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7. 函数$y=-ax+a$与$y=\frac{a}{x}(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
B
）答案
7. B
解析
【分析】
要判断两个含相同参数a的函数图象是否匹配，可采用分类讨论的方法：分a＞0和a＜0两种情况，分别根据一次函数、反比例函数的性质确定对应图象的位置，再与选项逐一对比，找到符合条件的选项即可。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=-ax+a$：斜率$-a＜0$，图象呈下降趋势；截距$a＞0$，与y轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$：$a＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、三象限；
观察选项，选项B符合该情况的特征。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=-ax+a$：斜率$-a＞0$，图象呈上升趋势；截距$a＜0$，与y轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$：$a＜0$，因此图象的两个分支分别位于第二、四象限；
逐一验证剩余选项：
选项A：一次函数经过第一、二、三象限，与a＜0时一次函数过一三四象限矛盾，排除；
选项C：一次函数与y轴交于正半轴，与a＜0时截距为负矛盾，排除；
选项D：反比例函数位于第二、四象限说明a＜0，但一次函数呈下降趋势说明$-a＜0$即$a＞0$，二者矛盾，排除。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住两个函数的参数相同这一特点，通过分类讨论参数的取值范围，分别确定两个函数图象的特征，再进行匹配，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.7
要判断两个含相同参数a的函数图象是否匹配，可采用分类讨论的方法：分a＞0和a＜0两种情况，分别根据一次函数、反比例函数的性质确定对应图象的位置，再与选项逐一对比，找到符合条件的选项即可。
【解析】
我们分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
一次函数$y=-ax+a$：斜率$-a＜0$，图象呈下降趋势；截距$a＞0$，与y轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$：$a＞0$，因此图象的两个分支分别位于第一、三象限；
观察选项，选项B符合该情况的特征。
2. 当$a＜0$时：
一次函数$y=-ax+a$：斜率$-a＞0$，图象呈上升趋势；截距$a＜0$，与y轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{a}{x}$：$a＜0$，因此图象的两个分支分别位于第二、四象限；
逐一验证剩余选项：
选项A：一次函数经过第一、二、三象限，与a＜0时一次函数过一三四象限矛盾，排除；
选项C：一次函数与y轴交于正半轴，与a＜0时截距为负矛盾，排除；
选项D：反比例函数位于第二、四象限说明a＜0，但一次函数呈下降趋势说明$-a＜0$即$a＞0$，二者矛盾，排除。
综上只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分类讨论
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住两个函数的参数相同这一特点，通过分类讨论参数的取值范围，分别确定两个函数图象的特征，再进行匹配，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.7
二、填空题
8. 若点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
则代数式$ab -1$的值为
8. 若点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
则代数式$ab -1$的值为
1
。答案
8. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心逻辑：若一个点在某函数的图象上，则该点的坐标满足对应的函数解析式。我们可先将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a与b的乘积，再将其整体代入待求代数式计算，即可得到结果。
【解析】
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，
等式两边同乘$a$，整理得$ab=2$，
将$ab=2$代入代数式$ab-1$，得$2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，通过整体代入计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确核心逻辑：若一个点在某函数的图象上，则该点的坐标满足对应的函数解析式。我们可先将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a与b的乘积，再将其整体代入待求代数式计算，即可得到结果。
【解析】
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，
等式两边同乘$a$，整理得$ab=2$，
将$ab=2$代入代数式$ab-1$，得$2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，通过整体代入计算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.9
9. 一定质量的氧气,它的密度ρ(单位:kg/m³)是它的体积V(单位:m³)的反比例函数,当V=100 m³时,ρ=1.4 kg/m³,则ρ与V的函数关系式是
$\rho = \frac{140}{V}$
