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10. 已知多项式$x^2 + ax + 16$可以用完全平方公式进行因式分解，则$a$的值为（
A.4
B.8
C.$-8$
D.$\pm8$
D
）A.4
B.8
C.$-8$
D.$\pm8$
答案
10. D
解析
【分析】
解题时首先要回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式分为和的平方与差的平方两种形式：$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$。已知多项式是二次三项式，首项为$x^2$，常数项为16即$4^2$，因此对应完全平方公式中的$m=x$，$n=4$，中间项$ax$对应$\pm2mn$，分两种情况计算即可得到$a$的取值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
因为多项式$x^2 + ax + 16$能用完全平方公式因式分解，且$x^2=(x)^2$，$16=4^2$，
所以$x^2 + ax + 16=(x\pm4)^2$，
将右边展开：
当取正号时，$(x+4)^2=x^2+8x+16$，此时$a=8$；
当取负号时，$(x-4)^2=x^2-8x+16$，此时$a=-8$；
综上，$a$的值为$\pm8$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解-公式法
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式有和、差两种形式，避免因忽略差的平方的情况漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆完全平方公式的结构特征，完全平方公式分为和的平方与差的平方两种形式：$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$。已知多项式是二次三项式，首项为$x^2$，常数项为16即$4^2$，因此对应完全平方公式中的$m=x$，$n=4$，中间项$ax$对应$\pm2mn$，分两种情况计算即可得到$a$的取值，注意不要遗漏负号的情况。
【解析】
解：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
因为多项式$x^2 + ax + 16$能用完全平方公式因式分解，且$x^2=(x)^2$，$16=4^2$，
所以$x^2 + ax + 16=(x\pm4)^2$，
将右边展开：
当取正号时，$(x+4)^2=x^2+8x+16$，此时$a=8$；
当取负号时，$(x-4)^2=x^2-8x+16$，此时$a=-8$；
综上，$a$的值为$\pm8$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解-公式法
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式有和、差两种形式，避免因忽略差的平方的情况漏解。
【难度系数】
0.8
11.(福州模拟)下列将多项式$3a^2 - 6a + 3$因式分解正确的是（
A.$3a(a - 2) + 3$
B.$3(a^2 - 2a + 1)$
C.$3(a - 1)(a + 1)$
D.$3(a - 1)^2$
D
）A.$3a(a - 2) + 3$
B.$3(a^2 - 2a + 1)$
C.$3(a - 1)(a + 1)$
D.$3(a - 1)^2$
答案
11. D
解析
【分析】
首先明确因式分解的核心要求：需将多项式转化为几个整式乘积的形式，且每个因式都要分解到不能再分解为止。解题遵循“先提公因式，再套公式，最后检查”的思路：第一步先提取多项式的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式符合哪类乘法公式，用公式继续分解，最后对比选项排除错误答案即可。
【解析】
对多项式$3a^2 - 6a + 3$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式：观察多项式各项都有公因式3，提取后可得：
$3a^2 - 6a + 3=3(a^2 - 2a + 1)$
2. 套用公式分解：剩余多项式$a^2 - 2a + 1$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$b=1$），继续分解得：
$3(a^2 - 2a + 1)=3(a-1)^2$
逐一分析选项：
A选项结果为和的形式，不符合因式分解的乘积要求，错误；
B选项未分解彻底，括号内的多项式还可继续分解，错误；
C选项错用平方差公式，$a^2-2a+1$是完全平方式，不是平方差结构，错误；
D选项分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解，因式分解的定义
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题时要严格按照“一提二套三查”的步骤操作，注意区分完全平方公式和平方差公式的适用结构，同时要保证因式分解的结果分解彻底、形式合规。
【难度系数】
0.85
首先明确因式分解的核心要求：需将多项式转化为几个整式乘积的形式，且每个因式都要分解到不能再分解为止。解题遵循“先提公因式，再套公式，最后检查”的思路：第一步先提取多项式的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式符合哪类乘法公式，用公式继续分解，最后对比选项排除错误答案即可。
【解析】
