【变式1】若分式$\frac{x-3}{x-4}$的值等于0，则实数x的值是（）

A.3
B.4
C.0
D.2

A

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个要求：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（分母为0时分式无意义，不满足求值前提）。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，最终得到正确结果。
【解析】
若分式$\frac{x-3}{x-4}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$x - 3 = 0$，解得$x = 3$；
2. 分母不为0：$x - 4 ≠ 0$，即$x ≠ 4$。
将$x=3$代入分母验证：$3-4=-1≠0$，符合分式有意义的要求。
因此x的值为3。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式部分的基础题，核心易错点是容易忽略分母不为0的限制，仅通过分子为0错选答案，解题时要牢记分式相关的求值类问题，都要先保证分式有意义。
【难度系数】
0.8

【变式2】(无锡模拟)当$x=$时，分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值等于0。

1

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个缺一不可的条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义）。解题时先求解分子为0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，即可得到正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：
$x^2 - 1 = 0$
解得$x^2=1$，即$x=1$或$x=-1$
2. 分母不等于0（分式有意义）：
$x+1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$
结合两个条件，排除$x=-1$，最终得$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的限制，直接得出$x=\pm1$的错误结果，解题时要注意两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.7

1.有下列各式：$\frac{1}{5}(1-x),\frac{4x}{π -3},\frac{x^2 - y^2}{2},\frac{1}{x}+x,\frac{5x^2}{x+1}$。其中分式共有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. B

【分析】
解题的核心依据是分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母、B不为0，那么$\frac{A}{B}$就是分式。判断的关键是看式子的分母中是否含有字母，注意π是圆周率，属于固定常数，不属于字母。我们只需逐个分析每个式子的分母即可得出结果。
【解析】
我们逐个判断给出的式子：
1. $\frac{1}{5}(1-x)$：分母是5，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{4x}{π -3}$：π是常数，因此$π-3$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
3. $\frac{x^2 - y^2}{2}$：分母是2，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{1}{x}+x$：式子中$\frac{1}{x}$的分母含有字母x，属于分式；
5. $\frac{5x^2}{x+1}$：分母是$x+1$，含有字母x，属于分式。
综上，分式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式的概念
【点评】
本题是分式识别的基础题，易错点是容易误将π当成字母，把$\frac{4x}{π -3}$错判为分式，牢记定义和π的属性即可准确解题。
【难度系数】
0.8

2. (重庆模拟)分式$\frac{x}{x+1}$的值存在的条件是
（）

A.$x=-1$
B.$x≠0$
C.$x≠-1$
D.$x≠1$

2. C

【分析】
要解决本题，首先需要明确分式值存在（即分式有意义）的核心判定规则：分式的分母不能为0。解题时先找到给定分式的分母，令分母不等于0，解出x的取值范围，即可匹配到正确选项。
【解析】
根据分式有意义的条件，分式的分母不能为0。
本题中分式$\frac{x}{x+1}$的分母为$x+1$，因此列不等式：
$x+1 ≠ 0$
解得：$x ≠ -1$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是分式概念相关的基础考题，属于该知识点的高频考查题型，只要牢记“分式有意义时分母不为0”的规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3. 当$x=5$时，分式$\frac{x+3}{x+m}$的值不存在，则$m$的值等于（）

A.$-5$
B.$-3$
C.$5$
D.$3$

3. A

【分析】
首先回忆分式值不存在的条件：当分式的分母为0时，分式没有意义，也就是值不存在。本题已知x=5时分式值不存在，说明此时分母的值为0，我们只需要将x=5代入分母，令分母等于0，解关于m的一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
分式的值不存在的条件是分式的分母等于0。
已知当$x=5$时，分式$\frac{x+3}{x+m}$的值不存在，因此将$x=5$代入分母得：
$x+m=5+m=0$
解这个方程：
$m = 0 - 5 = -5$
所以m的值为-5，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是牢记分式无意义等价于分母为0，只要掌握这个核心知识点，结合代入求值即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8

4. (上海模拟)当x 时，分式$\frac{2x}{5x+4}$的值存在。

4. $≠-\frac{4}{5}$

【分析】
要使分式的值存在，也就是分式有意义，根据分式的性质，分式有意义的核心要求是分母不能为0。因此我们只需要让本题中分式的分母$5x+4$不等于0，求解对应的一元一次不等式，就能得到x的取值范围。
【解析】
分式的值存在等价于分式有意义，此时分式的分母不能为0：
根据题意列不等式：$5x+4≠0$
移项得：$5x≠-4$
两边同时除以5得：$x≠-\frac{4}{5}$
【答案】
$≠-\frac{4}{5}$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考点是分式有意义的判定规则，解题只要抓住“分母不为0”这一核心条件，求解简单不等式即可得到结果，做题时注意不要和分式值为0的条件混淆，牢记概念即可避免错误。
【难度系数】
0.9

