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9. 在$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB = 9$ cm，$BC=12$ cm，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以1 cm/s的速度运动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以2 cm/s的速度运动。如果$P$，$Q$分别从$A$，$B$同时出发运动$t$ s，当点$Q$运动到点$C$时，两点同时停止运动。
(1) $BQ =$
(2) 经过几秒，$PQ$的长为$6\sqrt{2}$ cm？
(3) 经过几秒，$△ PBQ$的面积等于$8$ cm²？
(1) $BQ =$
2t
cm，$PB =$ 9-t
cm。（用含$t$的代数式表示）(2) 经过几秒，$PQ$的长为$6\sqrt{2}$ cm？
(3) 经过几秒，$△ PBQ$的面积等于$8$ cm²？
答案
9.解:(1)2t (9-t)
(2)根据题意得$(9-t)^2+(2t)^2=72$，
解得 $t_1=\frac{3}{5},t_2=3$。
$\therefore$经过$\frac{3}{5}$ s或 3 s,$PQ$的长为 $6\sqrt{2}$ cm。
(3)根据题意得$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=8$，
解得 $t_1=8,t_2=1$。
$\because 0≤ t≤ 6$，
$\therefore t=1$，
$\therefore$经过 1 s,$△ PBQ$ 的面积等于 $8\ \mathrm{cm}^2$。
(2)根据题意得$(9-t)^2+(2t)^2=72$，
解得 $t_1=\frac{3}{5},t_2=3$。
$\therefore$经过$\frac{3}{5}$ s或 3 s,$PQ$的长为 $6\sqrt{2}$ cm。
(3)根据题意得$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=8$，
解得 $t_1=8,t_2=1$。
$\because 0≤ t≤ 6$，
$\therefore t=1$，
$\therefore$经过 1 s,$△ PBQ$ 的面积等于 $8\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
第(1)问可根据“路程=速度×时间”先求出AP、BQ的长度，再用AB的长度减去AP即可得到PB的长度，同时先确定t的取值范围：点Q运动到点C的时间为12÷2=6s，因此0≤t≤6。
第(2)问中△PBQ是直角三角形（∠B=90°），已知斜边PQ的长度，可结合勾股定理列出关于t的一元二次方程，求解后验证解是否符合t的取值范围即可。
第(3)问可利用直角三角形的面积公式，代入PB、BQ的长度列方程求解，最后舍去不符合t取值范围的解即可得到结果。
【解析】
(1) 点Q的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此$BQ=2× t=2t$ cm；
点P的运动速度为1cm/s，运动t s后$AP=1× t=t$ cm，已知AB=9cm，因此$PB=AB-AP=(9-t)$ cm。
(2)
∵∠B=90°，在Rt△PBQ中，由勾股定理得$PB^2+BQ^2=PQ^2$，
将$PB=9-t$，$BQ=2t$，$PQ=6\sqrt{2}$代入得：
$(9-t)^2+(2t)^2=(6\sqrt{2})^2$
整理得$5t^2-18t+9=0$，
解得$t_1=\frac{3}{5}$，$t_2=3$，两个解均满足0≤t≤6，符合题意。
(3) 直角三角形PBQ的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BQ$，将S=8，$PB=9-t$，$BQ=2t$代入得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=8$
整理得$t^2-9t+8=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=8$，
∵0≤t≤6，
∴t=8不符合题意，舍去，故t=1。
【答案】
(1) $2t$；$9-t$
(2) 经过$\frac{3}{5}$ s或 3 s，$PQ$的长为 $6\sqrt{2}$ cm
(3) 经过 1 s，$△ PBQ$ 的面积等于 $8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何结合方程的典型题型，解题关键是用含运动时间的代数式表示对应线段长度，再结合几何性质列方程求解，注意要根据运动的实际限制判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
第(1)问可根据“路程=速度×时间”先求出AP、BQ的长度，再用AB的长度减去AP即可得到PB的长度，同时先确定t的取值范围：点Q运动到点C的时间为12÷2=6s，因此0≤t≤6。
第(2)问中△PBQ是直角三角形（∠B=90°），已知斜边PQ的长度，可结合勾股定理列出关于t的一元二次方程，求解后验证解是否符合t的取值范围即可。
第(3)问可利用直角三角形的面积公式，代入PB、BQ的长度列方程求解，最后舍去不符合t取值范围的解即可得到结果。
【解析】
(1) 点Q的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，因此$BQ=2× t=2t$ cm；
点P的运动速度为1cm/s，运动t s后$AP=1× t=t$ cm，已知AB=9cm，因此$PB=AB-AP=(9-t)$ cm。
(2)
∵∠B=90°，在Rt△PBQ中，由勾股定理得$PB^2+BQ^2=PQ^2$，
将$PB=9-t$，$BQ=2t$，$PQ=6\sqrt{2}$代入得：
$(9-t)^2+(2t)^2=(6\sqrt{2})^2$
整理得$5t^2-18t+9=0$，
解得$t_1=\frac{3}{5}$，$t_2=3$，两个解均满足0≤t≤6，符合题意。
(3) 直角三角形PBQ的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BQ$，将S=8，$PB=9-t$，$BQ=2t$代入得：
$\frac{1}{2}×(9-t)×2t=8$
整理得$t^2-9t+8=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=8$，
∵0≤t≤6，
∴t=8不符合题意，舍去，故t=1。
【答案】