对多项式$3a^2 - 6a + 3$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式：观察多项式各项都有公因式3，提取后可得：
$3a^2 - 6a + 3=3(a^2 - 2a + 1)$
2. 套用公式分解：剩余多项式$a^2 - 2a + 1$符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$b=1$），继续分解得：
$3(a^2 - 2a + 1)=3(a-1)^2$
逐一分析选项：
A选项结果为和的形式，不符合因式分解的乘积要求，错误；
B选项未分解彻底，括号内的多项式还可继续分解，错误；
C选项错用平方差公式，$a^2-2a+1$是完全平方式，不是平方差结构，错误；
D选项分解结果正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解，因式分解的定义
【点评】
本题是因式分解的基础考查题，解题时要严格按照“一提二套三查”的步骤操作，注意区分完全平方公式和平方差公式的适用结构，同时要保证因式分解的结果分解彻底、形式合规。
【难度系数】
0.85
12. 下列各式中，能用公式法因式分解的有（
①$-x^2 - y^2$；②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1$；③$a^2 + ab + b^2$；
④$-x^2 + 2xy - y^2$；⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）①$-x^2 - y^2$；②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1$；③$a^2 + ab + b^2$；
④$-x^2 + 2xy - y^2$；⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
12. B
解析
【分析】
解题时首先要明确公式法因式分解常用的两类公式的结构特征：1.平方差公式：适用于两项式，两项都是平方项且符号相反；2.完全平方公式：适用于三项式，其中两项为同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍。再将题中5个式子逐一变形，和上述公式特征比对判断，最后统计符合要求的式子数量即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，是两个平方项的和，不符合平方差或完全平方公式的结构，不能用公式法因式分解；
②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1 = 1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(1+\frac{1}{2}ab)(1-\frac{1}{2}ab)$，能用公式法；
③$a^2 + ab + b^2$，中间项为$ab$，不是两个平方项底数乘积的2倍（应为$\pm2ab$），不符合完全平方公式，也不符合平方差公式，不能用公式法；
④$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的式子符合完全平方公式特征，可分解为$-(x-y)^2$，能用公式法；
⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2 = (mn)^2 - 2· mn· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式特征，可分解为$(mn - \frac{1}{2})^2$，能用公式法。
综上，能用公式法因式分解的是②④⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
公式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题核心是考查对因式分解常用公式结构特征的掌握，解题关键是熟记平方差、完全平方公式的形式，通过逐一比对式子结构即可判断，易错点是容易忽略完全平方公式中间项的2倍关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确公式法因式分解常用的两类公式的结构特征：1.平方差公式：适用于两项式，两项都是平方项且符号相反；2.完全平方公式：适用于三项式，其中两项为同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍。再将题中5个式子逐一变形，和上述公式特征比对判断，最后统计符合要求的式子数量即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，是两个平方项的和，不符合平方差或完全平方公式的结构，不能用公式法因式分解；
②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1 = 1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(1+\frac{1}{2}ab)(1-\frac{1}{2}ab)$，能用公式法；
③$a^2 + ab + b^2$，中间项为$ab$，不是两个平方项底数乘积的2倍（应为$\pm2ab$），不符合完全平方公式，也不符合平方差公式，不能用公式法；
④$-x^2 + 2xy - y^2 = -(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的式子符合完全平方公式特征，可分解为$-(x-y)^2$，能用公式法；
⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2 = (mn)^2 - 2· mn· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式特征，可分解为$(mn - \frac{1}{2})^2$，能用公式法。
综上，能用公式法因式分解的是②④⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
公式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题核心是考查对因式分解常用公式结构特征的掌握，解题关键是熟记平方差、完全平方公式的形式，通过逐一比对式子结构即可判断，易错点是容易忽略完全平方公式中间项的2倍关系。
【难度系数】
0.7
13. 因式分解：$x^2 - \frac{1}{4} =$
$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})$
.答案
13. $(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})$
解析
【分析】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题时先观察多项式的结构：原式是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$的适用条件，首先确定公式里的$a$和$b$：这里$a=x$，$b=\frac{1}{2}$（因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$），再直接套用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
我们可以将原式变形为平方差的形式：
$\begin{aligned}x^2 - \frac{1}{4}&=x^2 - (\frac{1}{2})^2\\&=(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})\end{aligned}$
【答案】
$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})$
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是识别多项式的结构特征，熟练掌握平方差公式的形式就能快速解题，需要注意公式中对应$a$、$b$的确定不要出错。
【难度系数】
0.9
本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题时先观察多项式的结构：原式是两个数的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$的适用条件，首先确定公式里的$a$和$b$：这里$a=x$，$b=\frac{1}{2}$（因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$），再直接套用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
我们可以将原式变形为平方差的形式：
$\begin{aligned}x^2 - \frac{1}{4}&=x^2 - (\frac{1}{2})^2\\&=(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2})\end{aligned}$
【答案】
$(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})$
【知识点】
平方差公式、因式分解
【点评】
本题属于基础题型，核心是识别多项式的结构特征，熟练掌握平方差公式的形式就能快速解题，需要注意公式中对应$a$、$b$的确定不要出错。
【难度系数】
0.9
14. 因式分解：$2x^3y - 8x^2y^2 + 8xy^3 =$
$2xy(x-2y)^2$
答案
14. $2xy(x-2y)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式各项的公因式，本题各项系数的最大公约数是2，均含有字母x、y，且x、y的最低次数均为1，因此公因式为2xy，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式，剩余部分是三项式，符合完全平方差公式的结构特征，对应确定公式里的a、b后套用公式分解；第三步检查最终的因式是否还能继续分解，确认分解彻底即可得到结果。
【解析】
解：第一步，提取公因式$2xy$：
$2x^3y - 8x^2y^2 + 8xy^3 = 2xy(x^2 - 4xy + 4y^2)$
第二步，对括号内的三项式套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，可得：
$x^2 - 4xy + 4y^2=(x-2y)^2$
因此原式$=2xy(x-2y)^2$，且该结果无法继续分解，为最终因式分解结果。
【答案】
$2xy(x-2y)^2$
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本操作顺序，熟练掌握公因式的判定方法、完全平方公式的结构特征是解题的关键，分解完成后要注意检查是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用步骤：第一步先观察多项式各项的公因式，本题各项系数的最大公约数是2，均含有字母x、y，且x、y的最低次数均为1，因此公因式为2xy，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式，剩余部分是三项式，符合完全平方差公式的结构特征，对应确定公式里的a、b后套用公式分解；第三步检查最终的因式是否还能继续分解，确认分解彻底即可得到结果。
