0)$的核心性质：当比例系数$a＜0$时，函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大；当$a＞0$时，每一支上y随x的增大而减小。结合题目给出的“任一支上y随x增大而增大”的条件，可列出关于k的不等式，解出k的取值范围后对照选项筛选即可。
【解析】
根据反比例函数的增减性规律：若反比例函数$y=\frac{a}{x}(a≠0)$的每一支上y随x的增大而增大，则比例系数$a＜0$。
本题中反比例函数的比例系数为$1-k$，结合题意列不等式：
$1-k＜0$
移项解得：$k＞1$
逐一核对选项：
A选项$2＞1$，符合要求；B选项$0＜1$、C选项$-2＜1$均不符合；D选项$k=1$时，比例系数为0，函数不是反比例函数，不符合要求。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题型，解题的核心是准确掌握反比例函数增减性和比例系数符号的对应关系，做题时要注意反比例函数的增减性是限定在每一个分支上的，不要混淆规律。
【难度系数】
0.8

3. 若函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象过点$(\frac{1}{2},\frac{4}{3})$，则此函数图象位于（）

A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限

3. B

【分析】
这是反比例函数的基础题，解题思路清晰可分为三步：第一步回忆反比例函数的核心性质：对于$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，$k$的正负直接决定图象所在象限，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限；第二步利用“函数图象上的点坐标满足函数解析式”的特征，把已知点的坐标代入解析式求出$k$的值；第三步根据$k$的正负匹配对应的象限，选出正确选项。
【解析】
解：
∵函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象过点$(\frac{1}{2},\frac{4}{3})$
∴将$x=\frac{1}{2}$、$y=\frac{4}{3}$代入函数解析式，可得：
$\frac{4}{3}=\frac{k}{\frac{1}{2}}$
解得$k=\frac{4}{3} × \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$
∵$k=\frac{2}{3}＞0$
∴该反比例函数的图象位于第一、第三象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数系数
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的基本性质，只要熟练掌握反比例函数$k$值和图象位置的对应关系，能正确代入点坐标计算$k$，就可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8

4.若点$A(-3,y_{1})$，$B(-1,y_{2})$，$C(2,y_{3})$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是（）

A.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
B.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
D.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$

4. A

【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象和性质，根据$k＜0$判断函数图象所在的象限，以及在每个象限内的增减性；再判断三个点分别位于哪个象限，不同象限内的点先通过纵坐标的正负初步比较大小，同一象限内的点再结合增减性比较纵坐标的大小，最终就能得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(-3,y_1)$、$B(-1,y_2)$的横坐标均为负，
∴两点都在第二象限，第二象限内点的纵坐标均为正数；
点$C(2,y_3)$的横坐标为正，
∴点$C$在第四象限，第四象限内点的纵坐标均为负数，因此$y_3$最小。
又
∵$-3 ＜ -1$，且第二象限内$y$随$x$的增大而增大，
∴$y_1 ＜ y_2$。
综上可得：$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的常规应用题，解题时要注意：反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，不同象限的点需先根据纵坐标的正负判断大小，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8

5. 如图,函数$y_1=\frac{k_1}{x}$与$y_2=k_2x$的图象相交于点$A(1,2)$和点$B$,当$y_1＜y_2$时,自变量$x$的取值范围是 ()

A.$x＞1$
B.$-1＜x＜0$
C.$-1＜x＜0$或$x＞1$
D.$x＜-1$或$0＜x＜1$

5. C

【分析】
解题时首先利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，由已知点A的坐标求出点B的坐标；再结合函数图象，判断直线（$y_2$）在反比例函数图象（$y_1$）上方时对应的$x$的取值范围即可，注意要分象限讨论，避免漏解。
【解析】
∵ 正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴ 两个函数的交点也关于原点对称，
已知点A坐标为$(1,2)$，则点B的坐标为$(-1,-2)$。
结合图象分析：
1. 在第一象限内，当$x＞1$时，$y_2$的图象在$y_1$图象上方，满足$y_1＜y_2$；
2. 在第三象限内，当$-1＜x＜0$时，$y_2$的图象在$y_1$图象上方，满足$y_1＜y_2$。
综上，当$y_1＜y_2$时，自变量$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
正反比例函数图象性质，函数图象与不等式，中心对称的性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式求解中的应用，解题的关键是先求出两个交点坐标，再结合图象分区域判断函数值大小关系，注意不要遗漏第三象限的取值范围。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在第一象限内,点$P(2,3),M(a,2)$是双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上的两点,$PA⊥x$轴于点$A$,$MB⊥x$轴于点$B$,$PA$与$OM$交于点$C$,则$△ OAC$的面积为 ()


A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$2$
D.$\frac{8}{3}$

6. B

【分析】
解题思路分为四步：①先利用反比例函数上已知点P的坐标求出k值，确定反比例函数解析式；②将点M的纵坐标代入反比例函数解析式，求出a的值，得到点M的坐标；③求出过原点和点M的直线OM的解析式；④找到PA与OM的交点C的坐标，再利用三角形面积公式计算△OAC的面积即可。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
把点$P(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×3=6$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求点M的坐标：
因为$M(a,2)$在$y=\frac{6}{x}$上，代入得$2=\frac{6}{a}$，解得$a=3$，即$M(3,2)$。
3. 求直线OM的解析式：
设直线OM的解析式为$y=mx$（$m≠0$），将$M(3,2)$代入得$2=3m$，解得$m=\frac{2}{3}$，因此直线OM的解析式为$y=\frac{2}{3}x$。
4. 求交点C的坐标并计算面积：
因为$PA⊥ x$轴，点P横坐标为2，所以点A坐标为$(2,0)$，PA上所有点的横坐标均为2。
将$x=2$代入$y=\frac{2}{3}x$，得$y=\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}$，即点C坐标为$(2,\frac{4}{3})$。
$△ OAC$中，底$OA=2$，高为点C的纵坐标$\frac{4}{3}$，因此面积为：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}× OA× y_C=\frac{1}{2}×2×\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数解析式求解，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，解题核心是利用点在函数图象上的性质逐步求出未知点坐标和直线解析式，考察了学生对函数基本性质的掌握和简单几何计算的能力，解题逻辑清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.7