登录
1. 负整数指数幂
$a^{-n}=\_\_\_\_\_\_(a≠0,n是正整数).$
2. 整数指数幂的运算性质
(1)$a^m· a^n=$$(m,n是整数);$
(2)$(a^m)^n=$$(m,n是整数);$
(3)$(ab)^n=$$(n是整数).$
$a^{-n}=\_\_\_\_\_\_(a≠0,n是正整数).$
2. 整数指数幂的运算性质
(1)$a^m· a^n=$$(m,n是整数);$
(2)$(a^m)^n=$$(m,n是整数);$
(3)$(ab)^n=$$(n是整数).$
答案
1. $\frac{1}{a^{n}}$
2. (1) $a^{m+n}$
(2) $a^{mn}$
(3) $a^{n}b^{n}$
2. (1) $a^{m+n}$
(2) $a^{mn}$
(3) $a^{n}b^{n}$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的基础定义与运算性质，解题思路如下：1. 回忆负整数指数幂的规定：为了让幂的运算在指数为负整数时也成立，我们规定非零数的负正整数次幂等于其同底数正整数次幂的倒数，注意前提是底数不为0，避免分母为0无意义。2. 回忆整数指数幂的运算性质：正整数指数幂的运算性质可以拓展到全体整数范围，原来的同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方法则在指数为整数时仍然适用，直接对应法则填写即可。
【解析】
1. 根据负整数指数幂的定义：当$a≠0$，$n$是正整数时，$a^{-n}$表示$a^n$的倒数，即$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
2. 整数指数幂沿用正整数指数幂的运算性质：
(1) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^m· a^n=a^{m+n}$（$m,n$是整数）；
(2) 幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$是整数）；
(3) 积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，因此$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是整数）。
【答案】
1. $\frac{1}{a^{n}}$
2. (1) $a^{m+n}$
(2) $a^{mn}$
(3) $a^{n}b^{n}$
【知识点】
负整数指数幂的定义；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是对整数指数幂基础知识点的直接考查，属于识记类基础题，掌握相关定义和运算法则即可快速准确作答，是后续进行整数指数幂相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查整数指数幂的基础定义与运算性质，解题思路如下：1. 回忆负整数指数幂的规定：为了让幂的运算在指数为负整数时也成立，我们规定非零数的负正整数次幂等于其同底数正整数次幂的倒数，注意前提是底数不为0，避免分母为0无意义。2. 回忆整数指数幂的运算性质：正整数指数幂的运算性质可以拓展到全体整数范围，原来的同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方法则在指数为整数时仍然适用，直接对应法则填写即可。
【解析】
1. 根据负整数指数幂的定义：当$a≠0$，$n$是正整数时，$a^{-n}$表示$a^n$的倒数，即$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
2. 整数指数幂沿用正整数指数幂的运算性质：
(1) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^m· a^n=a^{m+n}$（$m,n$是整数）；
(2) 幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$是整数）；
(3) 积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将所得幂相乘，因此$(ab)^n=a^nb^n$（$n$是整数）。
【答案】
1. $\frac{1}{a^{n}}$
2. (1) $a^{m+n}$
(2) $a^{mn}$
(3) $a^{n}b^{n}$
【知识点】
负整数指数幂的定义；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是对整数指数幂基础知识点的直接考查，属于识记类基础题，掌握相关定义和运算法则即可快速准确作答，是后续进行整数指数幂相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
1. 负整数指数幂
[典例1]已知$a=-0.2,b=-2^{-1},c=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，则$a,b,c$的大小关系是(
A.$a＜b＜c$
B.$b＜c＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜a＜c$
[典例1]已知$a=-0.2,b=-2^{-1},c=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，则$a,b,c$的大小关系是(
D
).A.$a＜b＜c$
B.$b＜c＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜a＜c$
答案
D
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据负整数指数幂的运算法则，分别求出b、c的具体数值，再结合已知的a的值，按照有理数大小比较的规则排序即可。解题时要注意区分负号的位置，避免运算符号出错。
【解析】
第一步：分别计算各数的值
1. 已知$a = -0.2$；
2. 计算$b$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}=0.5$，因此$b=-2^{-1}=-0.5$；
3. 计算$c$：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$。
第二步：比较大小
正数大于所有负数，因此$c=4$是最大的数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，$|-0.5|=0.5$，$|-0.2|=0.2$，因为$0.5＞0.2$，所以$-0.5 ＜ -0.2$，即$b ＜ a$。