(1) $2t$；$9-t$
(2) 经过$\frac{3}{5}$ s或 3 s，$PQ$的长为 $6\sqrt{2}$ cm
(3) 经过 1 s，$△ PBQ$ 的面积等于 $8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；勾股定理；一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何结合方程的典型题型，解题关键是用含运动时间的代数式表示对应线段长度，再结合几何性质列方程求解，注意要根据运动的实际限制判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
10.在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示的分别是小华与小芳的设计方案。同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度。
答案
10.解:小芳的方案不符合条件。
设小路的宽度均为 x m,则花园的长为(16-2x)m,宽为(12-2x)m，
根据题意,得 $(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$，
解得 $x_1=2,x_2=12$(不符合题意,舍去)。
$\therefore$小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为 2 m。
设小路的宽度均为 x m,则花园的长为(16-2x)m,宽为(12-2x)m，
根据题意,得 $(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$，
解得 $x_1=2,x_2=12$(不符合题意,舍去)。
$\therefore$小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为 2 m。
解析
【分析】
首先验证小芳提出的小路宽1m时花园面积是否符合要求：先计算荒地总面积，再计算该宽度下的花园面积，和荒地面积的一半对比即可判断方案是否符合条件。若不符合，设小路宽度为x m，此时花园的长为原长减去两侧小路宽度即$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为原宽减去上下两侧小路宽度即$(12-2x)\mathrm{m}$，根据“花园面积是荒地面积一半”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际场景舍去不合理的根（小路宽度不能超过荒地宽度的一半，否则花园边长为负无实际意义），即可得到正确的小路宽度。
【解析】
矩形荒地的总面积为：$16×12=192(\mathrm{m}^2)$，要求花园面积为荒地面积的一半，即$192×\frac{1}{2}=96(\mathrm{m}^2)$。
1. 验证小芳的方案：
若小路宽为1m，花园的长为$16-2×1=14(\mathrm{m})$，宽为$12-2×1=10(\mathrm{m})$，花园面积为$14×10=140(\mathrm{m}^2)≠96\mathrm{m}^2$，因此小芳的方案不符合条件。
2. 计算符合要求的小路宽度：
设小路宽度为$x$ m，则花园的长为$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\mathrm{m}$，根据题意列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$
整理得$x^2-14x+24=0$，因式分解得$(x-2)(x-12)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，$12-2x=-12＜0$，不符合实际情况，舍去；当$x=2$时，花园的长、宽均为正数，符合实际意义。
【答案】
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、方程根的检验
【点评】
本题结合实际设计场景考查方程的应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合现实意义对求解出的根进行取舍，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
首先验证小芳提出的小路宽1m时花园面积是否符合要求：先计算荒地总面积，再计算该宽度下的花园面积，和荒地面积的一半对比即可判断方案是否符合条件。若不符合，设小路宽度为x m，此时花园的长为原长减去两侧小路宽度即$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为原宽减去上下两侧小路宽度即$(12-2x)\mathrm{m}$，根据“花园面积是荒地面积一半”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际场景舍去不合理的根（小路宽度不能超过荒地宽度的一半，否则花园边长为负无实际意义），即可得到正确的小路宽度。
【解析】
矩形荒地的总面积为：$16×12=192(\mathrm{m}^2)$，要求花园面积为荒地面积的一半，即$192×\frac{1}{2}=96(\mathrm{m}^2)$。
1. 验证小芳的方案：
若小路宽为1m，花园的长为$16-2×1=14(\mathrm{m})$，宽为$12-2×1=10(\mathrm{m})$，花园面积为$14×10=140(\mathrm{m}^2)≠96\mathrm{m}^2$，因此小芳的方案不符合条件。
2. 计算符合要求的小路宽度：
设小路宽度为$x$ m，则花园的长为$(16-2x)\mathrm{m}$，宽为$(12-2x)\mathrm{m}$，根据题意列方程：
$(16-2x)(12-2x)=\frac{1}{2}×16×12$
整理得$x^2-14x+24=0$，因式分解得$(x-2)(x-12)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=12$。
当$x=12$时，$12-2x=-12＜0$，不符合实际情况，舍去；当$x=2$时，花园的长、宽均为正数，符合实际意义。
【答案】
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、方程根的检验
【点评】
本题结合实际设计场景考查方程的应用，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意结合现实意义对求解出的根进行取舍，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