.答案
9. $\rho = \frac{140}{V}$
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：第一步，根据题目告知ρ是V的反比例函数，回忆反比例函数的一般形式，设出含未知常数k的函数解析式；第二步，将已知的V、ρ的对应值代入解析式，求出常数k的值；第三步，将k代回所设解析式，即可得到所求的函数关系式，同时注意结合实际意义，体积V的取值为正数。
【解析】
解：
∵ 密度ρ是体积V的反比例函数，
∴ 设ρ与V的函数关系式为$\rho = \frac{k}{V}$（$k ≠ 0$，$V＞0$），
将$V=100\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.4\ \mathrm{kg/m}^3$代入解析式，得：
$1.4 = \frac{k}{100}$，
解得$k = 1.4 × 100 = 140$，
将$k=140$代回所设解析式，得$\rho = \frac{140}{V}$（$V＞0$）。
【答案】
$\rho = \frac{140}{V}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数应用的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式，解题时只要掌握反比例函数的基本形式，代入已知数值计算即可，需注意自变量需符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：第一步，根据题目告知ρ是V的反比例函数，回忆反比例函数的一般形式，设出含未知常数k的函数解析式；第二步，将已知的V、ρ的对应值代入解析式，求出常数k的值；第三步，将k代回所设解析式，即可得到所求的函数关系式，同时注意结合实际意义，体积V的取值为正数。
【解析】
解：
∵ 密度ρ是体积V的反比例函数，
∴ 设ρ与V的函数关系式为$\rho = \frac{k}{V}$（$k ≠ 0$，$V＞0$），
将$V=100\ \mathrm{m}^3$，$\rho=1.4\ \mathrm{kg/m}^3$代入解析式，得：
$1.4 = \frac{k}{100}$，
解得$k = 1.4 × 100 = 140$，
将$k=140$代回所设解析式，得$\rho = \frac{140}{V}$（$V＞0$）。
【答案】
$\rho = \frac{140}{V}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数应用的基础题型，核心考查待定系数法求函数解析式，解题时只要掌握反比例函数的基本形式，代入已知数值计算即可，需注意自变量需符合实际意义。
【难度系数】
0.8
10. 在同一平面直角坐标系中,正比例函数$y = k_1x$的图象与反比例函数$y = \dfrac{k_2}{x}$的图象没有公共点,则$k_1k_2$
$＜$
$0$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).答案
10. $＜$
解析
【分析】
要解决本题可从两个思路入手：一是结合正比例函数、反比例函数的图象所在象限和系数符号的对应关系判断；二是通过联立两个函数解析式，根据方程有无实数根推导系数关系。首先回忆两类函数的性质：正比例函数$y=k_1x$的象限由$k_1$的符号决定，反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的象限由$k_2$的符号决定，若两图象无交点，说明二者所在象限完全不同，即$k_1$和$k_2$符号相反；若联立方程，得到的关于$x$的方程无实根，也能推出$k_1$、$k_2$的符号关系。
【解析】
方法1：利用函数图象性质分析
① 当$k_1＞0$时，正比例函数$y=k_1x$的图象经过第一、三象限，要使两个函数图象无公共点，则反比例函数图象只能在第二、四象限，即$k_2＜0$，此时$k_1k_2＜0$；
② 当$k_1＜0$时，正比例函数$y=k_1x$的图象经过第二、四象限，要使两个函数图象无公共点，则反比例函数图象只能在第一、三象限，即$k_2＞0$，此时$k_1k_2＜0$；
综上可得$k_1k_2＜0$。
方法2：联立方程求解
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases}y = k_1x \\ y = \dfrac{k_2}{x} \end{cases}$
消去$y$可得$k_1x = \dfrac{k_2}{x}$，由反比例函数定义可知$x≠0$，两边同乘$x$得$k_1x^2 = k_2$，整理为$x^2 = \dfrac{k_2}{k_1}$。
因为两个函数图象没有公共点，说明该方程无实数解，又因为$x^2≥0$，所以$\dfrac{k_2}{k_1}＜0$，即$k_1$与$k_2$异号，因此$k_1k_2＜0$。
【答案】
$＜$
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，函数交点问题
【点评】
本题考查正反比例函数的图象与系数的关系，既可以通过图象象限特征快速判断，也可以通过联立方程转化为代数式符号问题求解，熟练掌握两类函数的性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
要解决本题可从两个思路入手：一是结合正比例函数、反比例函数的图象所在象限和系数符号的对应关系判断；二是通过联立两个函数解析式，根据方程有无实数根推导系数关系。首先回忆两类函数的性质：正比例函数$y=k_1x$的象限由$k_1$的符号决定，反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的象限由$k_2$的符号决定，若两图象无交点，说明二者所在象限完全不同，即$k_1$和$k_2$符号相反；若联立方程，得到的关于$x$的方程无实根，也能推出$k_1$、$k_2$的符号关系。
【解析】
方法1：利用函数图象性质分析
① 当$k_1＞0$时，正比例函数$y=k_1x$的图象经过第一、三象限，要使两个函数图象无公共点，则反比例函数图象只能在第二、四象限，即$k_2＜0$，此时$k_1k_2＜0$；
