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1. 分式的概念
设$f$和$g$都是多项式，其中$g$不为零多项式。
我们把$f$除以$g$的结果记作$\frac{f}{g}$，称$\frac{f}{g}$是分式，
其中$f$称为________，$g$称为________。
2. 分式$\frac{f}{g}$的值存在或不存在的条件
当分母$g≠0$时，分式的值存在，此时，也说
【变式1】下列是分式的是 （
A.$\frac{3}{x-1}$ B.$\frac{y}{2}+1$
C.$xy$ D.$\frac{y}{4}$
【变式2】在$\frac{1}{x},\frac{1}{2},\frac{x^2+1}{2},\frac{3xy}{π},\frac{3}{x+y},a+\frac{1}{m}$中，
分式有 （
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
设$f$和$g$都是多项式，其中$g$不为零多项式。
我们把$f$除以$g$的结果记作$\frac{f}{g}$，称$\frac{f}{g}$是分式，
其中$f$称为________，$g$称为________。
2. 分式$\frac{f}{g}$的值存在或不存在的条件
当分母$g≠0$时，分式的值存在，此时，也说
【变式1】下列是分式的是 （
A
）A.$\frac{3}{x-1}$ B.$\frac{y}{2}+1$
C.$xy$ D.$\frac{y}{4}$
【变式2】在$\frac{1}{x},\frac{1}{2},\frac{x^2+1}{2},\frac{3xy}{π},\frac{3}{x+y},a+\frac{1}{m}$中，
分式有 （
B
）A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
答案
1. 分子 分母
【变式1】 A
【变式2】 B
【变式1】 A
【变式2】 B
解析
【分析】
本类题目围绕分式的核心概念设置，第1题直接考查分式的结构组成，对应教材定义即可作答；两道变式题考查分式的判定，解题时需抓住分式的核心特征：①为$\frac{f}{g}$的分数形式，②分母$g$中含有字母（π为固定常数，不属于字母），只需看表达式的形式是否符合即可，无需考虑分母取值是否为0。
【解析】
1. 根据分式的定义：形如$\frac{f}{g}$（$f$、$g$为多项式，$g$不为零多项式）的式子为分式，其中$f$称为分子，$g$称为分母。
【变式1】逐项分析：
A选项：$\frac{3}{x-1}$的分母为$x-1$，含有字母$x$，符合分式定义；
B选项：$\frac{y}{2}+1$的分母为常数2，属于整式；
C选项：$xy$是单项式，属于整式；
D选项：$\frac{y}{4}$的分母为常数4，属于整式。
综上选A。
【变式2】逐个判断各式：
$\frac{1}{x}$分母含字母$x$，是分式；$\frac{1}{2}$分母为常数，是整式；$\frac{x^2+1}{2}$分母为常数2，是整式；$\frac{3xy}{π}$分母为常数π，是整式；$\frac{3}{x+y}$分母含字母$x$、$y$，是分式；$a+\frac{1}{m}$中$\frac{1}{m}$分母含字母$m$，整个式子是分式。共3个分式，选B。
【答案】
1. 分子 分母
【变式1】A
【变式2】B
【知识点】
分式的概念；分式的判定
【点评】
本组题目是分式概念的基础巩固类习题，重点考查学生对分式形式特征的掌握，需注意区分π是常数这一易错点，能帮助学生快速夯实基础概念。
【难度系数】
0.9
本类题目围绕分式的核心概念设置，第1题直接考查分式的结构组成，对应教材定义即可作答；两道变式题考查分式的判定，解题时需抓住分式的核心特征：①为$\frac{f}{g}$的分数形式，②分母$g$中含有字母（π为固定常数，不属于字母），只需看表达式的形式是否符合即可，无需考虑分母取值是否为0。
【解析】
1. 根据分式的定义：形如$\frac{f}{g}$（$f$、$g$为多项式，$g$不为零多项式）的式子为分式，其中$f$称为分子，$g$称为分母。
【变式1】逐项分析：
A选项：$\frac{3}{x-1}$的分母为$x-1$，含有字母$x$，符合分式定义；
B选项：$\frac{y}{2}+1$的分母为常数2，属于整式；
C选项：$xy$是单项式，属于整式；
D选项：$\frac{y}{4}$的分母为常数4，属于整式。
综上选A。
【变式2】逐个判断各式：
