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【例3】用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于$60°$”时，首先应该假设这个三角形中（
A.每一个内角都大于$60°$
B.每一个内角都小于$60°$
C.有一个内角大于$60°$
D.有一个内角小于$60°$
A
）A.每一个内角都大于$60°$
B.每一个内角都小于$60°$
C.有一个内角大于$60°$
D.有一个内角小于$60°$
答案
A
解析
【分析】
解答这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。首先定位原命题的结论：“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，接下来找这个结论的反面：“至少有一个”表示存在至少1个满足条件，它的反面就是“所有都不满足”，也就是没有任何一个内角小于或等于60°，转化为直白的表述就是每一个内角都大于60°，对应正确选项。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，对其否定：“至少有一个”的否定是“全部都不”，即“所有内角都不满足小于或等于60°”，也就是每一个内角都大于60°。
因此首先应该假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题核心是准确对原命题的结论进行否定，尤其要注意“至少有一个”这类存在性表述的否定规则，属于基础题型，熟练掌握反证法的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解答这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。首先定位原命题的结论：“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，接下来找这个结论的反面：“至少有一个”表示存在至少1个满足条件，它的反面就是“所有都不满足”，也就是没有任何一个内角小于或等于60°，转化为直白的表述就是每一个内角都大于60°，对应正确选项。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，对其否定：“至少有一个”的否定是“全部都不”，即“所有内角都不满足小于或等于60°”，也就是每一个内角都大于60°。
因此首先应该假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题核心是准确对原命题的结论进行否定，尤其要注意“至少有一个”这类存在性表述的否定规则，属于基础题型，熟练掌握反证法的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
【变式】用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.
已知:$∠ A,∠ B,∠ C$是$△ ABC$的三个内角.
求证:$∠ A,∠ B,∠ C$中不能有两个角是直角.
已知:$∠ A,∠ B,∠ C$是$△ ABC$的三个内角.
求证:$∠ A,∠ B,∠ C$中不能有两个角是直角.
答案
证明:假设三角形的三个内角$∠A、∠B、∠C$中有两个直角,不妨设$∠A=∠B=90°$,
则$∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°$,这与三角形内角和为$180°$相矛盾,
所以$∠A=∠B=90°$不成立;
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
则$∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°$,这与三角形内角和为$180°$相矛盾,
所以$∠A=∠B=90°$不成立;
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
解析
【分析】
本题使用反证法证明，思考路径如下：第一步先反设，否定待证结论，要证“三角形中不能有两个角是直角”，即假设结论的反面成立：三角形中有两个角是直角，由于三角形三个角地位相同，不妨任意设两个角为直角，无需分类讨论；第二步推矛盾，从假设出发，设两个角为90°，结合三角形内角和计算三个角的和，会发现和大于180°，这与“三角形内角和为180°”的定理矛盾；第三步得结论，矛盾说明假设不成立，因此原命题正确。
【解析】
证明：假设三角形的三个内角$∠A、∠B、∠C$中有两个直角，不妨设$∠A=∠B=90°$，
则$∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°$，这与三角形内角和为$180°$相矛盾，
所以$∠A=∠B=90°$不成立；
所以一个三角形中不能有两个角是直角。
【答案】
证明:假设三角形的三个内角$∠A、∠B、∠C$中有两个直角,不妨设$∠A=∠B=90°$,
则$∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°$,这与三角形内角和为$180°$相矛盾,
所以$∠A=∠B=90°$不成立;
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题的关键是熟练掌握反证法“反设-推矛盾-肯定原结论”的步骤，结合三角形内角和定理即可完成证明，是逻辑证明的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题使用反证法证明，思考路径如下：第一步先反设，否定待证结论，要证“三角形中不能有两个角是直角”，即假设结论的反面成立：三角形中有两个角是直角，由于三角形三个角地位相同，不妨任意设两个角为直角，无需分类讨论；第二步推矛盾，从假设出发，设两个角为90°，结合三角形内角和计算三个角的和，会发现和大于180°，这与“三角形内角和为180°”的定理矛盾；第三步得结论，矛盾说明假设不成立，因此原命题正确。
【解析】
证明：假设三角形的三个内角$∠A、∠B、∠C$中有两个直角，不妨设$∠A=∠B=90°$，
则$∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°$，这与三角形内角和为$180°$相矛盾，
所以$∠A=∠B=90°$不成立；
所以一个三角形中不能有两个角是直角。
【答案】
证明:假设三角形的三个内角$∠A、∠B、∠C$中有两个直角,不妨设$∠A=∠B=90°$,
则$∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°$,这与三角形内角和为$180°$相矛盾,
所以$∠A=∠B=90°$不成立;
所以一个三角形中不能有两个角是直角.
