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1. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为0的公因式)，
所得分式与原分式
分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为0的公因式)，
所得分式与原分式
相等
.答案
1. 相等
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的概念识记，解题时先回忆分式基本性质的核心内容：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式时，分式的大小保持不变，直接结合题干描述对应概念填空即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。题干中提到的“不为0的多项式”属于不为0的整式，“不为0的公因式”也属于不为0的整式，因此按该规则变形后，所得分式与原分式相等。
【答案】
相等
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，直接对应教材中分式基本性质的原文表述，熟记基础概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式基本性质的概念识记，解题时先回忆分式基本性质的核心内容：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式时，分式的大小保持不变，直接结合题干描述对应概念填空即可。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。题干中提到的“不为0的多项式”属于不为0的整式，“不为0的公因式”也属于不为0的整式，因此按该规则变形后，所得分式与原分式相等。
【答案】
相等
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，直接对应教材中分式基本性质的原文表述，熟记基础概念即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 分式的约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的
公因式
约去(即分子与分母都除以它们的 公因式
)，叫作分式的约分。答案
2. 公因式 公因式
解析
【分析】
本题考查分式约分的基本概念，解题时先回忆分式约分的定义：约分的核心是消除分子和分母的公共因式，依据是分式的基本性质，即分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。第一个空要填被约去的分子分母共有的因式，第二个空要填分子分母同时除以的公共整式，二者都是公因式。
【解析】
根据分式约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分。因此两个空依次填入公因式、公因式。
【答案】
公因式 公因式
【知识点】
分式约分的概念；分式的基本性质
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考查教材中分式约分的定义，熟练掌握课本基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式约分的基本概念，解题时先回忆分式约分的定义：约分的核心是消除分子和分母的公共因式，依据是分式的基本性质，即分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。第一个空要填被约去的分子分母共有的因式，第二个空要填分子分母同时除以的公共整式，二者都是公因式。
【解析】
根据分式约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分。因此两个空依次填入公因式、公因式。
【答案】
公因式 公因式
【知识点】
分式约分的概念；分式的基本性质
【点评】
本题是基础概念识记题，直接考查教材中分式约分的定义，熟练掌握课本基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【变式1】当$\frac{3x - 3}{2xy} = \frac{3k}{2x^2y^2}$时，k代表的代数式是（
A.$x - 1$
B.$x^2y - xy$
C.$xy - y$
D.$xy^2 - x$
B
）A.$x - 1$
B.$x^2y - xy$
C.$xy - y$
D.$xy^2 - x$
答案
B
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步先观察等式两边分式的分母，找到从左边分母到右边分母的变形规律；第二步根据分式的基本性质，分子要做和分母相同的变形，得到右边分子的表达式；第三步将得到的分子和题目给出的右边分子3k列等式，化简即可求出k代表的代数式。
【解析】
要使分式有意义，则$x≠0$且$y≠0$，符合分式基本性质的应用条件。
观察分母：左边分母为$2xy$，右边分母为$2x^2y^2$，可得$2xy · xy = 2x^2y^2$，即左边分母乘$xy$得到右边分母。
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变，因此左边分子$3x-3$也要乘$xy$，得到右边的分子：
$(3x-3)· xy = 3k$
化简等式左边：$3xy(x-1)=3k$
等式两边同时除以3，得：$k=xy(x-1)=x^2y - xy$
对应选项可知选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对分式基本性质的理解与应用，解题时需先明确分母的变化规则，再对应处理分子，注意变形过程中要保证所乘整式不为0，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：第一步先观察等式两边分式的分母，找到从左边分母到右边分母的变形规律；第二步根据分式的基本性质，分子要做和分母相同的变形，得到右边分子的表达式；第三步将得到的分子和题目给出的右边分子3k列等式，化简即可求出k代表的代数式。
【解析】
要使分式有意义，则$x≠0$且$y≠0$，符合分式基本性质的应用条件。
观察分母：左边分母为$2xy$，右边分母为$2x^2y^2$，可得$2xy · xy = 2x^2y^2$，即左边分母乘$xy$得到右边分母。
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变，因此左边分子$3x-3$也要乘$xy$，得到右边的分子：
$(3x-3)· xy = 3k$
化简等式左边：$3xy(x-1)=3k$
等式两边同时除以3，得：$k=xy(x-1)=x^2y - xy$