5. (咸阳模拟)如果分式$\frac{x+5}{x-2}$的值等于0，那么x的值是。

5. $-5$

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式本身有意义）。解题时先根据分子为0列方程求出x的可能取值，再代入分母验证是否满足不为0的要求，符合条件的x就是最终答案。
【解析】
解：若分式$\frac{x+5}{x-2}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子的值为0：$x+5=0$，解得$x=-5$；
2. 分母的值不为0：$x-2≠0$，即$x≠2$。
将$x=-5$代入分母验证：$-5-2=-7≠0$，符合分母不为0的要求。
因此x的值为$-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式模块的基础题型，重点考查对分式值为0条件的理解，解题时要注意不能遗漏分母不为0的验证步骤，避免因忽略分式有意义的前提出现错解。
【难度系数】
0.8

6.食堂有煤$p$ t,原计划每天烧$m$ t,现在每天节约$n$ t.
(1)求现在每天烧煤的吨数.
(2)食堂的煤现在可用多少天?
(3)食堂的煤现在比原计划多用多少天?

解:(1)$(m-n)\mathrm{t}$ (2)$\frac{p}{m-n}$ 天 (3)$(\frac{p}{m-n}-\frac{p}{m})$ 天

【分析】
解题时先明确每个量的含义及各量之间的数量关系：
1. 第一问求现在每天烧煤量，直接用原计划每天烧煤量减去每天节约的量即可；
2. 第二问求现在可用天数，根据“使用总天数=煤的总质量÷每天烧煤质量”，代入对应量列式；
3. 第三问求多用的天数，先求出原计划使用的天数，再用现在的使用天数减去原计划使用的天数即可，注意所列分式要保证分母不为0，符合实际意义。
【解析】
(1) 原计划每天烧煤$m$ t，现在每天节约$n$ t，因此现在每天烧煤的吨数为原计划日烧煤量减去节约的量，即$(m-n)\ \mathrm{t}$（隐含条件$m＞n$，保证烧煤量为正）。
(2) 已知煤的总质量为$p$ t，现在每天烧$(m-n)$ t，根据“使用天数=总质量÷每日用量”，可得现在可用天数为$\frac{p}{m-n}$天。
(3) 先求原计划使用天数：原计划每天烧$m$ t，总质量$p$ t，原计划可用天数为$\frac{p}{m}$天；再用现在可用天数减去原计划天数，得到多用的天数为$(\frac{p}{m-n}-\frac{p}{m})$天。
【答案】
(1) $(m-n)\mathrm{t}$
(2) $\frac{p}{m-n}$ 天
(3) $(\frac{p}{m-n}-\frac{p}{m})$ 天
【知识点】
用字母表示数、列代数式、分式的实际应用
【点评】
本题是结合生活实际的代数式应用基础题，解题的核心是理清总煤量、每日烧煤量、使用天数三者之间的数量关系，列式时要注意隐含的实际限制条件（如每日烧煤量为正，即$m＞n$），保证所列代数式有实际意义。
【难度系数】
0.85

7. 下列各式中，无论$x$取何值，分式的值都存在的是（）

A.$\frac{x+a}{|x|-2}$
B.$\frac{x}{2x+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{x^2}{2x^2+1}$

7. D

【分析】
要判断无论x取何值分式都存在，即判断分式对任意实数x都有意义，首先回忆分式有意义的核心条件：分母不为0。因此解题思路为逐个分析每个选项的分母，判断是否存在x使得分母等于0，若不存在这样的x，则该选项符合要求。
【解析】
分式有意义的条件是分母不等于0，题目要求对任意x都满足分式有意义，即分母恒不为0：
选项A：分母为$|x|-2$，令$|x|-2=0$，解得$x=\pm2$，此时分母为0，分式无意义，不符合要求；
选项B：分母为$2x+1$，令$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时分母为0，分式无意义，不符合要求；
选项C：分母为$x^2$，令$x^2=0$，解得$x=0$，此时分母为0，分式无意义，不符合要求；
选项D：分母为$2x^2+1$，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，分母恒不为0，无论x取何值分式都有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，解题核心是掌握分式有意义的判定规则，结合代数式的取值范围分析分母是否可能为0即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8. 已知当$x=2$时，分式$\frac{x-b}{x-a}$的值不存在；当$x=3$时，此分式的值等于0，则$a+b=$.