【解析】
解：第一步，提取公因式$2xy$：
$2x^3y - 8x^2y^2 + 8xy^3 = 2xy(x^2 - 4xy + 4y^2)$
第二步，对括号内的三项式套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，可得：
$x^2 - 4xy + 4y^2=(x-2y)^2$
因此原式$=2xy(x-2y)^2$，且该结果无法继续分解，为最终因式分解结果。
【答案】
$2xy(x-2y)^2$
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考查因式分解的基本操作顺序，熟练掌握公因式的判定方法、完全平方公式的结构特征是解题的关键，分解完成后要注意检查是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
15.已知$x+y=3$，$xy=-2$，则$x^3y + 2x^2y^2 + xy^3=$
$-18$
答案
15. $-18$
解析
【分析】
解题时首先观察待求代数式的结构和已知条件的特点，已知$x+y$和$xy$的整体值，无需单独求解$x$、$y$的具体取值，优先考虑将待求式变形为含有$x+y$和$xy$的形式：第一步先提取待求式各项的公因式$xy$，提取后剩余的多项式$x^2+2xy+y^2$恰好是完全平方和的展开式，可转化为$(x+y)^2$，变形完成后直接代入已知数值计算即可。
【解析】
对所求代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}x^3y + 2x^2y^2 + xy^3&= xy(x^2 + 2xy + y^2) \quad \mathrm{（提取公因式}xy\mathrm{）} \\&= xy(x+y)^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式）}\end{aligned}$
将$x+y=3$，$xy=-2$代入上式计算：
原式$=-2×3^2=-2×9=-18$
【答案】
$-18$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的典型基础题型，考查因式分解在整式求值中的应用，解题核心是通过因式分解将待求式转化为可代入已知整体值的形式，避免单独求解未知数，有效简化运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察待求代数式的结构和已知条件的特点，已知$x+y$和$xy$的整体值，无需单独求解$x$、$y$的具体取值，优先考虑将待求式变形为含有$x+y$和$xy$的形式：第一步先提取待求式各项的公因式$xy$，提取后剩余的多项式$x^2+2xy+y^2$恰好是完全平方和的展开式，可转化为$(x+y)^2$，变形完成后直接代入已知数值计算即可。
【解析】
对所求代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}x^3y + 2x^2y^2 + xy^3&= xy(x^2 + 2xy + y^2) \quad \mathrm{（提取公因式}xy\mathrm{）} \\&= xy(x+y)^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式）}\end{aligned}$
将$x+y=3$，$xy=-2$代入上式计算：
原式$=-2×3^2=-2×9=-18$
【答案】
$-18$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的典型基础题型，考查因式分解在整式求值中的应用，解题核心是通过因式分解将待求式转化为可代入已知整体值的形式，避免单独求解未知数，有效简化运算。
【难度系数】
0.8
16. 把下列多项式因式分解：
(1)$a^2 -16b^2$；
(2)$3a^2 -6ab +3b^2$；
(3)$ab^2 -a$；
(4)$x^2 y -6xy +9y$。
(1)$a^2 -16b^2$；
(2)$3a^2 -6ab +3b^2$；
(3)$ab^2 -a$；
(4)$x^2 y -6xy +9y$。
答案
16. 解:(1)原式=$(a+4b)(a-4b)$.
(2)原式=$3(a^2-2ab+b^2)=3(a-b)^2$.
(3)原式=$a(b^2-1)=a(b+1)(b-1)$.
(4)原式=$y(x^2-6x+9)=y(x-3)^2$.
(2)原式=$3(a^2-2ab+b^2)=3(a-b)^2$.
(3)原式=$a(b^2-1)=a(b+1)(b-1)$.
(4)原式=$y(x^2-6x+9)=y(x-3)^2$.
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤解题：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则优先提取公因式；第二步判断提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，符合则对应套用公式分解；第三步检查最终结果，确保每个因式都无法再分解。
各小题对应思路：(1)无公因式，直接符合平方差公式结构，可直接套用公式；(2)先提取公因式3，剩余部分符合完全平方公式特征；(3)先提取公因式a，剩余部分为平方差结构，需继续分解；(4)先提取公因式y，剩余部分符合完全平方公式特征。
【解析】
(1) 原式为两个平方项的差，套用平方差公式分解：
原式=$a^2-(4b)^2=(a+4b)(a-4b)$
(2) 先提取公因式3，再套用完全平方公式分解：
