1. $2^{-3}$ 的值是().

A.-6
B.-8
C.$\frac{1}{8}$
D.$-\frac{1}{8}$

1. C

【分析】
解题时首先回忆负整数指数幂的运算法则：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，且正数的任何次幂均为正数。我们可以先根据结果的正负排除负数类错误选项，再代入公式计算得到最终结果。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），将$a=2$，$p=3$代入公式计算：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对负整数指数幂运算法则的记忆与应用，计算时注意负指数对应的是对底数的正指数幂取倒数，不是直接给最终结果加负号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(a^{-1}b^{2})^{3}=$.

2. $\frac{b^{6}}{a^{3}}$

【分析】
计算本题时，首先运用积的乘方运算法则，将括号内的两个因式分别乘3次方，再利用幂的乘方法则计算每个因式的运算结果，最后根据负整数指数幂的意义把负指数转化为正指数形式，即可得到最终结果。
【解析】
根据整数指数幂的运算法则逐步计算：
1. 运用积的乘方法则：$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(a^{-1}b^2)^3=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
2. 运用幂的乘方法则：$(x^m)^n=x^{mn}$，分别计算两项：
$(a^{-1})^3=a^{-1×3}=a^{-3}$，$(b^2)^3=b^{2×3}=b^6$
3. 根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），将负指数转化为正指数：
$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$
因此原式$=\frac{1}{a^3}· b^6=\frac{b^6}{a^3}$。
【答案】
$\frac{b^{6}}{a^{3}}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的相关运算法则，熟练掌握各幂运算的规则以及负指数的转化方法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9

3.若$a^{-1}=(-1)^0$,则$a=$.

3. 1

【分析】
解题时首先要回忆零指数幂和负整数指数幂的运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②非零数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数。第一步先计算等式右侧$(-1)^0$的值，第二步将左侧的$a^{-1}$转化为倒数形式，最后解方程求出$a$的值，注意要保证底数$a$不为0。
【解析】
首先计算等式右侧的零指数幂：
根据零指数幂的性质，当底数不为0时，$x^0=1$，可得$(-1)^0=1$，
因此原等式可化为：$a^{-1}=1$。
再根据负整数指数幂的性质，当$a≠0$时，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，代入得：
$\frac{1}{a}=1$，
两边同时乘以$a$（$a≠0$），解得$a=1$。
经检验，$a=1$时原式左右两边相等，符合要求。
【答案】
1
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对零指数幂、负整数指数幂运算规则的掌握，只要牢记运算性质及底数不为0的限制，即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$(2m^2n^{-3})^2 · (-mn^{-2})^{-2}$；
(2)$4x^2y^{-3}z ÷ (-2x^{-1}yz^{-2})^2$；
(3)$(\frac{1}{2})^{-3} - 2^3 × 0.125 + 2136^0 + |-1|$；
(4)$2 × (π - 3.14)^0 + 8 × (3 × 2)^{-1} + (-\frac{1}{2})^{-4}$。

4. 解 (1)$原式=4m^{4}n^{-6} · m^{-2}n^{4}$
$=4m^{2}n^{-2}=\frac{4m^{2}}{n^{2}}.$
(2)$原式=4x^{2}y^{-3}z÷ (4x^{-2}y^{2}z^{-4})$
$=x^{4}y^{-5}z^{5}=\frac{x^{4}z^{5}}{y^{5}}.$
(3)$原式=8-8×0.125+1+1$
$=8-1+1+1$
$=9.$
(4)$原式=2×1+8×\frac{1}{6}+16$
$=2+\frac{4}{3}+16$
$=19\frac{1}{3}.$

【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：①先回忆运算法则：幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，各因式分别乘方再相乘；同底数幂相乘/除，底数不变指数相加/减；非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数；非零数的0次幂等于1。②对于整式乘除类的（1）（2）小题，先算乘方运算，再算乘除运算，最后将负指数转化为正指数的分式形式；对于混合运算类的（3）（4）小题，先分别计算负指数幂、零指数幂、乘方、绝对值，再按从左到右的顺序计算加减即可。
【解析】
(1) 先利用积的乘方、幂的乘方法则计算乘方：
原式$=4m^{4}n^{-6} · m^{-2}n^{4}$
再利用同底数幂的乘法法则计算，最后转化负指数：
$=4m^{4-2}n^{-6+4}=4m^{2}n^{-2}=\frac{4m^{2}}{n^{2}}$
(2) 先计算除式的乘方：
原式$=4x^{2}y^{-3}z ÷ (4x^{-2}y^{2}z^{-4})$
再利用单项式除法、同底数幂的除法法则计算，转化负指数：
$=x^{2-(-2)}y^{-3-2}z^{1-(-4)}=x^{4}y^{-5}z^{5}=\frac{x^{4}z^{5}}{y^{5}}$
(3) 分别计算各部分的值：
$(\frac{1}{2})^{-3}=2^3=8$，$2^3×0.125=8×0.125=1$，$2136^0=1$，$|-1|=1$
代入原式计算加减：
原式$=8-1+1+1=9$
(4) 分别计算各部分的值：
$(π-3.14)^0=1$，$(3×2)^{-1}=6^{-1}=\frac{1}{6}$，$(-\frac{1}{2})^{-4}=(-2)^4=16$
代入原式先算乘法再算加减：
原式$=2×1+8×\frac{1}{6}+16=2+\frac{4}{3}+16=19\frac{1}{3}$
【答案】
(1)$\frac{4m^2}{n^2}$；(2)$\frac{x^4z^5}{y^5}$；(3)$9$；(4)$19\frac{1}{3}$
【知识点】
整数指数幂运算；零指数幂；负整数指数幂
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算时注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，计算负指数幂和零指数幂时要注意底数不能为0的隐含要求，细心运算即可避免出错。
【难度系数】
0.7