$\frac{1}{x}$分母含字母$x$，是分式；$\frac{1}{2}$分母为常数，是整式；$\frac{x^2+1}{2}$分母为常数2，是整式；$\frac{3xy}{π}$分母为常数π，是整式；$\frac{3}{x+y}$分母含字母$x$、$y$，是分式；$a+\frac{1}{m}$中$\frac{1}{m}$分母含字母$m$，整个式子是分式。共3个分式，选B。
【答案】
1. 分子 分母
【变式1】A
【变式2】B
【知识点】
分式的概念；分式的判定
【点评】
本组题目是分式概念的基础巩固类习题，重点考查学生对分式形式特征的掌握，需注意区分π是常数这一易错点，能帮助学生快速夯实基础概念。
【难度系数】
0.9
探究2 分式$\frac{f}{g}$的值存在或不存在的条件
答案
解：
分式$\frac{f}{g}$的值存在的条件：分母$g ≠ 0$，此时分式有意义；
分式$\frac{f}{g}$的值不存在的条件：分母$g = 0$，此时分式无意义。
分式$\frac{f}{g}$的值存在的条件：分母$g ≠ 0$，此时分式有意义；
分式$\frac{f}{g}$的值不存在的条件：分母$g = 0$，此时分式无意义。
解析
【分析】
我们可以类比分数的性质来思考本题，分数明确要求分母不能为0，否则分数无意义。分式是分母含有字母的分数形式的式子，因此判断分式的值是否存在，核心是看分母的取值：若分母不为0，分式就有意义，值就存在；若分母为0，分式无意义，值就不存在。
【解析】
判断分式$\frac{f}{g}$的值是否存在，只需分析分母$g$的取值情况：
1. 当分母$g≠0$时，分式$\frac{f}{g}$有意义，此时分式的值存在；
2. 当分母$g=0$时，分式$\frac{f}{g}$无意义，此时分式的值不存在。
【答案】
分式$\frac{f}{g}$的值存在的条件：分母$g ≠ 0$，此时分式有意义；分式$\frac{f}{g}$的值不存在的条件：分母$g = 0$，此时分式无意义。
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 分式无意义的条件
【点评】
本题是分式概念的基础考查，核心是牢记分母不为0是分式有意义的前提，该知识点是后续分式运算、分式方程求解的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
我们可以类比分数的性质来思考本题，分数明确要求分母不能为0，否则分数无意义。分式是分母含有字母的分数形式的式子，因此判断分式的值是否存在，核心是看分母的取值：若分母不为0，分式就有意义，值就存在；若分母为0，分式无意义，值就不存在。
【解析】
判断分式$\frac{f}{g}$的值是否存在，只需分析分母$g$的取值情况：
1. 当分母$g≠0$时，分式$\frac{f}{g}$有意义，此时分式的值存在；
2. 当分母$g=0$时，分式$\frac{f}{g}$无意义，此时分式的值不存在。
【答案】
分式$\frac{f}{g}$的值存在的条件：分母$g ≠ 0$，此时分式有意义；分式$\frac{f}{g}$的值不存在的条件：分母$g = 0$，此时分式无意义。
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 分式无意义的条件
【点评】
本题是分式概念的基础考查，核心是牢记分母不为0是分式有意义的前提，该知识点是后续分式运算、分式方程求解的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【例2】若分式$\frac{2}{x+3}$的值存在，则$x$的取值范围为（
A.$x≠-3$
B.$x=-3$
C.$x＞-3$
D.$x≥-3$
A
）A.$x≠-3$
B.$x=-3$
C.$x＞-3$
D.$x≥-3$
答案
A
解析
【分析】
要确定分式的值存在时x的取值范围，首先回忆分式的性质：分式有意义（即值存在）的前提是分母不能为0。我们只需要让题中分式的分母不等于0，列出不等式求解，就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
解：分式的值存在的条件是分式有意义，即分母不为0。
对于分式$\frac{2}{x+3}$，其分母为$x+3$，因此可列不等式：
$x+3 ≠ 0$
解得：$x ≠ -3$
因此x的取值范围为$x ≠ -3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查分式有意义的判定规则，解题时牢牢抓住“分式分母不能为0”这一要点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定分式的值存在时x的取值范围，首先回忆分式的性质：分式有意义（即值存在）的前提是分母不能为0。我们只需要让题中分式的分母不等于0，列出不等式求解，就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
