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在实验课上,小明做了一个试验.如图
,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(单位:cm)(0 ＜ x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
把上表中的x与y₁各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图2所示的y₁关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y₂关于x的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测y₁与x之间的函数关系,并求y₁关于x的函数表达式;
②求y₂关于x的函数表达式;
③当0 ＜ x≤60时,y₁随x的增大而
(3)若在容器中加入的水的质量y₂(单位:g)满足19≤y₂≤45,求托盘B与点C的距离x(单位:cm)的取值范围.
,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(单位:cm)(0 ＜ x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:把上表中的x与y₁各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图2所示的y₁关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出y₂关于x的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测y₁与x之间的函数关系,并求y₁关于x的函数表达式;
②求y₂关于x的函数表达式;
③当0 ＜ x≤60时,y₁随x的增大而
减小
(填“增大”或“减小”),y₂随x的增大而减小
(填“增大”或“减小”),y₂的图象可以由y₁的图象向下
(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到.(3)若在容器中加入的水的质量y₂(单位:g)满足19≤y₂≤45,求托盘B与点C的距离x(单位:cm)的取值范围.
答案
解: (1) 函数图象如图所示：
(2) ①观察图象可知,$y_1$可能是关于$x$的反比例函数.
设$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$.
把$(30,10)$代入$y_1=\frac{k}{x}$,得$k=300$.
经检验,其余各个点的坐标均满足$y_1=\frac{300}{x}$.
∴$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=\frac{300}{x}$.
②观察表格以及①可知,$y_2 + 5$可能与$x$成反比例.
设$y_2 + 5=\frac{m}{x}(m≠0)$.
把$(30,5)$代入$y_2 + 5=\frac{m}{x}$,得$m=300$.
经检验,其余各个点的坐标均满足$y_2 + 5=\frac{300}{x}$.
∴$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=\frac{300}{x}-5$.
③减小 减小 下
(3) 当$y_2=19$时,$19=\frac{300}{x}-5$. 解得$x=\frac{25}{2}$.
当$y_2=45$时,$45=\frac{300}{x}-5$. 解得$x=6$.
∴托盘B与点C的距离$x$(单位:cm)的取值范围为$6≤x≤\frac{25}{2}$.
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：1. 作图部分：y₂是容器内水的质量，总质量y₁=水的质量+容器质量（5g），因此同一x值下y₂=y₁-5，将y₁的每个对应点向下平移5个单位后描点，用光滑曲线连接即可得到y₂的图象。2. 求函数解析式：①观察y₁的图象符合反比例函数特征，设反比例函数一般形式，代入已知点坐标求比例系数k，再验证其余点均满足解析式即可。②根据y₁和y₂的数量关系（y₂=y₁-5），结合y₁的解析式直接推导，或根据总质量（水+容器）与x成反比例的规律代点求解即可。③根据反比例函数k＞0时x＞0区间的增减性判断变化趋势，再根据两个函数的表达式关系判断平移方向。3. 求x的取值范围：将y₂的边界值代入解析式求出对应x的值，结合函数增减性确定x的范围即可。
【解析】
(1) 同一x对应的y₂值为y₁-5，将y₁图象上的各点向下平移5个单位，描点后用光滑曲线连接，得到y₂关于x的函数图象：
(2) ①观察y₁的图象特征，猜测y₁是x的反比例函数，设解析式为$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(30,10)$代入解析式得$10=\frac{k}{30}$，解得$k=300$。
代入其余点坐标验证，均满足$y_1=\frac{300}{x}$，因此$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=\frac{300}{x}(0＜x≤60)$。