5. 已知$|x+y-3|+(x-y-1)^2=0$，求$\frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^2]^{-3}$的值。

5. 解 $\because |x+y-3|+(x-y-1)^{2}=0,$
$\therefore \begin{cases} x+y-3=0,\\ x-y-1=0. \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=2,\\ y=1. \end{cases}$
$\therefore \frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^{2}]^{-3}$
$=\frac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\frac{1}{2}(x^{12} · y^{-6})$
$=\frac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=2^{11}.$

【分析】
首先，根据绝对值和平方的非负性可知，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x和y的值。其次，按照幂的乘方、负整数指数幂的运算法则先化简所求代数式，再代入x、y的值计算，先化简再代入可减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：$\because |x+y-3|≥0$，$(x-y-1)^2≥0$，且$|x+y-3|+(x-y-1)^2=0$
$\therefore \begin{cases} x+y-3=0\\ x-y-1=0 \end{cases}$
两式相加得$2x-4=0$，解得$x=2$，将$x=2$代入$x+y-3=0$，得$2+y-3=0$，解得$y=1$，即$\begin{cases} x=2\\ y=1 \end{cases}$
再计算代数式：
$\frac{1}{2}[(-x^{-2}y)^{2}]^{-3}$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，得：
$=\frac{1}{2}(-x^{-2}y)^{-6}$
$=\frac{1}{2}x^{12}y^{-6}$
代入$x=2,y=1$得：
$=\frac{1}{2}×2^{12}×1^{-6}$
$=2^{11}$
【答案】
$2^{11}$（或2048）
【知识点】
非负数的性质、二元一次方程组的解法、负整数指数幂运算
【点评】
本题是基础综合题，结合了非负数性质和幂的运算两个考点，解题的核心是先利用非负性求出未知数的值，再正确运用幂的运算法则计算，运算时要注意指数的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7

6. 已知$a^2 - 4a + 1 = 0$，求$(a^2 - a^{-2})(a - a^{-1})$的值.

6. 解 $(a^{2}-a^{-2})(a-a^{-1})$
$=(a^{2}-\frac{1}{a^{2}})(a-\frac{1}{a})$
$=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})^{2}$
$=(a+\frac{1}{a})[(a+\frac{1}{a})^{2}-4].$
$\because a^{2}-4a+1=0,$
$\therefore a+\frac{1}{a}=4,$
$\therefore 原式=4×(4^{2}-4)=48.$

【分析】
解题时可按照以下思路思考：第一步，先将负整数指数幂转化为分式形式，明确$a^{-1}=\frac{1}{a}$，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$；第二步，对待求式做因式分解，先利用平方差公式分解$a^2-\frac{1}{a^2}$，再将式子整理为含$(a+\frac{1}{a})$、$(a-\frac{1}{a})$的结构；第三步，利用完全平方公式将$(a-\frac{1}{a})^2$转化为和$(a+\frac{1}{a})$相关的形式，方便整体代入；第四步，从已知方程推导$a+\frac{1}{a}$的值，注意$a≠0$，可将方程两边同时除以$a$得到结果，最后整体代入计算即可，无需单独求解$a$的值。
【解析】
先对待求式化简：
$(a^{2}-a^{-2})(a-a^{-1})$
$=(a^{2}-\frac{1}{a^{2}})(a-\frac{1}{a})$
利用平方差公式分解$a^2-\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})$，代入得：
$=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})·(a-\frac{1}{a})$
$=(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})^{2}$
再利用完全平方公式变形$(a-\frac{1}{a})^2=a^2-2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-4$，代入得：
$=(a+\frac{1}{a})[(a+\frac{1}{a})^{2}-4]$
接下来从已知条件推导$a+\frac{1}{a}$的值：
$\because a^{2}-4a+1=0$，且$a=0$时方程左边$=1≠0$，$\therefore a≠0$，
将方程两边同时除以$a$得：$a - 4 + \frac{1}{a}=0$，整理得$a+\frac{1}{a}=4$。
将$a+\frac{1}{a}=4$代入化简后的式子：
原式$=4×(4^{2}-4)=4×(16-4)=4×12=48$
【答案】
48
【知识点】
1.负整数指数幂运算
2.乘法公式的应用
3.整体代入求值
【点评】
本题是代数式化简求值的典型题型，将负指数幂运算与乘法公式的变形应用结合，解题核心是利用整体代入思想，避开求解一元二次方程的复杂运算，要求熟练掌握平方差、完全平方公式的常见变形。
【难度系数】
0.6