② 当$k_1＜0$时，正比例函数$y=k_1x$的图象经过第二、四象限，要使两个函数图象无公共点，则反比例函数图象只能在第一、三象限，即$k_2＞0$，此时$k_1k_2＜0$；
综上可得$k_1k_2＜0$。
方法2：联立方程求解
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases}y = k_1x \\ y = \dfrac{k_2}{x} \end{cases}$
消去$y$可得$k_1x = \dfrac{k_2}{x}$，由反比例函数定义可知$x≠0$，两边同乘$x$得$k_1x^2 = k_2$，整理为$x^2 = \dfrac{k_2}{k_1}$。
因为两个函数图象没有公共点，说明该方程无实数解，又因为$x^2≥0$，所以$\dfrac{k_2}{k_1}＜0$，即$k_1$与$k_2$异号，因此$k_1k_2＜0$。
【答案】
$＜$
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，函数交点问题
【点评】
本题考查正反比例函数的图象与系数的关系，既可以通过图象象限特征快速判断，也可以通过联立方程转化为代数式符号问题求解，熟练掌握两类函数的性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
11.如图,正方形ABCO与正方形ADEF的顶点B,E在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上,点A,C,D在坐标轴上,则点E的坐标是
$(\sqrt{5} +1,\sqrt{5} -1)$
.答案
11. $(\sqrt{5} +1,\sqrt{5} -1)$
解析
【分析】
首先根据正方形ABCO的性质，可知点B的横坐标与纵坐标相等，结合点B在反比例函数图象上，可先求出点B的坐标，得到正方形ABCO的边长。再设正方形ADEF的边长为a，用含a的式子表示出点E的坐标，将点E坐标代入反比例函数解析式，解关于a的一元二次方程，舍去负根后即可求出点E的坐标。
【解析】
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB，设点B的坐标为$(m,m)$（$m＞0$），
∵点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$m · m = 4$，即$m^2=4$，
解得$m=2$（$m=-2$舍去），
∴OA=2，即点A的坐标为$(2,0)$。
设正方形ADEF的边长为$a$（$a＞0$），则AD=DE=a，
∴点E的横坐标为$2+a$，纵坐标为$a$，即$E(2+a,a)$。
∵点E在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$a(2+a)=4$，
整理得$a^2+2a-4=0$，
由求根公式得$a=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 + 4×4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
∵$a＞0$，
∴$a=\sqrt{5}-1$，
∴点E的横坐标为$2+a=2+\sqrt{5}-1=\sqrt{5}+1$，纵坐标为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$(\sqrt{5} +1,\sqrt{5} -1)$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的综合题，解题的核心是利用正方形的性质准确表示出相关点的坐标，再结合反比例函数解析式建立方程求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据正方形ABCO的性质，可知点B的横坐标与纵坐标相等，结合点B在反比例函数图象上，可先求出点B的坐标，得到正方形ABCO的边长。再设正方形ADEF的边长为a，用含a的式子表示出点E的坐标，将点E坐标代入反比例函数解析式，解关于a的一元二次方程，舍去负根后即可求出点E的坐标。
【解析】
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=AB，设点B的坐标为$(m,m)$（$m＞0$），
∵点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$m · m = 4$，即$m^2=4$，
解得$m=2$（$m=-2$舍去），
∴OA=2，即点A的坐标为$(2,0)$。
设正方形ADEF的边长为$a$（$a＞0$），则AD=DE=a，
∴点E的横坐标为$2+a$，纵坐标为$a$，即$E(2+a,a)$。
∵点E在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$a(2+a)=4$，
整理得$a^2+2a-4=0$，
由求根公式得$a=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 + 4×4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
∵$a＞0$，
∴$a=\sqrt{5}-1$，
∴点E的横坐标为$2+a=2+\sqrt{5}-1=\sqrt{5}+1$，纵坐标为$\sqrt{5}-1$。
【答案】
$(\sqrt{5} +1,\sqrt{5} -1)$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的综合题，解题的核心是利用正方形的性质准确表示出相关点的坐标，再结合反比例函数解析式建立方程求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
三、解答题
12. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lux). 智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度. 学习小组通过查阅资料，发现照度y(单位:Lux)是透明度x(单位:%)的反比例函数，其图象如图所示.
