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5.若$(1+\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{2x}{x^2-2x+1}$的计算结果为正整数，则对$x$的取值描述最准确的是(
A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数
B
).A.$x$为自然数
B.$x$为大于1的奇数
C.$x$为大于0的偶数
D.$x$为正整数
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先对给定的分式混合运算式进行化简，再结合分式有意义的条件确定x的取值限制，最后根据计算结果为正整数的要求推导x的取值特征，对应选项选出最准确的描述。解题时要注意：①先算括号内的加法，再将除法转化为乘法计算；②必须保证原式中所有分母、除数不为0，避免出现无意义的情况。
【解析】
第一步：化简原式
先计算括号内的加法，通分得：
$1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$
将除法转化为乘法，同时对二次式因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，因此：
原式$=\dfrac{x}{x-1} × \dfrac{(x-1)^2}{2x}$
约分（约掉公因式$x$和$x-1$）得：
原式$=\dfrac{x-1}{2}$
第二步：确定分式有意义的条件
原式中分母和除数不能为0，因此：
$x-1≠0$，$x^2-2x+1=(x-1)^2≠0$，$2x≠0$
解得：$x≠0$且$x≠1$
第三步：结合结果为正整数分析x的取值
要求$\dfrac{x-1}{2}$是正整数，即$x-1$是大于0的偶数，因此$x$是大于1的奇数。
对应选项，B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，整数解分析
【点评】
本题易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接根据化简结果判断x的取值，导致错选。解题时需先确定x的允许取值范围，再结合结果的要求推导x的特征。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要先对给定的分式混合运算式进行化简，再结合分式有意义的条件确定x的取值限制，最后根据计算结果为正整数的要求推导x的取值特征，对应选项选出最准确的描述。解题时要注意：①先算括号内的加法，再将除法转化为乘法计算；②必须保证原式中所有分母、除数不为0，避免出现无意义的情况。
【解析】
第一步：化简原式
先计算括号内的加法，通分得：
$1+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x-1}$
将除法转化为乘法，同时对二次式因式分解：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，因此：
原式$=\dfrac{x}{x-1} × \dfrac{(x-1)^2}{2x}$
约分（约掉公因式$x$和$x-1$）得：
原式$=\dfrac{x-1}{2}$
第二步：确定分式有意义的条件
原式中分母和除数不能为0，因此：
$x-1≠0$，$x^2-2x+1=(x-1)^2≠0$，$2x≠0$
解得：$x≠0$且$x≠1$
第三步：结合结果为正整数分析x的取值
要求$\dfrac{x-1}{2}$是正整数，即$x-1$是大于0的偶数，因此$x$是大于1的奇数。
对应选项，B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，整数解分析
【点评】
本题易错点是容易忽略分式有意义的限制条件，直接根据化简结果判断x的取值，导致错选。解题时需先确定x的允许取值范围，再结合结果的要求推导x的特征。
【难度系数】
0.7
6. 先化简，再求值：$(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}$，其中$x = 3$。
答案
解 $(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}$
$=\frac{x - 2 + 3}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}$
$=\frac{x + 1}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1} = x - 2.$
当$x=3$时,原式$=3-2=1.$
$=\frac{x - 2 + 3}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}$
$=\frac{x + 1}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1} = x - 2.$
当$x=3$时,原式$=3-2=1.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先计算括号内的分式加法，将整数1通分转化为分母为$x-2$的分式，和$\frac{3}{x-2}$合并；接着将分式除法转化为乘法，同时对多项式$x^2-4x+4$用完全平方公式因式分解；最后对分式约分得到最简结果，代入$x=3$计算最终数值即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}&=\frac{x - 2 + 3}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=\frac{x + 1}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=x - 2\end{aligned}$
当$x=3$时，原式$=3-2=1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式运算的基本规则，计算时需遵循先括号、后乘除的运算顺序，除法运算要转化为乘法后结合因式分解约分，能有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：首先计算括号内的分式加法，将整数1通分转化为分母为$x-2$的分式，和$\frac{3}{x-2}$合并；接着将分式除法转化为乘法，同时对多项式$x^2-4x+4$用完全平方公式因式分解；最后对分式约分得到最简结果，代入$x=3$计算最终数值即可。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(1 + \frac{3}{x - 2}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 4x + 4}&=\frac{x - 2 + 3}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=\frac{x + 1}{x - 2} · \frac{(x - 2)^2}{x + 1}\\&=x - 2\end{aligned}$
当$x=3$时，原式$=3-2=1$
【答案】
1
【知识点】
分式混合运算，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式运算的基本规则，计算时需遵循先括号、后乘除的运算顺序，除法运算要转化为乘法后结合因式分解约分，能有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
7.在一次行程中，张叔叔和王叔叔同时加了两次油，且两次加油时汽油的价格分别为x元/升和y元/升(x＞0,y＞0,x≠y)。张叔叔两次都加了相同体积(单位:升)的油，王叔叔两次都加了相同金额(单位:元)的油，假设每次加油都未加满油箱，请判断谁加油的平均单价更低，并利用学过的数学知识说明理由。
答案
解 王叔叔加油的平均单价更低. 理由如下：
根据题意,得张叔叔加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$(元/升),王叔叔加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\frac{x+y}{2} - \frac{2xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$
因为$x＞0,y＞0,x≠y$,
所以$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$,
即$\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}.$ 所以王叔叔加油的平均单价更低.