原式=$3(a^2-2ab+b^2)=3(a-b)^2$
(3) 先提取公因式a，再对剩余平方差结构继续分解：
原式=$a(b^2-1)=a(b+1)(b-1)$
(4) 先提取公因式y，再套用完全平方公式分解：
原式=$y(x^2-6x+9)=y(x-3)^2$
【答案】
(1)$(a+4b)(a-4b)$；(2)$3(a-b)^2$；(3)$a(b+1)(b-1)$；(4)$y(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意避免漏提公因式、分解不彻底的常见错误。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤解题：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则优先提取公因式；第二步判断提取公因式后的式子是否符合平方差公式或完全平方公式的结构特征，符合则对应套用公式分解；第三步检查最终结果，确保每个因式都无法再分解。
各小题对应思路：(1)无公因式，直接符合平方差公式结构，可直接套用公式；(2)先提取公因式3，剩余部分符合完全平方公式特征；(3)先提取公因式a，剩余部分为平方差结构，需继续分解；(4)先提取公因式y，剩余部分符合完全平方公式特征。
【解析】
(1) 原式为两个平方项的差，套用平方差公式分解：
原式=$a^2-(4b)^2=(a+4b)(a-4b)$
(2) 先提取公因式3，再套用完全平方公式分解：
原式=$3(a^2-2ab+b^2)=3(a-b)^2$
(3) 先提取公因式a，再对剩余平方差结构继续分解：
原式=$a(b^2-1)=a(b+1)(b-1)$
(4) 先提取公因式y，再套用完全平方公式分解：
原式=$y(x^2-6x+9)=y(x-3)^2$
【答案】
(1)$(a+4b)(a-4b)$；(2)$3(a-b)^2$；(3)$a(b+1)(b-1)$；(4)$y(x-3)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意避免漏提公因式、分解不彻底的常见错误。
【难度系数】
0.8
17.(合肥模拟)当$x＞0,y＞0$,且$x≠y$时，$x^2(x-y)+y^2(y-x)$的值（
A.总是为正
B.总是为负
C.可能为零
D.不能确定正负
A
）A.总是为正
B.总是为负
C.可能为零
D.不能确定正负
答案
17. A
解析
【分析】
解题时先观察代数式的结构，发现两项中含有互为相反数的因式$(x-y)$和$(y-x)$，首先将两个项的公因式统一，再通过提取公因式、公式法进行因式分解，将原式转化为几个因式乘积的形式，最后结合已知条件$x＞0$、$y＞0$、$x≠y$判断每个因式的符号，即可确定整个代数式的正负。
【解析】
先对原式化简变形：
$\begin{aligned}x^2(x-y)+y^2(y-x)&=x^2(x-y)-y^2(x-y)\\&=(x-y)(x^2-y^2)\\&=(x-y)(x-y)(x+y)\\&=(x-y)^2(x+y)\end{aligned}$
已知$x＞0$，$y＞0$，所以$x+y＞0$；又因为$x≠y$，所以$(x-y)^2＞0$（任意数的平方为非负数，两个不等的数的差的平方为正数）。
两个正数相乘结果为正，因此原式的值总是为正。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；平方差公式；偶次方的非负性
【点评】
本题考查代数式符号的判断，核心是利用因式分解将原式转化为易判断符号的因式乘积形式，解题时需注意结合已知条件分析每个因式的正负，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察代数式的结构，发现两项中含有互为相反数的因式$(x-y)$和$(y-x)$，首先将两个项的公因式统一，再通过提取公因式、公式法进行因式分解，将原式转化为几个因式乘积的形式，最后结合已知条件$x＞0$、$y＞0$、$x≠y$判断每个因式的符号，即可确定整个代数式的正负。
【解析】
先对原式化简变形：
$\begin{aligned}x^2(x-y)+y^2(y-x)&=x^2(x-y)-y^2(x-y)\\&=(x-y)(x^2-y^2)\\&=(x-y)(x-y)(x+y)\\&=(x-y)^2(x+y)\end{aligned}$
已知$x＞0$，$y＞0$，所以$x+y＞0$；又因为$x≠y$，所以$(x-y)^2＞0$（任意数的平方为非负数，两个不等的数的差的平方为正数）。
两个正数相乘结果为正，因此原式的值总是为正。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；平方差公式；偶次方的非负性
【点评】
本题考查代数式符号的判断，核心是利用因式分解将原式转化为易判断符号的因式乘积形式，解题时需注意结合已知条件分析每个因式的正负，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
18. 用简便方法计算：
(1) $505^2 × 7 - 495^2 × 7$；
(2) $3.672^2 + 6.328^2 + 6.328 × 7.344$。
(1) $505^2 × 7 - 495^2 × 7$；
(2) $3.672^2 + 6.328^2 + 6.328 × 7.344$。
答案
18. 解:(1)原式=$7×(505^2 - 495^2)=7×(505+495)×(505-495)=7×1000×10=70000$.
(2)原式=$3.672^2 + 6.328^2 + 2×6.328×3.672=(3.672+6.328)^2=10^2=100$.
(2)原式=$3.672^2 + 6.328^2 + 2×6.328×3.672=(3.672+6.328)^2=10^2=100$.