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题的关键是熟练掌握反证法“反设-推矛盾-肯定原结论”的步骤，结合三角形内角和定理即可完成证明，是逻辑证明的基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 要说明命题“若$|a|＞5$，则$a＞5$”是假命题，可以举的一个反例是 （
A.$a=5$
B.$a=-5$
C.$a=6$
D.$a=-6$
D
）A.$a=5$
B.$a=-5$
C.$a=6$
D.$a=-6$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个命题是假命题，只需找到一个反例即可，反例需要同时满足两个要求：①符合原命题的条件；②不符合原命题的结论。首先拆分原命题：条件是$|a|＞5$，结论是$a＞5$，因此我们需要找的反例是满足$|a|＞5$，但$a≤5$的数值，再逐一验证选项即可。
【解析】
我们先明确反例的判定标准，再逐个分析选项：
1. 选项A：$a=5$时，$|a|=|5|=5$，不满足条件$|a|＞5$，不符合反例要求；
2. 选项B：$a=-5$时，$|a|=|-5|=5$，不满足条件$|a|＞5$，不符合反例要求；
3. 选项C：$a=6$时，$|a|=|6|=6＞5$，满足条件，且$6＞5$也满足结论，不是反例；
4. 选项D：$a=-6$时，$|a|=|-6|=6＞5$，满足条件，但$-6＜5$，不满足结论，符合反例要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
举反例判断假命题；绝对值的性质
【点评】
本题考查假命题的证明方法，核心是理解反例的两个必备条件，同时需要熟练掌握绝对值的化简运算，属于基础题型，能够帮助学生掌握说明假命题的常用方法。
【难度系数】
0.85
要判断一个命题是假命题，只需找到一个反例即可，反例需要同时满足两个要求：①符合原命题的条件；②不符合原命题的结论。首先拆分原命题：条件是$|a|＞5$，结论是$a＞5$，因此我们需要找的反例是满足$|a|＞5$，但$a≤5$的数值，再逐一验证选项即可。
【解析】
我们先明确反例的判定标准，再逐个分析选项：
1. 选项A：$a=5$时，$|a|=|5|=5$，不满足条件$|a|＞5$，不符合反例要求；
2. 选项B：$a=-5$时，$|a|=|-5|=5$，不满足条件$|a|＞5$，不符合反例要求；
3. 选项C：$a=6$时，$|a|=|6|=6＞5$，满足条件，且$6＞5$也满足结论，不是反例；
4. 选项D：$a=-6$时，$|a|=|-6|=6＞5$，满足条件，但$-6＜5$，不满足结论，符合反例要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
举反例判断假命题；绝对值的性质
【点评】
本题考查假命题的证明方法，核心是理解反例的两个必备条件，同时需要熟练掌握绝对值的化简运算，属于基础题型，能够帮助学生掌握说明假命题的常用方法。
【难度系数】
0.85
2.(汕头模拟)用反证法证明“等腰三角形的底角小于$90°$”时,第一步应假设 (
A.底角大于$90°$
B.底角等于$90°$
C.底角小于$90°$
D.底角大于等于$90°$
D
)A.底角大于$90°$
B.底角等于$90°$
C.底角小于$90°$
D.底角大于等于$90°$
答案
D
解析
【分析】
本题考查反证法的第一步操作，解题思路如下：首先回忆反证法的证明规则，反证法证明命题时，第一步需要先假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立；接下来明确本题原命题的结论是“等腰三角形的底角小于90°”，需要找出“小于90°”的所有反面情况，注意反面要覆盖所有不符合原结论的情况，不能有遗漏，“小于”的否定是“大于或者等于”，由此就能确定第一步的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中原命题的结论是“等腰三角形的底角小于90°”，“小于90°”的反面是“大于或等于90°”，因此第一步应假设等腰三角形的底角大于等于90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题的核心是准确找到原命题结论的反面，要注意不等关系的否定形式，比如“小于”的否定是“大于等于”，“大于”的否定是“小于等于”，不要遗漏等于的情况。
【难度系数】
0.9
