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1. 化简$(1-\dfrac{1}{m})·\dfrac{1}{m-1}$的结果是(
A.$\dfrac{1}{m-1}$
B.$m$
C.$m-1$
D.$\dfrac{1}{m}$
D
).A.$\dfrac{1}{m-1}$
B.$m$
C.$m-1$
D.$\dfrac{1}{m}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道分式混合运算的题目，按照运算优先级，先计算括号内的减法，再计算括号外的乘法。首先处理括号内的$1-\dfrac{1}{m}$，将1通分为$\dfrac{m}{m}$，按照同分母分式减法法则计算得到$\dfrac{m-1}{m}$；再将该结果与$\dfrac{1}{m-1}$相乘，观察到分子分母有公因式$m-1$，约分后即可得到最终结果，对应正确选项。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序计算：
第一步，计算括号内的分式减法：
$1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-1}{m}$（$m≠0$）
第二步，计算分式乘法：
原式$=\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}$
约去分子分母的公因式$m-1$（$m≠1$），可得：
原式$=\dfrac{1}{m}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式混合运算的顺序和通分、约分的基本方法，运算时需注意隐含的分式有意义的条件，避免忽略分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
这是一道分式混合运算的题目，按照运算优先级，先计算括号内的减法，再计算括号外的乘法。首先处理括号内的$1-\dfrac{1}{m}$，将1通分为$\dfrac{m}{m}$，按照同分母分式减法法则计算得到$\dfrac{m-1}{m}$；再将该结果与$\dfrac{1}{m-1}$相乘，观察到分子分母有公因式$m-1$，约分后即可得到最终结果，对应正确选项。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序计算：
第一步，计算括号内的分式减法：
$1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{m}-\dfrac{1}{m}=\dfrac{m-1}{m}$（$m≠0$）
第二步，计算分式乘法：
原式$=\dfrac{m-1}{m}·\dfrac{1}{m-1}$
约去分子分母的公因式$m-1$（$m≠1$），可得：
原式$=\dfrac{1}{m}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查分式混合运算的顺序和通分、约分的基本方法，运算时需注意隐含的分式有意义的条件，避免忽略分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
2. 为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式$\frac{a^2}{a-2}$和$\frac{4a-4}{2-a}$中间加上“+”“−”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为$a-2$，则所加的运算符号为(
A.+
B.−
C.×
D.÷
A
).A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路是将四个运算符号分别代入两个分式之间进行运算，对比化简结果是否为$a-2$即可。运算时注意到两个分式的分母$a-2$和$2-a$互为相反数，可先统一分母，再结合因式分解、约分完成化简。
【解析】
我们将四个运算符号依次代入计算：
1. 选项A（+）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} + \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2} - \frac{4a-4}{a-2}\\&=\frac{a^2 - (4a - 4)}{a-2}\\&=\frac{a^2 -4a +4}{a-2}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-2}\\&=a-2 \quad (a≠2)\end{aligned}$
结果符合要求，验证其余选项排除：
2. 选项B（-）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} - \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2} + \frac{4a-4}{a-2}\\&=\frac{a^2 +4a -4}{a-2} ≠ a-2\end{aligned}$
3. 选项C（×）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} × \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2 · 4(a-1)}{-(a-2)^2} ≠ a-2\end{aligned}$
4. 选项D（÷）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} ÷ \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2} × \frac{2-a}{4(a-1)}\\&=-\frac{a^2}{4(a-1)} ≠ a-2\end{aligned}$
因此所加运算符号为+。
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式四则运算的应用，解题的关键是利用互为相反数的分母统一运算形式，再结合因式分解、约分完成化简，运算时要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题思路是将四个运算符号分别代入两个分式之间进行运算，对比化简结果是否为$a-2$即可。运算时注意到两个分式的分母$a-2$和$2-a$互为相反数，可先统一分母，再结合因式分解、约分完成化简。
【解析】
我们将四个运算符号依次代入计算：
1. 选项A（+）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} + \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2} - \frac{4a-4}{a-2}\\&=\frac{a^2 - (4a - 4)}{a-2}\\&=\frac{a^2 -4a +4}{a-2}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-2}\\&=a-2 \quad (a≠2)\end{aligned}$
结果符合要求，验证其余选项排除：
2. 选项B（-）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} - \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2} + \frac{4a-4}{a-2}\\&=\frac{a^2 +4a -4}{a-2} ≠ a-2\end{aligned}$
3. 选项C（×）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} × \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2 · 4(a-1)}{-(a-2)^2} ≠ a-2\end{aligned}$
4. 选项D（÷）：
$\begin{aligned}\frac{a^2}{a-2} ÷ \frac{4a-4}{2-a}&=\frac{a^2}{a-2} × \frac{2-a}{4(a-1)}\\&=-\frac{a^2}{4(a-1)} ≠ a-2\end{aligned}$
因此所加运算符号为+。
【答案】
A
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题考查分式四则运算的应用，解题的关键是利用互为相反数的分母统一运算形式，再结合因式分解、约分完成化简，运算时要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 计算：$(\dfrac{1}{b})^3 · (ab)^2 - (\dfrac{a}{b})^3 ÷ \dfrac{a}{b^2} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
3. 0
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，需按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算。首先分别计算两个运算项中的乘方，再依次计算乘法和除法，最后将两个化简后的结果相减即可，计算时注意正确运用幂的运算法则和分式约分规则。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序计算：
1. 先计算乘方：
