1. 列方程解应用题的关键是。

1. 寻找等量关系

【分析】
我们可以从列方程解应用题的逻辑来思考：列方程的本质是用含未知数的等式表示题目中蕴含的相等关系，要把实际问题转化为数学方程，首先要找到能串联已知量和未知量的相等关系，没有这个关系就无法列出正确的等式，因此整个解题过程的核心就是找到这个相等关系。
【解析】
列方程解应用题的常规步骤为：审题明确已知量、未知量→设未知数→寻找题目中的等量关系→根据等量关系列方程→解方程→检验作答。其中只有准确找到等量关系，才能将已知量和未知量建立等式联系，进而列出正确的方程，其余步骤都是围绕等量关系对应的方程展开，因此列方程解应用题的关键是寻找等量关系。
【答案】
寻找等量关系
【知识点】
1. 列方程解应用题 2. 等量关系识别
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查对列方程解应用题核心要点的掌握，是解决各类方程实际应用问题的前提，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

2.销售问题：
利润=售价－；
利润=成本×；
总利润=单件利润×。

2. 利润=售价－成本；利润=成本×利润率；总利润=单件利润×销售量

【分析】
本题考查销售问题的基础等量关系，解题时结合销售场景中各量的含义推导即可：①利润是销售商品获得的盈利，是卖出商品得到的钱减去进货花费的成本；②利润率是利润占成本的比例，因此利润可通过成本乘利润率计算；③总利润是销售所有商品获得的总盈利，等于单件利润乘卖出的商品总数量。
【解析】
根据销售问题的基本等量关系：
1. 利润是售价扣除成本后的盈利，因此第一个空填成本；
2. 利润率定义为利润与成本的比值，变形可得利润=成本×利润率，因此第二个空填利润率；
3. 总利润为所有售出商品的利润之和，因此总利润=单件利润×销售量，第三个空填销售量。
【答案】
成本；利润率；销售量
【知识点】
销售利润公式；利润率公式；总利润计算
【点评】
本题是销售类应用题的基础识记内容，相关公式是解决利润类实际应用问题的核心依据，需熟练掌握并能灵活套用公式列方程求解相关问题。
【难度系数】
0.9

3.平均增长率问题：
如果用a表示基数，用b表示末数，用
x表示增长率（下降率），增长（减少）
的次数为n，那么b=。（n通
常取2）

3. $b=a(1\pm x)^n$

【分析】
我们可以通过从特殊到一般的思路推导公式：①先考虑增长率的情况：当n=1即增长1次时，末数=基数+增长的部分，即$b=a+ax=a(1+x)$；当n=2即增长2次时，是在第一次增长后的结果$a(1+x)$的基础上再增长x，因此末数为$a(1+x)+a(1+x)·x=a(1+x)^2$，以此类推，增长n次时，末数就是基数a连续乘n次$(1+x)$。②如果是下降率的情况，每次下降后数值变为原来的$(1-x)$倍，同理可得下降n次的末数是a乘n次$(1-x)$。把两种情况合并即可得到通用公式。
【解析】
当变量为增长率时，每增长1次，数值变为原数的$(1+x)$倍，增长n次后，末数$b=a(1+x)^n$；
当变量为下降率时，每下降1次，数值变为原数的$(1-x)$倍，下降n次后，末数$b=a(1-x)^n$；
将两种情况合并可得通用公式：$b=a(1\pm x)^n$（增长取+，下降取-）。
【答案】
$b=a(1\pm x)^n$
【知识点】
1.平均增长率（下降率）问题
2.列代数式
【点评】
该公式是解决增长率、下降率类实际应用题的核心基础公式，要明确每个字母对应的含义：a是变化前的基数，b是变化后的末数，x是平均增长率（或下降率），n是变化的次数，注意增长率用加号、下降率用减号，这类题通常考查n=2的情况，常结合一元二次方程求解。
【难度系数】
0.9

1.某种植基地2024年蔬菜产量为80 t，2026年蔬菜产量达到100 t，求蔬菜产量的年平均增长率。设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()。

A.$80(1+x)^2=100$
B.$100(1-x)^2=80$
C.$80(1+2x)=100$
D.$80(1+x^2)=100$

1. A

【分析】
本题考查平均增长率问题的列方程方法，解题思路如下：首先明确三个核心量：初始产量（2024年的80t）、年平均增长率x、最终产量（2026年的100t），再理清增长的时间跨度：从2024年到2026年共经过2次增长。根据增长率的计算逻辑，每一年的产量都是上一年产量乘(1+x)，逐步推导两年后的产量表达式，再和最终产量建立等量关系即可得到方程。
【解析】
已知2024年蔬菜产量为80t，年平均增长率为x：
1. 2025年的蔬菜产量为2024年产量增长x后的结果，即：$80(1+x)$ t；
2. 2026年的蔬菜产量为2025年产量再次增长x后的结果，即：$80(1+x) × (1+x) = 80(1+x)^2$ t；
3. 题目已知2026年蔬菜产量为100t，因此可列方程：$80(1+x)^2=100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的基础题型，解题核心是明确增长次数与产量的递推关系，避免出现将两年增长误算为2x、或错误调换初始量和最终量的典型错误，熟练掌握增长率公式可以快速解题。
【难度系数】
0.8