本题考查反证法的第一步操作，解题思路如下：首先回忆反证法的证明规则，反证法证明命题时，第一步需要先假设原命题的结论不成立，也就是原结论的反面成立；接下来明确本题原命题的结论是“等腰三角形的底角小于90°”，需要找出“小于90°”的所有反面情况，注意反面要覆盖所有不符合原结论的情况，不能有遗漏，“小于”的否定是“大于或者等于”，由此就能确定第一步的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中原命题的结论是“等腰三角形的底角小于90°”，“小于90°”的反面是“大于或等于90°”，因此第一步应假设等腰三角形的底角大于等于90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题的核心是准确找到原命题结论的反面，要注意不等关系的否定形式，比如“小于”的否定是“大于等于”，“大于”的否定是“小于等于”，不要遗漏等于的情况。
【难度系数】
0.9
3.(泰州模拟)用反证法证明“在$△ ABC$中，若$∠ A＜∠ B$，则$a＜b$”时，应假设
$a≥ b$
。答案
3. $a≥ b$
解析
【分析】
首先回忆反证法的解题步骤：反证法的第一步是假设待证明的结论不成立，即结论的反面成立。接下来先明确本题要证明的结论是“$a＜b$”，再思考“$a＜b$”的反面是什么：“$a$小于$b$”的反面是“$a$不小于$b$”，也就是“$a$大于或等于$b$”，由此就能得到需要假设的内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先假设结论不成立，即结论的反面成立。
本题待证的结论为$a ＜ b$，其反面为$a ≥ b$，因此应假设$a ≥ b$。
【答案】
$a≥ b$
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的应用，解题的关键是掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立，需注意“小于”的反面是“大于或等于”，不要遗漏等于的情况，属于对反证法基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
首先回忆反证法的解题步骤：反证法的第一步是假设待证明的结论不成立，即结论的反面成立。接下来先明确本题要证明的结论是“$a＜b$”，再思考“$a＜b$”的反面是什么：“$a$小于$b$”的反面是“$a$不小于$b$”，也就是“$a$大于或等于$b$”，由此就能得到需要假设的内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先假设结论不成立，即结论的反面成立。
本题待证的结论为$a ＜ b$，其反面为$a ≥ b$，因此应假设$a ≥ b$。
【答案】
$a≥ b$
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的应用，解题的关键是掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立，需注意“小于”的反面是“大于或等于”，不要遗漏等于的情况，属于对反证法基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
4.已知:$∠ A,∠ B,∠ C$是$△ ABC$的内角.求证:$∠ A,∠ B,∠ C$中至多有一个角是钝角.
答案
4. 证明:假设$∠A,∠B,∠C$中有两个或三个钝角,
则$∠A+∠B+∠C＞180°$,
与三角形内角和定理矛盾,因而假设错误,
所以$∠A,∠B,∠C$中至多有一个角是钝角.
则$∠A+∠B+∠C＞180°$,
与三角形内角和定理矛盾,因而假设错误,
所以$∠A,∠B,∠C$中至多有一个角是钝角.
解析
【分析】
要证明“三角形三个内角中至多有一个钝角”，正面直接证明需要考虑的情况较多，因此选择反证法更简便。反证法的解题思路为：首先假设原结论不成立，即找出原结论的反面：三角形中有两个或三个钝角，再结合已学的三角形内角和定理推导，若得出和定理矛盾的结果，即可说明假设错误，原命题成立。
【解析】
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个或三个钝角，
则这两个或三个钝角的度数和已经大于180°，因此可得∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和为180°的定理矛盾，说明假设不成立，
因此原命题成立，即∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角。
【答案】
证明:假设$∠A,∠B,∠C$中有两个或三个钝角,
则$∠A+∠B+∠C＞180°$,
与三角形内角和定理矛盾,因而假设错误,
所以$∠A,∠B,∠C$中至多有一个角是钝角.