②容器质量为5g，因此总质量$y_1=y_2+5$，结合①的结论可得$y_2+5=\frac{300}{x}$，整理得$y_2$的函数表达式为$y_2=\frac{300}{x}-5(0＜x≤60)$（也可设$y_2+5=\frac{m}{x}$，代入点$(30,5)$求得$m=300$，整理得相同结果）。
③对于反比例函数$y=\frac{300}{x}$，$k=300＞0$，当$x＞0$时y随x的增大而减小，因此y₁随x增大而减小；$y_2=\frac{300}{x}-5$的增减性与$y_1$一致，也随x增大而减小；对比两个函数表达式，$y_2$是$y_1$的函数值减5得到，因此图象由y₁的图象向下平移5个单位得到。
(3) 已知$19≤y_2≤45$，将$y_2=\frac{300}{x}-5$代入计算：
当$y_2=19$时，$19=\frac{300}{x}-5$，解得$x=\frac{25}{2}$；
当$y_2=45$时，$45=\frac{300}{x}-5$，解得$x=6$；
因为y₂随x的增大而减小，因此当$19≤y_2≤45$时，x的取值范围为$6≤x≤\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示：
(2) ①$y_1=\frac{300}{x}(0＜x≤60)$；②$y_2=\frac{300}{x}-5(0＜x≤60)$；③减小，减小，下
(3) $6≤x≤\frac{25}{2}$
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的性质，函数图象的平移
【点评】
本题结合实际实验情境考查反比例函数的应用，要求学生能从图象特征判断函数类型，掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合函数增减性求解自变量的取值范围，兼顾了对读图能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：1. 作图部分：y₂是容器内水的质量，总质量y₁=水的质量+容器质量（5g），因此同一x值下y₂=y₁-5，将y₁的每个对应点向下平移5个单位后描点，用光滑曲线连接即可得到y₂的图象。2. 求函数解析式：①观察y₁的图象符合反比例函数特征，设反比例函数一般形式，代入已知点坐标求比例系数k，再验证其余点均满足解析式即可。②根据y₁和y₂的数量关系（y₂=y₁-5），结合y₁的解析式直接推导，或根据总质量（水+容器）与x成反比例的规律代点求解即可。③根据反比例函数k＞0时x＞0区间的增减性判断变化趋势，再根据两个函数的表达式关系判断平移方向。3. 求x的取值范围：将y₂的边界值代入解析式求出对应x的值，结合函数增减性确定x的范围即可。
【解析】
(1) 同一x对应的y₂值为y₁-5，将y₁图象上的各点向下平移5个单位，描点后用光滑曲线连接，得到y₂关于x的函数图象：
(2) ①观察y₁的图象特征，猜测y₁是x的反比例函数，设解析式为$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将点$(30,10)$代入解析式得$10=\frac{k}{30}$，解得$k=300$。
代入其余点坐标验证，均满足$y_1=\frac{300}{x}$，因此$y_1$关于x的函数表达式为$y_1=\frac{300}{x}(0＜x≤60)$。
②容器质量为5g，因此总质量$y_1=y_2+5$，结合①的结论可得$y_2+5=\frac{300}{x}$，整理得$y_2$的函数表达式为$y_2=\frac{300}{x}-5(0＜x≤60)$（也可设$y_2+5=\frac{m}{x}$，代入点$(30,5)$求得$m=300$，整理得相同结果）。
③对于反比例函数$y=\frac{300}{x}$，$k=300＞0$，当$x＞0$时y随x的增大而减小，因此y₁随x增大而减小；$y_2=\frac{300}{x}-5$的增减性与$y_1$一致，也随x增大而减小；对比两个函数表达式，$y_2$是$y_1$的函数值减5得到，因此图象由y₁的图象向下平移5个单位得到。
(3) 已知$19≤y_2≤45$，将$y_2=\frac{300}{x}-5$代入计算：
当$y_2=19$时，$19=\frac{300}{x}-5$，解得$x=\frac{25}{2}$；
当$y_2=45$时，$45=\frac{300}{x}-5$，解得$x=6$；
因为y₂随x的增大而减小，因此当$19≤y_2≤45$时，x的取值范围为$6≤x≤\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) 函数图象如图所示：
(2) ①$y_1=\frac{300}{x}(0＜x≤60)$；②$y_2=\frac{300}{x}-5(0＜x≤60)$；③减小，减小，下
(3) $6≤x≤\frac{25}{2}$
【知识点】
反比例函数解析式确定，反比例函数的性质，函数图象的平移
【点评】
本题结合实际实验情境考查反比例函数的应用，要求学生能从图象特征判断函数类型，掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合函数增减性求解自变量的取值范围，兼顾了对读图能力和知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