综上，三个数的大小关系为$b ＜ a ＜ c$。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题是负整数指数幂的基础应用题型，解题核心是正确运用负整数指数幂的运算法则求出未知项的值，运算时要特别注意底数的符号、负号的位置，避免因符号判断错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先需要根据负整数指数幂的运算法则，分别求出b、c的具体数值，再结合已知的a的值，按照有理数大小比较的规则排序即可。解题时要注意区分负号的位置，避免运算符号出错。
【解析】
第一步：分别计算各数的值
1. 已知$a = -0.2$；
2. 计算$b$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$，可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}=0.5$，因此$b=-2^{-1}=-0.5$；
3. 计算$c$：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$。
第二步：比较大小
正数大于所有负数，因此$c=4$是最大的数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，$|-0.5|=0.5$，$|-0.2|=0.2$，因为$0.5＞0.2$，所以$-0.5 ＜ -0.2$，即$b ＜ a$。
综上，三个数的大小关系为$b ＜ a ＜ c$。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题是负整数指数幂的基础应用题型，解题核心是正确运用负整数指数幂的运算法则求出未知项的值，运算时要特别注意底数的符号、负号的位置，避免因符号判断错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
[举一反三] $-4^{-2}$ 等于(
A.8
B.$-16$
C.$\frac{1}{16}$
D.$-\frac{1}{16}$
D
).A.8
B.$-16$
C.$\frac{1}{16}$
D.$-\frac{1}{16}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确运算优先级，乘方运算的优先级高于正负号，因此本题中幂运算的底数是4而非-4；再结合负整数指数幂的运算规则计算$4^{-2}$，最后添加负号即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），且乘方运算优先级高于符号运算：
第一步：计算$4^{-2}$，$4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$
第二步：添加前面的负号，可得$-4^{-2}=-\frac{1}{16}$
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算、有理数运算顺序
【点评】
本题属于负整数指数幂的基础运算题，易错点是混淆幂运算的底数，误将-4作为底数计算，或是记错负指数幂的运算规则，解题时需先明确底数，再按顺序计算即可避免错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确运算优先级，乘方运算的优先级高于正负号，因此本题中幂运算的底数是4而非-4；再结合负整数指数幂的运算规则计算$4^{-2}$，最后添加负号即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），且乘方运算优先级高于符号运算：
第一步：计算$4^{-2}$，$4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$
第二步：添加前面的负号，可得$-4^{-2}=-\frac{1}{16}$
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算、有理数运算顺序
【点评】
本题属于负整数指数幂的基础运算题，易错点是混淆幂运算的底数，误将-4作为底数计算，或是记错负指数幂的运算规则，解题时需先明确底数，再按顺序计算即可避免错误。
【难度系数】
0.7
2. 整数指数幂的计算
[典例2]计算：
(1)$(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2$；
(2)$(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$。
[典例2]计算：
(1)$(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2$；
(2)$(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$。
答案
解：
(1) 原式$=3^{-2}x^{-4}y^{-4}z^{2} · 5^{2}x^{2}y^{-4}z^{6}$
$=\frac{1}{9} × 25 · x^{-4+2} · y^{-4-4} · z^{2+6}$
$=\frac{25}{9}x^{-2}y^{-8}z^{8}$
$=\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$
(2) 原式$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · 2^{-4}x^{-4}y^{-4}z^{-4} ÷ (y^{-2}z^{-6})$
$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · \frac{1}{16}x^{-4}y^{-4}z^{-4} · y^{2}z^{6}$
$=(16 × \frac{1}{16}) · x^{4-4} · y^{2-4+2} · z^{-2-4+6}$
$=x^{0}y^{0}z^{0}$
$=1$
(1) 原式$=3^{-2}x^{-4}y^{-4}z^{2} · 5^{2}x^{2}y^{-4}z^{6}$
$=\frac{1}{9} × 25 · x^{-4+2} · y^{-4-4} · z^{2+6}$
$=\frac{25}{9}x^{-2}y^{-8}z^{8}$
$=\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$