【知识点】
反证法，三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的典型基础应用题，解题核心是准确提出与原结论相反的假设，再结合已学定理推导矛盾即可，掌握反证法“反设-归谬-存真”的基本步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要证明“三角形三个内角中至多有一个钝角”，正面直接证明需要考虑的情况较多，因此选择反证法更简便。反证法的解题思路为：首先假设原结论不成立，即找出原结论的反面：三角形中有两个或三个钝角，再结合已学的三角形内角和定理推导，若得出和定理矛盾的结果，即可说明假设错误，原命题成立。
【解析】
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个或三个钝角，
则这两个或三个钝角的度数和已经大于180°，因此可得∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和为180°的定理矛盾，说明假设不成立，
因此原命题成立，即∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角。
【答案】
证明:假设$∠A,∠B,∠C$中有两个或三个钝角,
则$∠A+∠B+∠C＞180°$,
与三角形内角和定理矛盾,因而假设错误,
所以$∠A,∠B,∠C$中至多有一个角是钝角.
【知识点】
反证法，三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的典型基础应用题，解题核心是准确提出与原结论相反的假设，再结合已学定理推导矛盾即可，掌握反证法“反设-归谬-存真”的基本步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
5. (1)当$n=1,2,3$时,分别求出代数式$n^2 -12n+35$与$n^2 -12n+37$的值.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题,若是真命题,给出证明;若是假命题,举出反例.
命题1:对任意正整数$n$,$n^2 -12n+35$的值都是自然数;
命题2:对任意正整数$n$,$n^2 -12n+37$的值都是自然数.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题,若是真命题,给出证明;若是假命题,举出反例.
命题1:对任意正整数$n$,$n^2 -12n+35$的值都是自然数;
命题2:对任意正整数$n$,$n^2 -12n+37$的值都是自然数.
答案
5. 解:(1)当$n=1$时,$n^2-12n+35=1^2-12×1+35=24$,$n^2-12n+37=1^2-12×1+37=26$;
当$n=2$时,$n^2-12n+35=2^2-12×2+35=15$,$n^2-12n+37=2^2-12×2+37=17$;
当$n=3$时,$n^2-12n+35=3^2-12×3+35=8$,$n^2-12n+37=3^2-12×3+37=10$.
(2)命题1是假命题.
因为$n^2-12n+35=n^2-12n+36-1=(n-6)^2-1$,
当$n=6$时,$n^2-12n+35=-1$,此时$n^2-12n+35$不是自然数,故命题1是假命题.
命题2是真命题,证明如下:
因为$n^2-12n+37=n^2-12n+36+1=(n-6)^2+1$,
所以当$n$为任意正整数时,$n^2-12n+37$为大于等于1的整数,即此时$n^2-12n+37$为自然数,故命题2是真命题.
当$n=2$时,$n^2-12n+35=2^2-12×2+35=15$,$n^2-12n+37=2^2-12×2+37=17$;
当$n=3$时,$n^2-12n+35=3^2-12×3+35=8$,$n^2-12n+37=3^2-12×3+37=10$.
(2)命题1是假命题.
因为$n^2-12n+35=n^2-12n+36-1=(n-6)^2-1$,
当$n=6$时,$n^2-12n+35=-1$,此时$n^2-12n+35$不是自然数,故命题1是假命题.
命题2是真命题,证明如下:
因为$n^2-12n+37=n^2-12n+36+1=(n-6)^2+1$,
所以当$n$为任意正整数时,$n^2-12n+37$为大于等于1的整数,即此时$n^2-12n+37$为自然数,故命题2是真命题.
