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5. 甲商品经过两次连续降价后，售价由原来的每件100元降到每件64元，设平均每次降价的百分率为x；乙商品经过两次连续涨价后，售价由原来的每件64元涨到每件100元，设平均每次涨价的百分率为y。下面关于x，y的大小关系的说法正确的是(
A.$x＞y$
B.$x=y$
C.$x＜y$
D.无法判断
C
)。A.$x＞y$
B.$x=y$
C.$x＜y$
D.无法判断
答案
5. C
解析
【分析】
本题属于百分率变化的一元二次方程应用问题，解题思路分三步：第一步，回忆连续两次价格变化的计算公式：初始价格为a，每次变化的百分率为r，若为降价，两次后价格为$a(1-r)^2$；若为涨价，两次后价格为$a(1+r)^2$。第二步，分别根据甲、乙商品的价格变化列方程，求解x和y的数值，求解时注意百分率需符合实际意义，舍去不合理的负根。第三步，比较x和y的大小即可得出结论。
【解析】
对于甲商品，根据两次降价后的售价列方程：
$100(1-x)^2=64$
两边同时除以100得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
∵降价百分率满足$0＜x＜1$，
∴$1-x＞0$，取正根：
$1-x=0.8$，解得$x=0.2=20\%$
对于乙商品，根据两次涨价后的售价列方程：
$64(1+y)^2=100$
两边同时除以64得：$(1+y)^2=\frac{25}{16}$
开平方得：$1+y=\pm\frac{5}{4}$
∵涨价百分率满足$y＞0$，
∴$1+y＞0$，取正根：
$1+y=\frac{5}{4}$，解得$y=0.25=25\%$
∵$20\%＜25\%$，
∴$x＜y$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的百分率变化应用题，核心是掌握连续两次增/降价的价格计算规律，求解方程时要注意结合实际意义筛选合理的根，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
本题属于百分率变化的一元二次方程应用问题，解题思路分三步：第一步，回忆连续两次价格变化的计算公式：初始价格为a，每次变化的百分率为r，若为降价，两次后价格为$a(1-r)^2$；若为涨价，两次后价格为$a(1+r)^2$。第二步，分别根据甲、乙商品的价格变化列方程，求解x和y的数值，求解时注意百分率需符合实际意义，舍去不合理的负根。第三步，比较x和y的大小即可得出结论。
【解析】
对于甲商品，根据两次降价后的售价列方程：
$100(1-x)^2=64$
两边同时除以100得：$(1-x)^2=0.64$
开平方得：$1-x=\pm0.8$
∵降价百分率满足$0＜x＜1$，
∴$1-x＞0$，取正根：
$1-x=0.8$，解得$x=0.2=20\%$
对于乙商品，根据两次涨价后的售价列方程：
$64(1+y)^2=100$
两边同时除以64得：$(1+y)^2=\frac{25}{16}$
开平方得：$1+y=\pm\frac{5}{4}$
∵涨价百分率满足$y＞0$，
∴$1+y＞0$，取正根：
$1+y=\frac{5}{4}$，解得$y=0.25=25\%$
∵$20\%＜25\%$，
∴$x＜y$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 增长率问题
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的百分率变化应用题，核心是掌握连续两次增/降价的价格计算规律，求解方程时要注意结合实际意义筛选合理的根，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
6.某学校开设了“篮球大课间”活动，现需购买150个某品牌的篮球。经调查，该品牌篮球2024年单价为150元，2026年单价为96元。
(1)求2024年到2026年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率；
(2)若按2026年单价售卖，选购期间发现该品牌篮球在甲、乙两个商店有不同的促销方案：甲店全场九折，乙店买十送一，请问去哪家店购买更加合算？
(1)求2024年到2026年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率；
(2)若按2026年单价售卖，选购期间发现该品牌篮球在甲、乙两个商店有不同的促销方案：甲店全场九折，乙店买十送一，请问去哪家店购买更加合算？
答案
6. 解:(1)设 2024 年到 2026 年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为 x，
根据题意得 $150(1-x)^2=96$，
解得 $x_1=0.2,x_2=1.8$(不符合题意,舍去)。
所以 2024 年到 2026 年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为 20%。
(2) 去甲店购买的费用: $96× 150× 90\% =12\ 960$(元)。
去乙店购买的费用: $150÷ 11=13$(组)$······7$(个)，
$13× 10+7=137$(个)，
$137× 96=13\ 152$(元)。
$12\ 960＜13\ 152$,所以去甲店购买更加合算。
根据题意得 $150(1-x)^2=96$，
解得 $x_1=0.2,x_2=1.8$(不符合题意,舍去)。
所以 2024 年到 2026 年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为 20%。
(2) 去甲店购买的费用: $96× 150× 90\% =12\ 960$(元)。
去乙店购买的费用: $150÷ 11=13$(组)$······7$(个)，
$13× 10+7=137$(个)，
$137× 96=13\ 152$(元)。
$12\ 960＜13\ 152$,所以去甲店购买更加合算。
解析
【分析】
(1) 第一问属于平均降低率问题，可设平均每年降低的百分率为x，根据平均变化率的数量关系：初始值×(1-降低率)ⁿ = n年后的数值（n为间隔年数），这里初始单价150元，间隔2年，2026年单价96元，据此列一元二次方程求解即可，注意求解后要舍去不符合实际意义的根。