解析
【分析】
(1)观察第一小题的式子，两项都含有相同的因数7，可先提取公因式7，剩余部分为$505^2 - 495^2$，符合平方差公式的结构，利用平方差公式分解后再计算，可避免计算大数的平方，简化运算。
(2)观察第二小题的式子，先发现$7.344=2×3.672$，原式可变形为$a^2+2ab+b^2$的结构，符合完全平方和公式的特征，利用完全平方公式转化为两数和的平方再计算，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先提取公因式7，再运用平方差公式计算：
原式$=7×(505^2 - 495^2)$
$=7×(505+495)×(505-495)$
$=7×1000×10$
$=70000$
(2) 先将$7.344$改写为$2×3.672$，再运用完全平方和公式计算：
原式$=3.672^2 + 6.328^2 + 2×6.328×3.672$
$=(3.672+6.328)^2$
$=10^2$
$=100$
【答案】
(1) $70000$；(2) $100$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，解题核心是观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，将复杂的高次运算转化为简单的加减和低次运算，有效提高运算的正确率和速度。
【难度系数】
0.75
(1)观察第一小题的式子，两项都含有相同的因数7，可先提取公因式7，剩余部分为$505^2 - 495^2$，符合平方差公式的结构，利用平方差公式分解后再计算，可避免计算大数的平方，简化运算。
(2)观察第二小题的式子，先发现$7.344=2×3.672$，原式可变形为$a^2+2ab+b^2$的结构，符合完全平方和公式的特征，利用完全平方公式转化为两数和的平方再计算，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先提取公因式7，再运用平方差公式计算：
原式$=7×(505^2 - 495^2)$
$=7×(505+495)×(505-495)$
$=7×1000×10$
$=70000$
(2) 先将$7.344$改写为$2×3.672$，再运用完全平方和公式计算：
原式$=3.672^2 + 6.328^2 + 2×6.328×3.672$
$=(3.672+6.328)^2$
$=10^2$
$=100$
【答案】
(1) $70000$；(2) $100$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，解题核心是观察式子的结构特征，匹配对应的乘法公式，将复杂的高次运算转化为简单的加减和低次运算，有效提高运算的正确率和速度。
【难度系数】
0.75
19. (创新意识)(淮南模拟)我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法:例如:$x^2 - 2xy + y^2 - 4=(x^2 - 2xy + y^2)-4=(x-y)^2 -2^2=(x-y+2)(x-y-2)$.
②拆项法:例如:$x^2 +2x -3=x^2 +2x +1-4=(x+1)^2 -2^2=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
(1)仿照以上方法,按照要求因式分解:
①(分组分解法)$4x^2 +4x - y^2 +1$;
②(拆项法)$x^2 -4x -12$.
(2)当$a,b,c$满足$a^2 +b^2 +c^2 -6a -10b -8c +50=0$时,求$a,b,c$的值.
①分组分解法:例如:$x^2 - 2xy + y^2 - 4=(x^2 - 2xy + y^2)-4=(x-y)^2 -2^2=(x-y+2)(x-y-2)$.
②拆项法:例如:$x^2 +2x -3=x^2 +2x +1-4=(x+1)^2 -2^2=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
(1)仿照以上方法,按照要求因式分解:
①(分组分解法)$4x^2 +4x - y^2 +1$;
②(拆项法)$x^2 -4x -12$.
(2)当$a,b,c$满足$a^2 +b^2 +c^2 -6a -10b -8c +50=0$时,求$a,b,c$的值.
答案
19. 解:(1)①$4x^2+4x-y^2+1=4x^2+4x+1-y^2=(2x+1)^2-y^2=(2x+1+y)(2x+1-y)$.
②$x^2-4x-12=x^2-4x+4-16=(x-2)^2-4^2=(x-2+4)(x-2-4)=(x+2)(x-6)$.
(2)因为$a^2+b^2+c^2-6a-10b-8c+50=0$,
所以$a^2-6a+9+b^2-10b+25+c^2-8c+16=0$,
所以$(a-3)^2+(b-5)^2+(c-4)^2=0$.
因为$(a-3)^2≥0,(b-5)^2≥0,(c-4)^2≥0$,
所以$a-3=0,b-5=0,c-4=0$,
所以$a=3,b=5,c=4$.
②$x^2-4x-12=x^2-4x+4-16=(x-2)^2-4^2=(x-2+4)(x-2-4)=(x+2)(x-6)$.
(2)因为$a^2+b^2+c^2-6a-10b-8c+50=0$,
所以$a^2-6a+9+b^2-10b+25+c^2-8c+16=0$,
所以$(a-3)^2+(b-5)^2+(c-4)^2=0$.
因为$(a-3)^2≥0,(b-5)^2≥0,(c-4)^2≥0$,
所以$a-3=0,b-5=0,c-4=0$,
所以$a=3,b=5,c=4$.