(2) 原式$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · 2^{-4}x^{-4}y^{-4}z^{-4} ÷ (y^{-2}z^{-6})$
$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · \frac{1}{16}x^{-4}y^{-4}z^{-4} · y^{2}z^{6}$
$=(16 × \frac{1}{16}) · x^{4-4} · y^{2-4+2} · z^{-2-4+6}$
$=x^{0}y^{0}z^{0}$
$=1$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的混合运算，解题思路如下：①先利用积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为整数），对每个括号内的因式分别乘方，计算时注意负指数幂的转换规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；②再根据同底数幂的乘、除法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对同底数幂进行合并计算；③最后将结果化为仅含正整数指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先根据积的乘方法则展开：
原式$=3^{-2}x^{-4}y^{-4}z^{2} · 5^{2}x^{2}y^{-4}z^{6}$
再计算系数、合并同底数幂：
$=\frac{1}{9} × 25 · x^{-4+2} · y^{-4-4} · z^{2+6}$
$=\frac{25}{9}x^{-2}y^{-8}z^{8}$
将负指数化为正指数：
$=\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$
(2) 先根据积的乘方法则展开：
原式$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · 2^{-4}x^{-4}y^{-4}z^{-4} ÷ (y^{-2}z^{-6})$
将负指数、除法转换为乘法形式：
$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · \frac{1}{16}x^{-4}y^{-4}z^{-4} · y^{2}z^{6}$
合并系数、同底数幂：
$=(16 × \frac{1}{16}) · x^{4-4} · y^{2-4+2} · z^{-2-4+6}$
$=x^{0}y^{0}z^{0}$
根据非零数的0次幂等于1，得：
$=1$
【答案】
(1)$\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$；(2)$1$
【知识点】
整数指数幂运算，积的乘方，同底数幂乘除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题的核心是准确掌握各类幂运算的法则，尤其要注意运算顺序为先乘方、再乘除，计算过程中要格外留意指数的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的混合运算，解题思路如下：①先利用积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（n为整数），对每个括号内的因式分别乘方，计算时注意负指数幂的转换规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；②再根据同底数幂的乘、除法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对同底数幂进行合并计算；③最后将结果化为仅含正整数指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先根据积的乘方法则展开：
原式$=3^{-2}x^{-4}y^{-4}z^{2} · 5^{2}x^{2}y^{-4}z^{6}$
再计算系数、合并同底数幂：
$=\frac{1}{9} × 25 · x^{-4+2} · y^{-4-4} · z^{2+6}$
$=\frac{25}{9}x^{-2}y^{-8}z^{8}$
将负指数化为正指数：
$=\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$
(2) 先根据积的乘方法则展开：
原式$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · 2^{-4}x^{-4}y^{-4}z^{-4} ÷ (y^{-2}z^{-6})$
将负指数、除法转换为乘法形式：
$=16x^{4}y^{2}z^{-2} · \frac{1}{16}x^{-4}y^{-4}z^{-4} · y^{2}z^{6}$
合并系数、同底数幂：
$=(16 × \frac{1}{16}) · x^{4-4} · y^{2-4+2} · z^{-2-4+6}$
$=x^{0}y^{0}z^{0}$
根据非零数的0次幂等于1，得：
$=1$
【答案】
(1)$\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$；(2)$1$
【知识点】
整数指数幂运算，积的乘方，同底数幂乘除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，解题的核心是准确掌握各类幂运算的法则，尤其要注意运算顺序为先乘方、再乘除，计算过程中要格外留意指数的符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
[举一反三]计算：
(1)$(3^{-1}x^{3}y^{-2})^{-2}· (x^{-3}y^{2})^{-3}$；
(2)$6x^{2}yz÷ (-2xy^{-2}z^{-1})$。
典例解析
典例1
答案D
解析 $a=-0.2, b=-2^{-1}=-\frac{1}{2}=-0.5, c=(-\frac{1}{2})^{-2}=4$，
$\because -0.5＜-0.2＜4, \therefore b＜a＜c$，故选D。
典例2
解 (1)$(3x^{2}y^{2}z^{-1})^{-2}· (5xy^{-2}z^{3})^{2}=$
$(\frac{3x^{2}y^{2}}{z})^{-2}· (\frac{5xz^{3}}{y^{2}})^{2}=\frac{z^{2}}{9x^{4}y^{4}}· \frac{25x^{2}z^{6}}{y^{4}}=\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$。