解：分式的值存在的条件是分式有意义，即分母不为0。
对于分式$\frac{2}{x+3}$，其分母为$x+3$，因此可列不等式：
$x+3 ≠ 0$
解得：$x ≠ -3$
因此x的取值范围为$x ≠ -3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查分式有意义的判定规则，解题时牢牢抓住“分式分母不能为0”这一要点即可快速求解。
【难度系数】
0.9
【例1】下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？
$\frac{1}{x},\frac{x^2+1}{x-1},\frac{x}{2π},$
$,-\frac{1}{8},\frac{a-b}{3}.$
$\frac{1}{x},\frac{x^2+1}{x-1},\frac{x}{2π},$
$,-\frac{1}{8},\frac{a-b}{3}.$答案
整式有$\frac{x}{2π},-\frac{1}{8},\frac{a-b}{3}$；分式有$\frac{1}{x},\frac{x^2+1}{x-1},-\frac{3}{2+y}$。
解析
【分析】
要判断整式和分式，首先需明确二者的定义：整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母；分式的定义为：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么式子$\frac{A}{B}$就是分式。判断时需注意：π是固定的常数，不是字母，因此分母含π的不属于含字母的情况。接下来逐一分析每个式子的分母是否含字母，即可完成分类。
【解析】
逐个分析各个代数式：
1. $\frac{1}{x}$：分母为x，含有字母，属于分式；
2. $\frac{x^2+1}{x-1}$：分母为$x-1$，含有字母x，属于分式；
3. $\frac{x}{2π}$：分母为$2π$，π是常数，因此分母不含字母，属于整式；
4. $-\frac{3}{2+y}$：分母为$2+y$，含有字母y，属于分式；
5. $-\frac{1}{8}$：是常数单项式，分母不含字母，属于整式；
6. $\frac{a-b}{3}$：分母为3，是常数，不含字母，属于整式。
【答案】
整式有$\frac{x}{2π},-\frac{1}{8},\frac{a-b}{3}$；分式有$\frac{1}{x},\frac{x^2+1}{x-1},-\frac{3}{2+y}$。
【知识点】
分式的概念；整式的概念
【点评】
本题考查整式与分式的区分，核心判断依据是看代数式的分母中是否含有字母，注意π是常数，不要误判为字母，牢记概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断整式和分式，首先需明确二者的定义：整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母；分式的定义为：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么式子$\frac{A}{B}$就是分式。判断时需注意：π是固定的常数，不是字母，因此分母含π的不属于含字母的情况。接下来逐一分析每个式子的分母是否含字母，即可完成分类。
【解析】
逐个分析各个代数式：
1. $\frac{1}{x}$：分母为x，含有字母，属于分式；
2. $\frac{x^2+1}{x-1}$：分母为$x-1$，含有字母x，属于分式；
3. $\frac{x}{2π}$：分母为$2π$，π是常数，因此分母不含字母，属于整式；
4. $-\frac{3}{2+y}$：分母为$2+y$，含有字母y，属于分式；
5. $-\frac{1}{8}$：是常数单项式，分母不含字母，属于整式；
6. $\frac{a-b}{3}$：分母为3，是常数，不含字母，属于整式。
【答案】
整式有$\frac{x}{2π},-\frac{1}{8},\frac{a-b}{3}$；分式有$\frac{1}{x},\frac{x^2+1}{x-1},-\frac{3}{2+y}$。
【知识点】
分式的概念；整式的概念
【点评】
本题考查整式与分式的区分，核心判断依据是看代数式的分母中是否含有字母，注意π是常数，不要误判为字母，牢记概念是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
【变式1】当$x=1$时，下列分式的值不存在的是（
A.$\frac{x-1}{x}$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{x}{x+1}$