解析
【分析】
(1)①用分组分解法因式分解时，先观察多项式的项的特征，将含有相同字母且能构成完全平方的项分为一组：这里4x²、4x、1可以凑成完全平方(2x+1)²，分组后原式转化为平方差的形式，再利用平方差公式分解即可；
②用拆项法因式分解时，针对二次项和一次项的系数，将常数项拆分成两项，使得前三项构成完全平方式：x²-4x要凑完全平方需要加4，因此将-12拆为+4-16，凑完完全平方式后再用平方差公式分解；
(2)求解含多个未知数的等式求未知数的值，通常用配方思想：将等式左边的常数项50拆分为9、25、16三个数，分别与a²-6a、b²-10b、c²-8c配对，构成三个完全平方式，根据偶次幂的非负性，几个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，即可求出a、b、c的值。
【解析】
(1)①$4x^2+4x-y^2+1$
$=(4x^2+4x+1)-y^2$
$=(2x+1)^2-y^2$
$=(2x+1+y)(2x+1-y)$
②$x^2-4x-12$
$=x^2-4x+4-16$
$=(x-2)^2-4^2$
$=(x-2+4)(x-2-4)$
$=(x+2)(x-6)$
(2)已知$a^2 +b^2 +c^2 -6a -10b -8c +50=0$，
将等式左边拆分重组得：
$a^2-6a+9+b^2-10b+25+c^2-8c+16=0$，
即$(a-3)^2+(b-5)^2+(c-4)^2=0$，
∵ 偶次幂具有非负性，即$(a-3)^2≥0$，$(b-5)^2≥0$，$(c-4)^2≥0$，
∴ 只有当三个平方式都为0时等式成立，即：
$a-3=0$，$b-5=0$，$c-4=0$，
解得$a=3$，$b=5$，$c=4$。
【答案】
(1)①$(2x+1+y)(2x+1-y)$；②$(x+2)(x-6)$
(2)$a=3$，$b=5$，$c=4$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题考查因式分解的拓展方法以及配方思想的应用，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，灵活运用拆项、分组的方法对多项式变形，同时会利用非负数的性质求解未知数，能够较好地锻炼观察能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)①用分组分解法因式分解时，先观察多项式的项的特征，将含有相同字母且能构成完全平方的项分为一组：这里4x²、4x、1可以凑成完全平方(2x+1)²，分组后原式转化为平方差的形式，再利用平方差公式分解即可；
②用拆项法因式分解时，针对二次项和一次项的系数，将常数项拆分成两项，使得前三项构成完全平方式：x²-4x要凑完全平方需要加4，因此将-12拆为+4-16，凑完完全平方式后再用平方差公式分解；
(2)求解含多个未知数的等式求未知数的值，通常用配方思想：将等式左边的常数项50拆分为9、25、16三个数，分别与a²-6a、b²-10b、c²-8c配对，构成三个完全平方式，根据偶次幂的非负性，几个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，即可求出a、b、c的值。
【解析】
(1)①$4x^2+4x-y^2+1$
$=(4x^2+4x+1)-y^2$
$=(2x+1)^2-y^2$
$=(2x+1+y)(2x+1-y)$
②$x^2-4x-12$
$=x^2-4x+4-16$
$=(x-2)^2-4^2$
$=(x-2+4)(x-2-4)$
$=(x+2)(x-6)$
(2)已知$a^2 +b^2 +c^2 -6a -10b -8c +50=0$，
将等式左边拆分重组得：
$a^2-6a+9+b^2-10b+25+c^2-8c+16=0$，
即$(a-3)^2+(b-5)^2+(c-4)^2=0$，
∵ 偶次幂具有非负性，即$(a-3)^2≥0$，$(b-5)^2≥0$，$(c-4)^2≥0$，
∴ 只有当三个平方式都为0时等式成立，即：
$a-3=0$，$b-5=0$，$c-4=0$，
解得$a=3$，$b=5$，$c=4$。
【答案】
(1)①$(2x+1+y)(2x+1-y)$；②$(x+2)(x-6)$
(2)$a=3$，$b=5$，$c=4$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题考查因式分解的拓展方法以及配方思想的应用，需要熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，灵活运用拆项、分组的方法对多项式变形，同时会利用非负数的性质求解未知数，能够较好地锻炼观察能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