根据题意,得张叔叔加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$(元/升),王叔叔加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$(元/升).
$\frac{x+y}{2} - \frac{2xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}.$
因为$x＞0,y＞0,x≠y$,
所以$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$,
即$\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}.$ 所以王叔叔加油的平均单价更低.
解析
【分析】
要判断谁的平均单价更低，首先明确平均单价的核心计算公式：平均单价=加油总金额÷加油总体积。第一步先分别推导两人的平均单价：张叔叔每次加相同体积的油，可设每次加a升，用总金额除以总升数约掉参数a即可得到他的平均单价；王叔叔每次加相同金额的油，可设每次加b元，同理用总金额除以总升数约掉参数b得到他的平均单价。第二步用作差法比较两个平均单价的大小，通过分式通分、因式分解化简差值，结合x、y都是正数且不相等的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
解：王叔叔加油的平均单价更低，理由如下：
根据题意，张叔叔两次加相同体积的油，平均单价为：
$\frac{x+y}{2}$（元/升）
王叔叔两次加相同金额的油，平均单价为：
$\frac{2xy}{x+y}$（元/升）
用作差法比较两个单价的大小：
$\frac{x+y}{2} - \frac{2xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$
∵$x＞0,y＞0,x≠y$，
∴$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，即$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，
∴$\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}$，因此王叔叔加油的平均单价更低。
【答案】
王叔叔加油的平均单价更低
【知识点】
分式混合运算，作差法比较大小，平均数计算
【点评】
本题结合生活中的加油场景命题，既考查了分式运算、代数式大小比较等核心知识，又引导学生用数学方法解决实际消费决策问题，有利于提升数学应用意识。
【难度系数】
0.6
要判断谁的平均单价更低，首先明确平均单价的核心计算公式：平均单价=加油总金额÷加油总体积。第一步先分别推导两人的平均单价：张叔叔每次加相同体积的油，可设每次加a升，用总金额除以总升数约掉参数a即可得到他的平均单价；王叔叔每次加相同金额的油，可设每次加b元，同理用总金额除以总升数约掉参数b得到他的平均单价。第二步用作差法比较两个平均单价的大小，通过分式通分、因式分解化简差值，结合x、y都是正数且不相等的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
解：王叔叔加油的平均单价更低，理由如下：
根据题意，张叔叔两次加相同体积的油，平均单价为：
$\frac{x+y}{2}$（元/升）
王叔叔两次加相同金额的油，平均单价为：
$\frac{2xy}{x+y}$（元/升）
用作差法比较两个单价的大小：
$\frac{x+y}{2} - \frac{2xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{2(x+y)} = \frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$
∵$x＞0,y＞0,x≠y$，
∴$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，即$\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}＞0$，
∴$\frac{x+y}{2}＞\frac{2xy}{x+y}$，因此王叔叔加油的平均单价更低。
【答案】
王叔叔加油的平均单价更低
【知识点】
分式混合运算，作差法比较大小，平均数计算
【点评】
本题结合生活中的加油场景命题，既考查了分式运算、代数式大小比较等核心知识，又引导学生用数学方法解决实际消费决策问题，有利于提升数学应用意识。
【难度系数】
0.6