C
）A.$\frac{x-1}{x}$
B.$\frac{x+1}{x}$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{x}{x+1}$
答案
C
解析
【分析】
要判断当x=1时哪个分式的值不存在，首先明确：分式的值不存在（即分式无意义）的判定标准是分式的分母等于0。因此解题时只需将x=1分别代入四个选项的分母中，计算分母的取值，找到分母为0的选项即可。
【解析】
分式的值不存在的条件是：分式的分母为0。
我们将x=1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为x，当x=1时，分母=1≠0，分式有意义，值存在，不符合题意；
B选项：分母为x，当x=1时，分母=1≠0，分式有意义，值存在，不符合题意；
C选项：分母为x-1，当x=1时，分母=1-1=0，分式无意义，值不存在，符合题意；
D选项：分母为x+1，当x=1时，分母=1+1=2≠0，分式有意义，值存在，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件
【点评】
本题是分式概念的基础题型，核心考查分式无意义的判定规则，解题时牢记“分母为0时分式无意义”即可快速得出答案，注意不要和分式值为0的判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
要判断当x=1时哪个分式的值不存在，首先明确：分式的值不存在（即分式无意义）的判定标准是分式的分母等于0。因此解题时只需将x=1分别代入四个选项的分母中，计算分母的取值，找到分母为0的选项即可。
【解析】
分式的值不存在的条件是：分式的分母为0。
我们将x=1分别代入各选项的分母计算：
A选项：分母为x，当x=1时，分母=1≠0，分式有意义，值存在，不符合题意；
B选项：分母为x，当x=1时，分母=1≠0，分式有意义，值存在，不符合题意；
C选项：分母为x-1，当x=1时，分母=1-1=0，分式无意义，值不存在，符合题意；
D选项：分母为x+1，当x=1时，分母=1+1=2≠0，分式有意义，值存在，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件
【点评】
本题是分式概念的基础题型，核心考查分式无意义的判定规则，解题时牢记“分母为0时分式无意义”即可快速得出答案，注意不要和分式值为0的判定条件混淆。
【难度系数】
0.9
【变式2】若分式$\frac{x-2}{x^2 -4}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≠2且x≠-2$
。答案
$x≠2且x≠-2$
解析
【分析】
要解决分式有意义时x的取值范围问题，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中需注意不能先对分式约分，若提前约掉分子分母的公因式(x-2)，会默认x≠2从而漏解，所以应先针对原分式的分母列不等式，再求解即可。
【解析】
要使分式$\frac{x-2}{x^2 -4}$有意义，需满足分母不为0，即：
$\begin{aligned}x^2 - 4 &≠ 0 \\(x-2)(x+2) &≠ 0\end{aligned}$
由此可得$x-2 ≠ 0$且$x+2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$且$x ≠ -2$。
【答案】
$x≠2且x≠-2$
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，易错点是学生解题时先约分再判断分母取值，从而漏掉x≠2的限制条件，需牢记判断分式有意义时要以原式的分母为依据，不能提前约分。
【难度系数】
0.7
要解决分式有意义时x的取值范围问题，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中需注意不能先对分式约分，若提前约掉分子分母的公因式(x-2)，会默认x≠2从而漏解，所以应先针对原分式的分母列不等式，再求解即可。
【解析】
要使分式$\frac{x-2}{x^2 -4}$有意义，需满足分母不为0，即：
$\begin{aligned}x^2 - 4 &≠ 0 \\(x-2)(x+2) &≠ 0\end{aligned}$
由此可得$x-2 ≠ 0$且$x+2 ≠ 0$，解得$x ≠ 2$且$x ≠ -2$。
【答案】
$x≠2且x≠-2$
【知识点】
分式有意义的条件；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，易错点是学生解题时先约分再判断分母取值，从而漏掉x≠2的限制条件，需牢记判断分式有意义时要以原式的分母为依据，不能提前约分。
