【例1】下列语句中属于定理的是（）

A.在直线AB上任取一点E
B.如果两个角相等,那么这两个角是同位角
C.对顶角相等
D.直线AB和CD垂直吗？

【例1】 C

【分析】
要解决这道题，首先要明确判断依据：定理的本质是经过推理证实的真命题，而命题是能够判断真假的陈述句。解题时先排除不属于命题的选项，再判断剩余命题的真假，最后找出符合定理定义的选项即可。
第一步：先判断选项是不是命题，陈述句且能判断真假才是命题，疑问句、操作指令都不是命题；
第二步：对是命题的选项判断真假，假命题直接排除；
第三步：剩余的真命题中，经过证实可作为推理依据的就是定理。
【解析】
首先明确定理的定义：经过逻辑推理证明为正确的、可作为推理依据的真命题叫做定理。我们逐一分析选项：
A. “在直线AB上任取一点E”是操作描述，没有对事物作出真假判断，不属于命题，因此不是定理；
B. “如果两个角相等，那么这两个角是同位角”是假命题，例如对顶角相等但不属于同位角，因此不是定理；
C. “对顶角相等”是经过推理证明的真命题，可作为几何证明的依据，属于定理；
D. “直线AB和CD垂直吗？”是疑问句，没有作出真假判断，不属于命题，因此不是定理。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
定理的定义；命题的判断；真假命题的识别
【点评】
本题考查对定理概念的掌握，解题的核心是先区分语句是否为命题，再判断命题的真假，需注意定理必须同时满足“是真命题”“经过推理证实”两个条件，是基础的概念辨析题。
【难度系数】
0.8

【变式】如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（）


A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.对顶角相等，两直线平行

【变式】 B

【分析】
解题时先回忆平行线的判定定理，再结合作图过程分析角的关系：首先两个相同三角板的对应角相等，观察这组相等角的位置，它们在截线两侧、夹在直线m和n之间，属于内错角，对应内错角相等判定平行的定理；再逐一排除错误选项：选项D本身错误，对顶角相等不能判定平行，且相等的角不符合同位角、同旁内角的位置特征，排除A、C，即可得到正确答案。
【解析】
解：逐一分析选项：
1. 选项D：对顶角相等是对顶角的性质，无法作为判定两直线平行的依据，首先排除D；
2. 作图时两个相同三角板的相等角，位于截线两侧，且夹在直线m、n之间，属于内错角，即作图得到了一组相等的内错角；
3. 根据平行线判定定理：内错角相等，两直线平行，可推出n//m，符合选项B的描述；
4. 这组相等的角不满足同位角（截线同侧）的位置特征，也不是需要互补才能判定平行的同旁内角，因此排除A、C。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定、内错角的识别
【点评】
本题结合三角板作平行线的实操场景，考查平行线判定定理的应用，核心要求是能准确识别不同类型的角，匹配对应的判定规则，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

【例2】完成下面的证明，并注明推理的根据.
如图所示,已知直线AB//CD,EF分别截AB,CD于点G和点H,GM平分∠AGE,HN平分∠CHG.
求证:GM//HN.
证明:因为//(已知),
所以∠AGE=∠CHG(),
所以$\frac{1}{2}∠AGE=\frac{1}{2}∠CHG$().
因为GM平分∠AGE,HN平分∠CHG(已知),
所以∠1=$\frac{1}{2}∠AGE$,∠2=$\frac{1}{2}∠CHG$(),
所以∠1=∠2,
所以//().

【例2】 AB CD 两直线平行,同位角相等 等式的基本性质 角平分线的定义 GM HN 同位角相等,两直线平行

【分析】
要证明GM//HN，可通过证明二者被直线EF所截得的同位角∠1=∠2推导。首先利用已知的AB//CD，根据平行线的性质先得到∠AGE和∠CHG相等，再结合角平分线的定义，可得两个角的一半即∠1和∠2相等，最后根据平行线的判定定理即可证得结论，填空时按证明的逻辑顺序依次对应已知条件、相关定理和性质填写即可。
【解析】
证明：因为 $\boldsymbol{AB}$ // $\boldsymbol{CD}$ (已知),
所以∠AGE=∠CHG(两直线平行，同位角相等),
所以$\frac{1}{2}∠AGE=\frac{1}{2}∠CHG$(等式的基本性质).
因为GM平分∠AGE,HN平分∠CHG(已知),
所以∠1=$\frac{1}{2}∠AGE$,∠2=$\frac{1}{2}∠CHG$(角平分线的定义),
所以∠1=∠2,
所以 $\boldsymbol{GM}$ // $\boldsymbol{HN}$ (同位角相等，两直线平行).
【答案】
AB；CD；两直线平行，同位角相等；等式的基本性质；角平分线的定义；GM；HN；同位角相等，两直线平行
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关定理的基础应用题型，解题的关键是区分平行线的性质和判定的使用场景：由线的平行关系推导角的关系用性质，由角的相等/互补关系推导线的平行用判定，同时要熟练掌握角平分线定义、等式基本性质这类基础推理依据。
【难度系数】
0.8

【变式】如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截。
命题并证明.
①$AB⊥ BC,CD⊥ BC$；②$BE// CF$；③$∠1=∠2$.
条件(已知):(填写序号).
结论(求证):(填写序号).
证明:

【变式】解:选择①②作为条件,③作为结论.(答案不唯一)
条件(已知):①②.
结论(求证):③.
证明:因为$AB⊥BC,CD⊥BC$,
所以$∠ABC=∠DCB=90°$.
又因为$BE// CF$,所以$∠EBC=∠FCB$,
所以$∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB$,所以$∠1=∠2$.

【分析】
这是一道开放性几何证明题，可任选两个论断作为已知条件，推导剩余的论断。我们以选①②为条件、③为结论为例梳理思路：第一步，先根据已知的两组垂直关系，得出∠ABC和∠DCB均为90°，二者相等；第二步，利用BE和CF平行的性质，得到夹在两条平行线之间的内错角∠EBC和∠FCB相等；第三步，用相等的∠ABC、∠DCB分别减去相等的∠EBC、∠FCB，剩余的角也相等，即可证得∠1=∠2。
【解析】
我们选择①②作为条件，③作为结论（答案不唯一）：
条件(已知): ①②
结论(求证): ③
证明：
∵$AB⊥ BC,CD⊥ BC$，
∴$∠ABC=∠DCB=90°$（垂直的定义）。
又
∵$BE// CF$，
∴$∠EBC=∠FCB$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB$（等式的性质），
即$∠1=∠2$。
【答案】
条件：①②，结论：③，证明如上（答案不唯一，也可选择①③为条件证明②，或②③为条件证明①）
【知识点】
垂直的定义；平行线的性质；角的和差运算
【点评】
本题属于开放性基础题，灵活考查了垂直和平行线的相关性质，解题时需结合图形理清各角的位置和数量关系，可选择的条件结论组合多样，解题思路较为灵活。
【难度系数】
0.8