解析
【分析】
（1）第一小问为代数式代入求值问题，只需将n=1、2、3分别代入两个代数式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到对应结果。
（2）第二小问判断命题真假，首先明确判断规则：假命题只需举出1个不符合结论的反例即可证明，真命题需要通过严谨推导验证对所有正整数n都成立。我们可以用配方法将两个二次代数式变形为“平方项+常数”的形式，就能快速分析取值范围，进而判断命题真假。
【解析】
(1) 分别将n=1、2、3代入两个代数式计算：
当$n=1$时，$n^2-12n+35=1^2-12×1+35=24$，$n^2-12n+37=1^2-12×1+37=26$；
当$n=2$时，$n^2-12n+35=2^2-12×2+35=15$，$n^2-12n+37=2^2-12×2+37=17$；
当$n=3$时，$n^2-12n+35=3^2-12×3+35=8$，$n^2-12n+37=3^2-12×3+37=10$。
(2) 命题1是假命题，推导如下：
对$n^2 -12n+35$配方得$n^2 -12n+35=(n-6)^2-1$，
当$n=6$时，$n^2 -12n+35=(6-6)^2-1=-1$，-1不是自然数，不符合命题结论，故命题1为假命题。
命题2是真命题，证明如下：
对$n^2 -12n+37$配方得$n^2 -12n+37=(n-6)^2+1$，
因为n是正整数，所以$(n-6)^2$是大于等于0的整数，因此$(n-6)^2+1≥1$，即代数式的值都是大于等于1的整数，属于自然数，故命题2为真命题。
【答案】
(1) n=1时，两式值分别为24、26；n=2时，两式值分别为15、17；n=3时，两式值分别为8、10；
(2) 命题1是假命题，反例：n=6时，代数式值为-1，不是自然数；命题2是真命题。
【知识点】
代数式求值；真假命题判断；配方法应用
【点评】
本题侧重考查代数运算能力和逻辑判断能力，解题的核心是掌握用配方法分析二次式取值范围的技巧，同时要牢记：判断假命题只需举一个反例即可推翻，判断真命题必须完成对所有符合条件对象的严谨推导。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问为代数式代入求值问题，只需将n=1、2、3分别代入两个代数式，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到对应结果。
（2）第二小问判断命题真假，首先明确判断规则：假命题只需举出1个不符合结论的反例即可证明，真命题需要通过严谨推导验证对所有正整数n都成立。我们可以用配方法将两个二次代数式变形为“平方项+常数”的形式，就能快速分析取值范围，进而判断命题真假。
【解析】
(1) 分别将n=1、2、3代入两个代数式计算：
当$n=1$时，$n^2-12n+35=1^2-12×1+35=24$，$n^2-12n+37=1^2-12×1+37=26$；
当$n=2$时，$n^2-12n+35=2^2-12×2+35=15$，$n^2-12n+37=2^2-12×2+37=17$；
当$n=3$时，$n^2-12n+35=3^2-12×3+35=8$，$n^2-12n+37=3^2-12×3+37=10$。
(2) 命题1是假命题，推导如下：
对$n^2 -12n+35$配方得$n^2 -12n+35=(n-6)^2-1$，
当$n=6$时，$n^2 -12n+35=(6-6)^2-1=-1$，-1不是自然数，不符合命题结论，故命题1为假命题。
命题2是真命题，证明如下：
对$n^2 -12n+37$配方得$n^2 -12n+37=(n-6)^2+1$，
因为n是正整数，所以$(n-6)^2$是大于等于0的整数，因此$(n-6)^2+1≥1$，即代数式的值都是大于等于1的整数，属于自然数，故命题2为真命题。
【答案】
(1) n=1时，两式值分别为24、26；n=2时，两式值分别为15、17；n=3时，两式值分别为8、10；
(2) 命题1是假命题，反例：n=6时，代数式值为-1，不是自然数；命题2是真命题。
【知识点】
代数式求值；真假命题判断；配方法应用
【点评】
本题侧重考查代数运算能力和逻辑判断能力，解题的核心是掌握用配方法分析二次式取值范围的技巧，同时要牢记：判断假命题只需举一个反例即可推翻，判断真命题必须完成对所有符合条件对象的严谨推导。
【难度系数】
0.7