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意. 它适宜在照度1 000 Lux至3 000 Lux的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由.
12. 光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度(Lux). 智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度. 学习小组通过查阅资料，发现照度y(单位:Lux)是透明度x(单位:%)的反比例函数，其图象如图所示.
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意. 它适宜在照度1 000 Lux至3 000 Lux的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由.
答案
12. 解:(1)设y与x之间的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
把$(30,2\ 000)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=30 × 2\ 000 = 60\ 000$.
∴ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{60\ 000}{x}$.
(2)智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内.
理由:把$y=1\ 000$和$3\ 000$分别代入$y=\frac{60\ 000}{x}$,得
$x=\frac{60\ 000}{1\ 000}=60$,$x=\frac{60\ 000}{3\ 000}=20$.
∴ 智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内.
把$(30,2\ 000)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=30 × 2\ 000 = 60\ 000$.
∴ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{60\ 000}{x}$.
(2)智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内.
理由:把$y=1\ 000$和$3\ 000$分别代入$y=\frac{60\ 000}{x}$,得
$x=\frac{60\ 000}{1\ 000}=60$,$x=\frac{60\ 000}{3\ 000}=20$.
∴ 智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内.
解析
【分析】
(1) 题干明确照度y是透明度x的反比例函数，因此可先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将图象上已知点$A(30,2000)$的坐标代入解析式，即可求出常数k的值，进而得到y与x的函数表达式。
(2) 要求照度在1000Lux~3000Lux时的透明度范围，首先根据反比例函数的性质，k＞0时x＞0区间内y随x的增大而减小，因此只需将y=1000和y=3000分别代入已求的解析式，算出对应的x值，结合增减性即可得到x的取值范围，同时注意x为透明度，符合实际取值要求。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把点$A(30,2000)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$2000=\frac{k}{30}$，解得$k=30×2000=60000$。
∴ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{60000}{x}$。
(2) 智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内，理由如下：
在$y=\frac{60000}{x}$中，$k=60000＞0$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
把$y=1000$代入$y=\frac{60000}{x}$，得$x=\frac{60000}{1000}=60$；
把$y=3000$代入$y=\frac{60000}{x}$，得$x=\frac{60000}{3000}=20$。
因此当$1000≤y≤3000$时，x的取值范围为$20≤x≤60$。
【答案】
(1) $y=\frac{60000}{x}$
(2) 智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能灵活运用反比例函数的增减性求解自变量的取值范围，解题时注意结合实际意义判断取值的合理性即可。
【难度系数】
0.8
(1) 题干明确照度y是透明度x的反比例函数，因此可先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将图象上已知点$A(30,2000)$的坐标代入解析式，即可求出常数k的值，进而得到y与x的函数表达式。
(2) 要求照度在1000Lux~3000Lux时的透明度范围，首先根据反比例函数的性质，k＞0时x＞0区间内y随x的增大而减小，因此只需将y=1000和y=3000分别代入已求的解析式，算出对应的x值，结合增减性即可得到x的取值范围，同时注意x为透明度，符合实际取值要求。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把点$A(30,2000)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$2000=\frac{k}{30}$，解得$k=30×2000=60000$。
∴ y与x之间的函数表达式为$y=\frac{60000}{x}$。
(2) 智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内，理由如下：
在$y=\frac{60000}{x}$中，$k=60000＞0$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小。
把$y=1000$代入$y=\frac{60000}{x}$，得$x=\frac{60000}{1000}=60$；
把$y=3000$代入$y=\frac{60000}{x}$，得$x=\frac{60000}{3000}=20$。
因此当$1000≤y≤3000$时，x的取值范围为$20≤x≤60$。
【答案】
(1) $y=\frac{60000}{x}$
(2) 智能玻璃的透明度x应控制在$20≤x≤60$范围内
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能灵活运用反比例函数的增减性求解自变量的取值范围，解题时注意结合实际意义判断取值的合理性即可。
【难度系数】
0.8