【难度系数】
0.7
探究3 分式$\frac{f}{g}$的值等于0的条件
答案
解：
要使分式$\frac{f}{g}$的值等于0，首先分式要有意义，即分母不能为0。
由此可得需同时满足两个条件：
1. 分子$f=0$；
2. 分母$g ≠ 0$。
综上，分式$\frac{f}{g}$的值等于0的条件是$\boldsymbol{f=0}$且$\boldsymbol{g ≠ 0}$。
要使分式$\frac{f}{g}$的值等于0，首先分式要有意义，即分母不能为0。
由此可得需同时满足两个条件：
1. 分子$f=0$；
2. 分母$g ≠ 0$。
综上，分式$\frac{f}{g}$的值等于0的条件是$\boldsymbol{f=0}$且$\boldsymbol{g ≠ 0}$。
解析
【分析】
思考分式值为0的条件时，首先要明确分式存在的前提是有意义，也就是分母不能为0，否则分式无意义，无法讨论它的数值。在此基础上，要让分式的结果为0，根据除法的运算性质，只有0除以一个不为0的数结果才是0，因此需要分子为0，结合这两个前提就能推导出最终结论。
【解析】
要使分式$\frac{f}{g}$的值等于0，首先分式要有意义，即分母不能为0。由此可得需同时满足两个条件：
1. 分子$f=0$；
2. 分母$g ≠ 0$。
综上，分式$\frac{f}{g}$的值等于0的条件是$\boldsymbol{f=0}$且$\boldsymbol{g ≠ 0}$。
【答案】
$f=0$且$g≠0$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式相关的基础考点，解题时要注意不能只考虑分子为0，必须牢记分母不为0的前提，两个条件同时成立才是完整的结论。
【难度系数】
0.7
思考分式值为0的条件时，首先要明确分式存在的前提是有意义，也就是分母不能为0，否则分式无意义，无法讨论它的数值。在此基础上，要让分式的结果为0，根据除法的运算性质，只有0除以一个不为0的数结果才是0，因此需要分子为0，结合这两个前提就能推导出最终结论。
【解析】
要使分式$\frac{f}{g}$的值等于0，首先分式要有意义，即分母不能为0。由此可得需同时满足两个条件：
1. 分子$f=0$；
2. 分母$g ≠ 0$。
综上，分式$\frac{f}{g}$的值等于0的条件是$\boldsymbol{f=0}$且$\boldsymbol{g ≠ 0}$。
【答案】
$f=0$且$g≠0$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件
【点评】
本题是分式相关的基础考点，解题时要注意不能只考虑分子为0，必须牢记分母不为0的前提，两个条件同时成立才是完整的结论。
【难度系数】
0.7
【例3】(枣庄模拟)若分式$\frac{x-1}{x+2}$的值等于0，则$x=$
$1$
。答案
1
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个条件：①分子的值等于0；②分母的值不等于0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足分子为0，且分母不为0两个条件：
1. 令分子等于0，列方程得：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 验证分母是否有意义：当$x=1$时，分母$x + 2 = 1 + 2 = 3 ≠ 0$，符合要求。
因此x的取值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式基础考点，解题的关键是牢记分式值为0的双重限制，不要省略分母验证的步骤，避免因忽略分式有意义的前提出现错解。
【难度系数】
0.8
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个条件：①分子的值等于0；②分母的值不等于0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足分子为0，且分母不为0两个条件：
1. 令分子等于0，列方程得：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 验证分母是否有意义：当$x=1$时，分母$x + 2 = 1 + 2 = 3 ≠ 0$，符合要求。
因此x的取值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式基础考点，解题的关键是牢记分式值为0的双重限制，不要省略分母验证的步骤，避免因忽略分式有意义的前提出现错解。
【难度系数】
0.8