$(\dfrac{1}{b})^3=\dfrac{1}{b^3}$，$(ab)^2=a^2b^2$，$(\dfrac{a}{b})^3=\dfrac{a^3}{b^3}$
原式可化为：$\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 - \dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2}$
2. 再计算乘除：
左侧乘法：$\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 = \dfrac{a^2b^2}{b^3} = \dfrac{a^2}{b}$
右侧除法（除以分式等于乘其倒数）：$\dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2} = \dfrac{a^3}{b^3} × \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a^3b^2}{ab^3} = \dfrac{a^2}{b}$
3. 最后计算减法：
$\dfrac{a^2}{b} - \dfrac{a^2}{b} = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
分式混合运算，幂的运算，分式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式运算的顺序和基础运算法则，熟练掌握幂的运算规则、分式乘除的约分方法就能快速求解，计算时要注意避免除法变乘法时出错。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，需按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算。首先分别计算两个运算项中的乘方，再依次计算乘法和除法，最后将两个化简后的结果相减即可，计算时注意正确运用幂的运算法则和分式约分规则。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序计算：
1. 先计算乘方：
$(\dfrac{1}{b})^3=\dfrac{1}{b^3}$，$(ab)^2=a^2b^2$，$(\dfrac{a}{b})^3=\dfrac{a^3}{b^3}$
原式可化为：$\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 - \dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2}$
2. 再计算乘除：
左侧乘法：$\dfrac{1}{b^3} · a^2b^2 = \dfrac{a^2b^2}{b^3} = \dfrac{a^2}{b}$
右侧除法（除以分式等于乘其倒数）：$\dfrac{a^3}{b^3} ÷ \dfrac{a}{b^2} = \dfrac{a^3}{b^3} × \dfrac{b^2}{a} = \dfrac{a^3b^2}{ab^3} = \dfrac{a^2}{b}$
3. 最后计算减法：
$\dfrac{a^2}{b} - \dfrac{a^2}{b} = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
分式混合运算，幂的运算，分式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式运算的顺序和基础运算法则，熟练掌握幂的运算规则、分式乘除的约分方法就能快速求解，计算时要注意避免除法变乘法时出错。
【难度系数】
0.7
4. 计算:
(1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$;
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$.
(1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$;
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$.
答案
解 (1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1.$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
$=\frac{x^2 - 2x + 1}{x} · \frac{x}{x^2 - 1}$
$=\frac{(x - 1)^2}{x} · \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x - 1}{x + 1}.$
$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1.$
(2)$(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}$
$=\frac{x^2 - 2x + 1}{x} · \frac{x}{x^2 - 1}$
$=\frac{(x - 1)^2}{x} · \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x - 1}{x + 1}.$
解析
【分析】
这两道题属于分式混合运算的基础题型，解题时需遵循分式运算的优先级：先算乘除，后算加减，有括号的先计算括号内的部分；运算中遇到多项式优先考虑因式分解，通过约分简化计算过程，最终结果需化为最简分式或整式。
第(1)题先计算乘法部分，先对$a^2-1$因式分解，约分后再计算加法即可；第(2)题先计算括号内的分式减法，通分合并后将除法转化为乘法，再因式分解约分得到最简结果。
【解析】
(1) 先处理乘法运算，对$a^2-1$利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}&=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}\\&=\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}\\&=\frac{a-1+1}{a}\\&=\frac{a}{a}\\&=1\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，将$x$通分后合并，再将除法转化为乘以除数的倒数，对分子分母因式分解后约分：
$\begin{aligned}(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}&=\frac{x^2 - 2x + 1}{x} · \frac{x}{x^2 - 1}\\&=\frac{(x - 1)^2}{x} · \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\\&=\frac{x - 1}{x + 1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\dfrac{x-1}{x+1}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规考查题型，核心是掌握分式运算的顺序和约分规则，计算时需注意通分、因式分解的正确性，避免因漏看符号或因式分解错误失分，熟练掌握此类题型能为后续分式相关内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
这两道题属于分式混合运算的基础题型，解题时需遵循分式运算的优先级：先算乘除，后算加减，有括号的先计算括号内的部分；运算中遇到多项式优先考虑因式分解，通过约分简化计算过程，最终结果需化为最简分式或整式。
第(1)题先计算乘法部分，先对$a^2-1$因式分解，约分后再计算加法即可；第(2)题先计算括号内的分式减法，通分合并后将除法转化为乘法，再因式分解约分得到最简结果。
【解析】
(1) 先处理乘法运算，对$a^2-1$利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}&=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}\\&=\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}\\&=\frac{a-1+1}{a}\\&=\frac{a}{a}\\&=1\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，将$x$通分后合并，再将除法转化为乘以除数的倒数，对分子分母因式分解后约分：
$\begin{aligned}(x - \frac{2x -1}{x}) ÷ \frac{x^2 -1}{x}&=\frac{x^2 - 2x + 1}{x} · \frac{x}{x^2 - 1}\\&=\frac{(x - 1)^2}{x} · \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\\&=\frac{x - 1}{x + 1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\dfrac{x-1}{x+1}}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规考查题型，核心是掌握分式运算的顺序和约分规则，计算时需注意通分、因式分解的正确性，避免因漏看符号或因式分解错误失分，熟练掌握此类题型能为后续分式相关内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