2.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元。设两次降价的百分率都为x，则x满足（）。

A.$16(1+2x)=25$
B.$25(1-2x)=16$
C.$16(1+x)^2=25$
D.$25(1-x)^2=16$

2. D

【分析】
这是典型的百分率降价问题，解题时要明确每次降价的计算基数：每次降价都是在前一次的售价基础上进行的。首先先计算第一次降价后的售价，再以第一次降价后的售价为基数计算第二次降价后的售价，最后结合两次降价后售价为16元的条件列等式即可。
【解析】
首先，药品原价为每盒25元，第一次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价为：$25(1-x)$元；
第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为：$25(1-x) × (1-x) = 25(1-x)^2$元；
已知两次降价后每盒售价为16元，因此可列等式：$25(1-x)^2=16$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
百分率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于百分率应用的基础题型，易错点是误将两次降价理解为总共降价2x，错选B选项，解题时需注意每次降价的基数是前一次的售价，而非原价。
【难度系数】
0.8

3.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销。
(1)若该商品售价连续两次下调相同的百分率后降至每件32.4元，求每次下降的百分率；
(2)经调查，如果该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，每件应降价多少元？

3. 解:(1)设每次下降的百分率为x，
根据题意,得 $40(1-x)^2=32.4$，
解得 $x_1=0.1,x_2=1.9$(不符合题意,舍去)。
所以每次下降的百分率为10%。
(2)设每件应降价 y 元,则每天可销售
$(48+\dfrac{4}{0.5}y)$件，
根据题意得$(40-30-y)(48+\dfrac{4}{0.5}y)=510$，
整理得 $4y^2-16y+15=0$，
解得 $y_1=\dfrac{3}{2},y_2=\dfrac{5}{2}$。
$\because$要尽快减少库存,$\therefore y=\dfrac{5}{2}$。
所以每件应降价$\dfrac{5}{2}$元。

【分析】
（1）这是连续下降率类问题，解题思路如下：先设每次下降的百分率为x，原价为40元，第一次降价后价格为$40(1-x)$，第二次是在第一次降价后的价格基础上再次下调相同百分率，因此两次降价后的价格为$40(1-x)^2$，结合两次降价后售价为32.4元的条件列方程求解，注意下降率不能大于1，需舍去不符合实际意义的解。
（2）这是销售利润类问题，核心等量关系为：总利润=单件利润×总销量。首先设每件降价y元，可得出单件利润为$(40-30-y)$元；再根据“每降价0.5元多销售4件”，可推出降价y元后新增销量为$\frac{y}{0.5}×4$件，因此总销量为$(48+\frac{4}{0.5}y)$件；结合总利润为510元的条件列方程求解，最后根据“尽快减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解（降价越多销量越高，去库存速度越快）。
【解析】
（1）设每次下降的百分率为x，根据题意列方程：
$40(1-x)^2=32.4$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$（下降率不可能大于1，不符合题意，舍去）
（2）设每件应降价y元，根据题意：
单件利润为$(40-30-y)$元，每天总销量为$(48+\frac{4}{0.5}y)$件，列方程：
$(40-30-y)(48+\frac{4}{0.5}y)=510$
整理得：$4y^2-16y+15=0$
解得：$y_1=\frac{3}{2}$，$y_2=\frac{5}{2}$
∵要尽快减少库存，需最大化销量，降价幅度越大销量越高，
∴取$y=\frac{5}{2}$
【答案】
（1）每次下降的百分率为10%；
（2）每件应降价$\frac{5}{2}$元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 下降率问题
3. 销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际场景中应用的典型题型，第一问可直接套用连续变化率的通用公式列式，难度较低；第二问需要准确梳理利润和销量的表达式，解题时要注意结合“尽快减少库存”的实际限制条件合理取舍方程的根，避免忽略题干要求导致失分。
【难度系数】
0.7

4.水果店老板以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100 kg。通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20 kg，为保证每天至少售出260 kg，老板决定降价销售。
(1)若这种水果每千克售价降低x元，则每天的销售量是 kg。(用含x的代数式表示，需要化简)
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每千克的售价定为多少元？

4. 解:(1)$(100+200x)$
(2)设这种水果每千克售价降低 x 元。
根据题意得$(4-2-x)(100+200x)=300$，
解得 $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$。
当 $x=\dfrac{1}{2}$时,销售量是 $100+200× \dfrac{1}{2}=200(\mathrm{kg})$；
当 $x=1$时,销售量是 $100+200=300(\mathrm{kg})$。
$\because$每天至少售出 260 kg，
$\therefore x=1$。
$4-1=3$(元)。
所以老板需将每千克的售价定为 3 元。

【分析】
（1）先分析售价降低和销量增加的关系：每降价0.1元多售出20kg，降价x元时，共有$\frac{x}{0.1}=10x$个0.1元的降价幅度，对应多售出的重量为$20×10x=200x$kg，加上原有日销量100kg，即可得到总销量的代数式。
（2）销售总盈利=每千克利润×日销售量，每千克利润为（原售价-进价-降价金额），日销售量为第（1）问的代数式，结合盈利300元列一元二次方程求解，最后根据“每天至少售出260kg”的限制条件舍去不符合题意的解，即可得到最终售价。
【解析】
(1) 原有日销量100kg，降价x元后多售出200x kg，因此每天的销售量为$100+200x$kg。
(2) 设这种水果每千克售价降低x元，根据总盈利的等量关系列方程：
$(4-2-x)(100+200x)=300$
整理得$2x^2-3x+1=0$，因式分解得$(2x-1)(x-1)=0$
解得 $x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$。
验证销量是否符合要求：
当 $x=\dfrac{1}{2}$时，销售量为$100+200× \dfrac{1}{2}=200\mathrm{kg}$，$200＜260$，不符合要求，舍去；
当 $x=1$时，销售量为$100+200×1=300\mathrm{kg}$，$300＞260$，符合要求。
因此每千克售价为$4-1=3$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100+200x}$
(2) $\boldsymbol{3}$元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；解一元二次方程
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是找准总利润的等量关系列方程，需要注意题目给出的销量限制条件，求解后必须验证解是否符合实际要求，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6