对应选项可知选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、整式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对分式基本性质的理解与应用，解题时需先明确分母的变化规则，再对应处理分子，注意变形过程中要保证所乘整式不为0，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式2】(盐城模拟)将分式$\frac{x}{x+y}$中的$x$，$y$的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（
A.缩小为原来的一半
B.扩大为原来的2倍
C.无法确定
D.保持不变
D
）A.缩小为原来的一半
B.扩大为原来的2倍
C.无法确定
D.保持不变
答案
D
解析
【分析】
遇到“变量同时扩大若干倍，判断分式值变化”的题目，可按三步思考：第一步，将扩大后的变量替换原分式中的对应字母，写出新的分式；第二步，利用分式的基本性质对新分式化简；第三步，将化简后的结果和原分式对比，即可判断值的变化情况。本题中x、y都扩大为原来的2倍，我们只需把x替换为2x、y替换为2y代入原式，再化简对比即可。
【解析】
将x、y同时扩大为原来的2倍后，代入原分式得到新分式：
$\frac{2x}{2x+2y}$
对分母提取公因式2，可得：
$\frac{2x}{2(x+y)}$
已知原分式$\frac{x}{x+y}$有意义时，$x+y≠0$，因此$2(x+y)≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，化简得：
$\frac{2x÷2}{2(x+y)÷2}=\frac{x}{x+y}$
化简结果和原分式完全相同，因此分式的值保持不变。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的化简
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是通过变量代换、化简后和原分式对比判断值的变化，做题时要注意约分时需保证所除的整式不为0。
【难度系数】
0.9
遇到“变量同时扩大若干倍，判断分式值变化”的题目，可按三步思考：第一步，将扩大后的变量替换原分式中的对应字母，写出新的分式；第二步，利用分式的基本性质对新分式化简；第三步，将化简后的结果和原分式对比，即可判断值的变化情况。本题中x、y都扩大为原来的2倍，我们只需把x替换为2x、y替换为2y代入原式，再化简对比即可。
【解析】
将x、y同时扩大为原来的2倍后，代入原分式得到新分式：
$\frac{2x}{2x+2y}$
对分母提取公因式2，可得：
$\frac{2x}{2(x+y)}$
已知原分式$\frac{x}{x+y}$有意义时，$x+y≠0$，因此$2(x+y)≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的2，化简得：
$\frac{2x÷2}{2(x+y)÷2}=\frac{x}{x+y}$
化简结果和原分式完全相同，因此分式的值保持不变。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的化简
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是通过变量代换、化简后和原分式对比判断值的变化，做题时要注意约分时需保证所除的整式不为0。
【难度系数】
0.9
【例1】利用分式的基本性质填空：
答案
(1)$a^2b-ab^2$ (2)$a^2-1$
解析
【分析】
本题利用分式的基本性质解题，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题步骤：①观察等式两边已知的分母（或分子），确定从左到右乘（或除以）的整式；②将另一侧的分子（或分母）做相同的运算，即可得到空缺的部分。第(1)题先对比左右两边的分母，确定分母乘的整式，再给分子乘相同整式；第(2)题先对比左右两边的分子，确定分子乘的整式，再给分母乘相同整式。
【解析】
(1) 先计算分母的变化倍数：$a^2b^3 ÷ ab^2 = ab$，根据分式基本性质，分子也需要乘$ab$：
$(a-b) × ab = a · ab - b · ab = a^2b - ab^2$。
(2) 先对右边分子因式分解：$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$，再计算分子的变化倍数：$(a+1)^2 ÷ (a+1) = a+1$，根据分式基本性质，分母也需要乘$a+1$：
$(a-1)(a+1) = a^2 - 1$。
【答案】
(1)$a^2b - ab^2$；(2)$a^2 - 1$
【知识点】
分式的基本性质，整式乘法运算，乘法公式
【点评】
本题是分式基本性质的典型基础题，重点考查学生对分式变形规则的掌握，解题核心是找准分子或分母的统一变形倍数，同时注意变形过程中乘的整式不能为0。
【难度系数】
0.8
本题利用分式的基本性质解题，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题步骤：①观察等式两边已知的分母（或分子），确定从左到右乘（或除以）的整式；②将另一侧的分子（或分母）做相同的运算，即可得到空缺的部分。第(1)题先对比左右两边的分母，确定分母乘的整式，再给分子乘相同整式；第(2)题先对比左右两边的分子，确定分子乘的整式，再给分母乘相同整式。
【解析】
(1) 先计算分母的变化倍数：$a^2b^3 ÷ ab^2 = ab$，根据分式基本性质，分子也需要乘$ab$：
$(a-b) × ab = a · ab - b · ab = a^2b - ab^2$。
(2) 先对右边分子因式分解：$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$，再计算分子的变化倍数：$(a+1)^2 ÷ (a+1) = a+1$，根据分式基本性质，分母也需要乘$a+1$：
$(a-1)(a+1) = a^2 - 1$。
【答案】
(1)$a^2b - ab^2$；(2)$a^2 - 1$
【知识点】
分式的基本性质，整式乘法运算，乘法公式
【点评】
本题是分式基本性质的典型基础题，重点考查学生对分式变形规则的掌握，解题核心是找准分子或分母的统一变形倍数，同时注意变形过程中乘的整式不能为0。
【难度系数】
0.8
【例2】化简：
(1)$\frac{6ab^2}{3a^2b}$； (2)$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}$。
方法归纳 确定分子、分母的公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；
(2)当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再确定分子、分母的公因式。