8. 5

【分析】
解题时要先回忆分式的两个关键性质：1. 分式值不存在（无意义）的条件是分母等于0；2. 分式值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=2时分式值不存在的条件求出a的值，再根据x=3时分式值为0的条件求出b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
解：① 当$x=2$时，分式$\frac{x-b}{x-a}$的值不存在，说明此时分母为0，即：
$2 - a = 0$
解得：$a=2$
② 当$x=3$时，分式的值为0，说明此时分子为0，且分母不为0：
首先令分子为0，得$3 - b = 0$，解得$b=3$
验证分母：当$x=3$、$a=2$时，分母$x-a=3-2=1≠0$，符合分式值为0的条件
因此$a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式概念的基础常考题，解题的关键是牢记分式相关的性质，尤其注意分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0两个要求，避免遗漏分母不为0的限制条件导致出错。
【难度系数】
0.8

9. 在分式$\frac{3 - |x|}{x^2 - 9}$中，当$x$取什么值时，分式的值存在？分式的值能否等于0，为什么？

解:因为分式的值存在，所以$x^2-9≠0$,解得$x≠±3$。
所以当$x≠±3$时，分式$\frac{3-|x|}{x^2-9}$的值存在。
因为当$3-|x|=0$时,解得$x=±3$。
而当$x=±3$时,分式的值不存在，
所以$\frac{3-|x|}{x^2-9}$的值不能等于0。

【分析】
本题包含两个问题，解题思路如下：① 分式的值存在即分式有意义，根据分式的定义，分式有意义的核心条件是分母不为0，因此只需令分母$x^2-9≠0$，求解出$x$的取值范围即可；② 分式的值为0需要同时满足两个要求：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可。我们可以先求解分子为0时$x$的取值，再验证该取值是否满足分母不为0的要求，若不满足则分式不可能等于0。
【解析】
解：1. 求分式值存在时$x$的取值
要使分式的值存在，需保证分式有意义，即分母不等于0：
$x^2 - 9 ≠ 0$
解得 $x ≠ ±3$
因此当$x≠±3$时，分式$\frac{3 - |x|}{x^2 - 9}$的值存在。
2. 判断分式的值能否等于0
若分式的值为0，需同时满足分子为0、分母不为0两个条件：
令分子为0，即 $3 - |x| = 0$
解得 $x=±3$
当$x=±3$时，分母$x^2-9=0$，此时分式无意义，不符合分式值为0的前提条件。
因此该分式的值不能等于0。
【答案】
当$x≠±3$时，分式的值存在；分式的值不能等于0，因为当$3-|x|=0$时，$x=±3$，此时分母$x^2-9=0$，分式无意义。
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为零的条件；绝对值方程求解
【点评】
本题是分式概念的基础常考题，重点考查对分式成立条件、分式值为0条件的理解，易错点是讨论分式值为0时，忽略分母不为0的前提，仅通过分子为0就判断分式值为0，解题时需牢记先保证分式有意义再讨论值的问题。
【难度系数】
0.8

10. 观察下列分式：$\frac{2}{x}, -\frac{5}{x^2}, \frac{10}{x^3}, -\frac{17}{x^4}, \frac{26}{x^5}, \dots,$ 按此规律第100个分式是。

10. $-\frac{10\ 001}{x^{100}}$

【分析】
遇到这类分式规律探究题，我们可以把分式拆解为符号、分子、分母三个独立部分分别找规律，再合并得到通用表达式，最后代入序号计算即可。第一步先分析符号：观察发现第奇数个分式为正，第偶数个为负，可用$(-1)^{n+1}$表示第n个分式的符号（n为正整数）；第二步分析分母：第1个分母是$x^1$，第2个是$x^2$，以此类推，第n个的分母为$x^n$；第三步分析分子：2=1²+1，5=2²+1，10=3²+1，可推出第n个的分子为$n^2+1$，三部分组合就能得到第n个分式的通用式，代入n=100即可算出结果。
【解析】
我们分三部分推导规律：
1. 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，第n个分式的符号可表示为$(-1)^{n+1}$；
2. 分母规律：第n个分式的分母为$x^n$；
3. 分子规律：第n个分式的分子为$n^2+1$。
因此第n个分式的通用表达式为：$\displaystyle (-1)^{n+1}·\frac{n^2+1}{x^n}$。
将n=100代入表达式：
$\displaystyle (-1)^{100+1}·\frac{100^2+1}{x^{100}} = -\frac{10000+1}{x^{100}} = -\frac{10001}{x^{100}}$
【答案】
$-\frac{10001}{x^{100}}$
【知识点】
数字规律探究、分式的概念、代数式表示
【点评】
本题属于基础规律探究题，拆分结构分析的方法能大幅降低解题难度，符号的奇偶性变化是本题的易错点，推导完通用规律后可以代入前几个序号验证，避免规律出错。
【难度系数】
0.7