13. 如图,一次函数$y = mx + n(m≠0)$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(-3,a),B(1,3)$,且一次函数的图象与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出不等式$mx + n ＞ \frac{k}{x}$的解集;
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}$,求点P的坐标.

13. 解:(1)
∵ $y = mx + n(m≠0)$的图象与$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(-3,a),B(1,3)$,
∴ $k=1 × 3 = -3a$.
∴ $k=3,a=-1$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$.
∵ 一次函数$y = mx + n$的图象过$A(-3,-1),B(1,3)$,
∴ $\begin{cases} -3m + n = -1 \\ m + n = 3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} m = 1 \\ n = 2 \end{cases}$.
∴ 一次函数的表达式为$y = x + 2$.
(2)由图象可知,不等式$mx + n ＞ \frac{k}{x}$的解集为$-3 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$.
(3)在一次函数$y = x + 2$中,当$x = 0$时,$y = 2$;当$y = 0$时,$x = -2$.
∴ $C(-2,0),D(0,2)$.
∴ $S_{△OBD}=\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$.
∴ $S_{△OCP}=4S_{△OBD}=4$.
设点P的坐标为$(p,\frac{3}{p})$.
∴ $\frac{1}{2} × 2 × \frac{-3}{p} = 4$. 解得$p = -\frac{3}{4}$.
∴ $P(-\frac{3}{4},-4)$.

【分析】
（1）求函数解析式使用待定系数法：先将点B坐标代入反比例函数表达式求出k值，得到反比例函数表达式；再将点A横坐标代入反比例函数求出a值，确定A点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出m、n，即可得到一次函数表达式。
（2）不等式$mx + n ＞ \frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标以及反比例函数$x≠0$的限制，直接读取图象对应区间即可。
（3）先求出一次函数与x轴、y轴的交点C、D的坐标，计算$△ OBD$的面积，再根据面积关系得到$△ OCP$的面积；设出P点坐标（用反比例函数表达式表示纵坐标），利用三角形面积公式列方程求解，注意P在第三象限，横纵坐标均为负。
【解析】
(1)
∵ 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$的图象过点$B(1,3)$，
∴ $k=1×3=3$，即反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
又
∵ 点$A(-3,a)$在反比例函数图象上，
∴ $a=\frac{3}{-3}=-1$，即A点坐标为$(-3,-1)$。
∵ 一次函数$y = mx + n(m≠0)$的图象过$A(-3,-1)$、$B(1,3)$两点，
∴ 代入得$\begin{cases} -3m + n = -1 \\ m + n = 3 \end{cases}$，
两式相减得$4m=4$，解得$m=1$，将$m=1$代入$m + n = 3$得$n=2$，
∴ 一次函数的表达式为$y = x + 2$。
(2) 不等式$mx + n ＞ \frac{k}{x}$对应一次函数值大于反比例函数值，即图象中一次函数在反比例函数上方的部分：
结合交点$A(-3,-1)$、$B(1,3)$，以及反比例函数$x≠0$的限制，可得解集为$-3 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$。
(3) 对于一次函数$y = x + 2$：
令$x=0$，得$y=2$，即$D(0,2)$；令$y=0$，得$x=-2$，即$C(-2,0)$。
$△ OBD$中，$OD=2$，B点到y轴的距离为1，
∴ $S_{△OBD}=\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
由$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}$得$S_{△ OCP}=4×1=4$。
设第三象限内点P的坐标为$(p,\frac{3}{p})$（$p＜0$），
$△ OCP$中，$OC=2$，P点到x轴的距离为$|\frac{3}{p}|=-\frac{3}{p}$，
∴ $S_{△OCP}=\frac{1}{2} × 2 × (-\frac{3}{p})=4$，
解得$p=-\frac{3}{4}$，代入反比例函数得$\frac{3}{p}=-4$，
∴ 点P的坐标为$(-\frac{3}{4},-4)$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y = x + 2}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{-3 ＜ x ＜ 0}$或$\boldsymbol{x ＞ 1}$；
(3) 点P坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{4},-4)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的基础综合题，侧重考察函数图象性质的应用，解题时要注意结合图象的几何意义简化计算，求解坐标时要注意所在象限的符号限制，避免符号错误。
【难度系数】
0.7

14. 背景:在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池,通过调节滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡 L(灯丝的阻值$R_L=2\ \Omega$)亮度的实验(),已知串联电路中,电流与电阻$R,R_L$之间的关系式为$I=\frac{U}{R+R_L}$,通过实验得出如下数据:

(1)计算:$a=$, $b=$.
(2)探究:根据以上实验,构建出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$,结合表格信息,探究函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象;
②随着自变量$x$的不断增大,函数值$y$的变化趋势是.
(3)拓展:结合(2)中的函数图象分析,当$x≥0$时,$\frac{12}{x+2}≥ -x +6$的解集为.

14. (1) 3 4
(2)①根据表格中的数据,描点、连线得到函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象,如图所示.
②不断减小
(3) $x≥4$或$x=0$

【分析】
(1) 求a、b的值，直接将对应x或y的值代入函数表达式$y=\frac{12}{x+2}$计算即可。
(2) ①画函数图像遵循“描点、连线”的基本步骤，结合给出的坐标点完成绘制即可；②观察图像走向即可判断函数值随自变量的变化趋势。
(3) 解不等式$\frac{12}{x+2}≥ -x +6$可转化为比较函数$y=\frac{12}{x+2}$和$y=-x+6$的图像高低：先求出两个函数的交点，再结合$x≥0$的取值范围，找到$y=\frac{12}{x+2}$图像在$y=-x+6$图像上方（含交点）对应的x的范围，即为不等式的解集。
【解析】
(1) 将$x=2$代入$y=\frac{12}{x+2}$，得$y=\frac{12}{2+2}=3$，即$a=3$；
将$y=4$代入$y=\frac{12}{x+2}$，得$4=\frac{12}{x+2}$，解得$x=1$，即$b=4$。
(2) ①先依次描出点$(0,6)、(1,4)、(2,3)、(3,2.4)、(4,2)、(6,1.5)$等坐标点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象，如图所示：
②观察图像可得，自变量x不断增大时，函数值y不断减小。
(3) 先求两函数交点，令$\frac{12}{x+2}=-x+6$，由于$x≥0$，故$x+2≠0$，两边同乘$x+2$得：
$12=(-x+6)(x+2)$
展开整理得$x^2-4x=0$，解得$x=0$或$x=4$。
结合图像观察：x=0时两函数值相等；$0＜x＜4$时，$y=\frac{12}{x+2}$的图像在$y=-x+6$下方，不满足不等式；$x≥4$时，$y=\frac{12}{x+2}$的图像在$y=-x+6$上方，满足不等式。
因此不等式的解集为$x≥4$或$x=0$。
【答案】
(1) 3；4
(2) ①根据表格中的数据,描点、连线得到函数$y=\frac{12}{x+2}(x≥0)$的图象,如图所示.
②不断减小
(3) $x≥4$或$x=0$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象的画法，一次函数与不等式
【点评】
本题结合物理实验背景考查函数的综合应用，涵盖了函数值计算、图像绘制、性质总结、利用数形结合思想解不等式多个考点，注重不同知识点的融合应用。
【难度系数】
0.65