【变式】把下列分式化成最简分式：
(1)$-\frac{18xy}{27x^2y^2}=$
(2)$\frac{6x^2 - 12xy + 6y^2}{6x - 6y}=$
(1)$\frac{6ab^2}{3a^2b}$； (2)$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}$。
方法归纳 确定分子、分母的公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积；
(2)当分子、分母是多项式时，应先将多项式因式分解，再确定分子、分母的公因式。
【变式】把下列分式化成最简分式：
(1)$-\frac{18xy}{27x^2y^2}=$
$-\frac{2}{3xy}$
；(2)$\frac{6x^2 - 12xy + 6y^2}{6x - 6y}=$
$x-y$
。答案
解:(1)$\frac{6ab^2}{3a^2b}=\frac{3ab · 2b}{3ab · a}=\frac{2b}{a}$。
(2)$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}=\frac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}=\frac{a+3b}{a-3b}$。
【变式】(1)$-\frac{2}{3xy}$ (2)$x-y$
(2)$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}=\frac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}=\frac{a+3b}{a-3b}$。
【变式】(1)$-\frac{2}{3xy}$ (2)$x-y$
解析
【分析】
分式化简的核心是约分，依据是分式的基本性质，解题时按分子、分母的类型分步骤处理：①若分子、分母都是单项式，先找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，约去公因式即可；②若分子、分母是多项式，先对分子、分母分别因式分解，再找出公因式约去，最终结果要化为最简分式（分子、分母无公因式），同时注意分式符号的处理。
【解析】
例2化简
(1) 分子、分母均为单项式，公因式为$3ab$：
$\frac{6ab^2}{3a^2b}=\frac{3ab · 2b}{3ab · a}$，约去公因式$3ab$，得$\frac{2b}{a}$。
(2) 分子、分母均为多项式，先因式分解：
分子$a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)$（平方差公式），分母$a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2$（完全平方公式），公因式为$a-3b$：
$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}=\frac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}$，约去公因式$a-3b$，得$\frac{a+3b}{a-3b}$。
变式化简
(1) 分子、分母均为单项式，公因式为$9xy$，保留负号：
$-\frac{18xy}{27x^2y^2}=-\frac{9xy·2}{9xy·3xy}$，约去公因式$9xy$，得$-\frac{2}{3xy}$。
(2) 分子、分母均为多项式，先因式分解：
分子$6x^2-12xy+6y^2=6(x^2-2xy+y^2)=6(x-y)^2$，分母$6x-6y=6(x-y)$，公因式为$6(x-y)$：
$\frac{6x^2 - 12xy + 6y^2}{6x - 6y}=\frac{6(x-y)^2}{6(x-y)}$，约去公因式$6(x-y)$，得$x-y$。
【答案】
例2：(1)$\frac{2b}{a}$；(2)$\frac{a+3b}{a-3b}$
变式：(1)$-\frac{2}{3xy}$；(2)$x-y$
【知识点】
分式的约分、因式分解、分式的基本性质
【点评】
本题是分式化简的基础题型，重点考查公因式的确定方法，需注意多项式化简要先因式分解再约分，约分要彻底，最终结果必须为最简分式，同时不要漏看分式的符号。
【难度系数】
0.8
分式化简的核心是约分，依据是分式的基本性质，解题时按分子、分母的类型分步骤处理：①若分子、分母都是单项式，先找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式，约去公因式即可；②若分子、分母是多项式，先对分子、分母分别因式分解，再找出公因式约去，最终结果要化为最简分式（分子、分母无公因式），同时注意分式符号的处理。
【解析】
例2化简
(1) 分子、分母均为单项式，公因式为$3ab$：
$\frac{6ab^2}{3a^2b}=\frac{3ab · 2b}{3ab · a}$，约去公因式$3ab$，得$\frac{2b}{a}$。
(2) 分子、分母均为多项式，先因式分解：
分子$a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)$（平方差公式），分母$a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2$（完全平方公式），公因式为$a-3b$：
$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - 6ab + 9b^2}=\frac{(a+3b)(a-3b)}{(a-3b)^2}$，约去公因式$a-3b$，得$\frac{a+3b}{a-3b}$。
变式化简
(1) 分子、分母均为单项式，公因式为$9xy$，保留负号：
$-\frac{18xy}{27x^2y^2}=-\frac{9xy·2}{9xy·3xy}$，约去公因式$9xy$，得$-\frac{2}{3xy}$。
(2) 分子、分母均为多项式，先因式分解：
分子$6x^2-12xy+6y^2=6(x^2-2xy+y^2)=6(x-y)^2$，分母$6x-6y=6(x-y)$，公因式为$6(x-y)$：
$\frac{6x^2 - 12xy + 6y^2}{6x - 6y}=\frac{6(x-y)^2}{6(x-y)}$，约去公因式$6(x-y)$，得$x-y$。
【答案】
例2：(1)$\frac{2b}{a}$；(2)$\frac{a+3b}{a-3b}$
变式：(1)$-\frac{2}{3xy}$；(2)$x-y$
【知识点】
分式的约分、因式分解、分式的基本性质
【点评】
本题是分式化简的基础题型，重点考查公因式的确定方法，需注意多项式化简要先因式分解再约分，约分要彻底，最终结果必须为最简分式，同时不要漏看分式的符号。
【难度系数】
0.8