(2)$(4x^{2}yz^{-1})^{2}· (2xyz)^{-4}÷ (yz^{3})^{-2}$
$=\frac{16x^{4}y^{2}}{z^{2}}· \frac{1}{16x^{4}y^{4}z^{4}}÷ \frac{1}{y^{2}z^{6}}$
$=\frac{1}{z^{6}y^{2}}· y^{2}z^{6}=1$。
(1)$(3^{-1}x^{3}y^{-2})^{-2}· (x^{-3}y^{2})^{-3}$；
(2)$6x^{2}yz÷ (-2xy^{-2}z^{-1})$。
典例解析
典例1
答案D
解析 $a=-0.2, b=-2^{-1}=-\frac{1}{2}=-0.5, c=(-\frac{1}{2})^{-2}=4$，
$\because -0.5＜-0.2＜4, \therefore b＜a＜c$，故选D。
典例2
解 (1)$(3x^{2}y^{2}z^{-1})^{-2}· (5xy^{-2}z^{3})^{2}=$
$(\frac{3x^{2}y^{2}}{z})^{-2}· (\frac{5xz^{3}}{y^{2}})^{2}=\frac{z^{2}}{9x^{4}y^{4}}· \frac{25x^{2}z^{6}}{y^{4}}=\frac{25z^{8}}{9x^{2}y^{8}}$。
(2)$(4x^{2}yz^{-1})^{2}· (2xyz)^{-4}÷ (yz^{3})^{-2}$
$=\frac{16x^{4}y^{2}}{z^{2}}· \frac{1}{16x^{4}y^{4}z^{4}}÷ \frac{1}{y^{2}z^{6}}$
$=\frac{1}{z^{6}y^{2}}· y^{2}z^{6}=1$。
答案
解 (1)$原式=(\dfrac{x^{3}}{3y^{2}})^{-2} · (\dfrac{y^{2}}{x^{3}})^{-3}$
$=\dfrac{9y^{4}}{x^{6}} · \dfrac{x^{9}}{y^{6}}$
$=\dfrac{9x^{3}}{y^{2}}.$
(2)$原式=6x^{2}yz÷ (\dfrac{-2x}{y^{2}z})$
$=6x^{2}yz · \dfrac{-y^{2}z}{2x}$
$=-3xy^{3}z^{2}.$
$=\dfrac{9y^{4}}{x^{6}} · \dfrac{x^{9}}{y^{6}}$
$=\dfrac{9x^{3}}{y^{2}}.$
(2)$原式=6x^{2}yz÷ (\dfrac{-2x}{y^{2}z})$
$=6x^{2}yz · \dfrac{-y^{2}z}{2x}$
$=-3xy^{3}z^{2}.$
解析
【分析】
解决这两道题的核心是熟练运用负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），再结合幂的相关运算、单项式乘除规则计算即可。
第(1)题：先把每个括号内的负指数转化为正指数的分式形式，再分别计算两个分式的负指数幂，最后按分式乘法规则合并同底数幂的指数，化简得到结果；也可先利用积的乘方法则，把括号外的指数乘到括号内每一项的指数上，再合并同类项。
第(2)题：先把除式中的负指数转化为正指数的分式形式，将除法转化为乘法，再按单项式乘法规则计算，系数相乘作为结果的系数，相同字母的幂分别相乘，计算时注意系数的符号。
【解析】
(1) 先将负指数转化为正指数形式：
原式$=(\dfrac{x^{3}}{3y^{2}})^{-2} · (\dfrac{y^{2}}{x^{3}})^{-3}$
分别计算两个负指数幂：
$=\dfrac{9y^{4}}{x^{6}} · \dfrac{x^{9}}{y^{6}}$
合并同底数幂：
$=\dfrac{9x^{3}}{y^{2}}$
(2) 先将除式的负指数转化为正指数，除法变乘法：
原式$=6x^{2}yz÷ (\dfrac{-2x}{y^{2}z})$
$=6x^{2}yz · \dfrac{-y^{2}z}{2x}$
按单项式乘法规则计算：
$=-3xy^{3}z^{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{9x^{3}}{y^{2}}$；(2) $-3xy^{3}z^{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；单项式乘除运算；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是负整数指数幂与整式乘除结合的基础运算题，解题关键是准确掌握负指数幂的转化规则，计算时要注意系数的符号、指数的加减运算，避免因混淆指数运算规则出错。
【难度系数】
0.75
解决这两道题的核心是熟练运用负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），再结合幂的相关运算、单项式乘除规则计算即可。
第(1)题：先把每个括号内的负指数转化为正指数的分式形式，再分别计算两个分式的负指数幂，最后按分式乘法规则合并同底数幂的指数，化简得到结果；也可先利用积的乘方法则，把括号外的指数乘到括号内每一项的指数上，再合并同类项。
第(2)题：先把除式中的负指数转化为正指数的分式形式，将除法转化为乘法，再按单项式乘法规则计算，系数相乘作为结果的系数，相同字母的幂分别相乘，计算时注意系数的符号。
【解析】
(1) 先将负指数转化为正指数形式：
原式$=(\dfrac{x^{3}}{3y^{2}})^{-2} · (\dfrac{y^{2}}{x^{3}})^{-3}$
分别计算两个负指数幂：
$=\dfrac{9y^{4}}{x^{6}} · \dfrac{x^{9}}{y^{6}}$
合并同底数幂：
$=\dfrac{9x^{3}}{y^{2}}$
(2) 先将除式的负指数转化为正指数，除法变乘法：
原式$=6x^{2}yz÷ (\dfrac{-2x}{y^{2}z})$
$=6x^{2}yz · \dfrac{-y^{2}z}{2x}$
按单项式乘法规则计算：
$=-3xy^{3}z^{2}$
【答案】
(1) $\dfrac{9x^{3}}{y^{2}}$；(2) $-3xy^{3}z^{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；单项式乘除运算；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是负整数指数幂与整式乘除结合的基础运算题，解题关键是准确掌握负指数幂的转化规则，计算时要注意系数的符号、指数的加减运算，避免因混淆指数运算规则出错。
【难度系数】
0.75