(2) 第二问是最优购物方案选择问题，分别计算在甲、乙两店购买150个篮球的总费用，比较大小即可得出更合算的店铺。甲店费用直接用“单价×数量×折扣”计算；乙店要先理解“买十送一”的规则：每付10个的钱可拿到11个篮球，先算150个里包含多少组11个，余下不足11个的部分按原价购买，最终算出总费用再和甲店比较。
【解析】
(1) 设2024年到2026年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：$\boldsymbol{150(1-x)^2=96}$
整理得$(1-x)^2=0.64$，开方得$1-x=\pm0.8$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（降低率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 分别计算两店购买150个篮球的总费用：
① 甲店总费用：$96×150×90\% = 12960$（元）
② 乙店“买十送一”，即每11个仅需付10个的费用：
$150÷11=13$（组）$······7$（个）
需要付费的篮球数量为$13×10+7=137$（个）
乙店总费用：$137×96=13152$（元）
因为$12960＜13152$，所以甲店费用更低。
【答案】
(1) 2024年到2026年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为20%；
(2) 去甲店购买更加合算。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查了一元二次方程在实际问题中的应用，也考查了优惠促销场景下的方案计算，解题时要注意方程的解需符合实际意义，计算促销方案时要理清规则，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于平均降低率问题，可设平均每年降低的百分率为x，根据平均变化率的数量关系：初始值×(1-降低率)ⁿ = n年后的数值（n为间隔年数），这里初始单价150元，间隔2年，2026年单价96元，据此列一元二次方程求解即可，注意求解后要舍去不符合实际意义的根。
(2) 第二问是最优购物方案选择问题，分别计算在甲、乙两店购买150个篮球的总费用，比较大小即可得出更合算的店铺。甲店费用直接用“单价×数量×折扣”计算；乙店要先理解“买十送一”的规则：每付10个的钱可拿到11个篮球，先算150个里包含多少组11个，余下不足11个的部分按原价购买，最终算出总费用再和甲店比较。
【解析】
(1) 设2024年到2026年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：$\boldsymbol{150(1-x)^2=96}$
整理得$(1-x)^2=0.64$，开方得$1-x=\pm0.8$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（降低率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 分别计算两店购买150个篮球的总费用：
① 甲店总费用：$96×150×90\% = 12960$（元）
② 乙店“买十送一”，即每11个仅需付10个的费用：
$150÷11=13$（组）$······7$（个）
需要付费的篮球数量为$13×10+7=137$（个）
乙店总费用：$137×96=13152$（元）
因为$12960＜13152$，所以甲店费用更低。
【答案】
(1) 2024年到2026年该品牌篮球单价平均每年降低的百分率为20%；
(2) 去甲店购买更加合算。
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用，最优方案选择
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查了一元二次方程在实际问题中的应用，也考查了优惠促销场景下的方案计算，解题时要注意方程的解需符合实际意义，计算促销方案时要理清规则，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
7.某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/kg。根据市场调查，在一段时间内，售价x(元)与销量y(kg)之间的关系如图所示。
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若使该商店销售这种蜂蜜获得11 250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的售价应定为多少？
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若使该商店销售这种蜂蜜获得11 250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的售价应定为多少？
答案
7. 解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 $y=kx+b$($k\ne0$)，
将$(50,500),(60,400)$的坐标代入 $y=kx+b$中,得$\begin{cases}50k+b=500,\\60k+b=400,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10,\\b=1\ 000。\end{cases}$
故 y 关于 x 的函数表达式为 $y=-10x+1\ 000$。
(2) 由题意得 $(x-30)(-10x+1\ 000)=11\ 250$，
整理得 $x^2-130x+4\ 125=0$，
解得 $x_1=55,x_2=75$。
$\because$要让利于顾客，
$\therefore x=55$。
故该蜂蜜的售价应定为 55 元。
将$(50,500),(60,400)$的坐标代入 $y=kx+b$中,得$\begin{cases}50k+b=500,\\60k+b=400,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10,\\b=1\ 000。\end{cases}$
故 y 关于 x 的函数表达式为 $y=-10x+1\ 000$。
(2) 由题意得 $(x-30)(-10x+1\ 000)=11\ 250$，
整理得 $x^2-130x+4\ 125=0$，
解得 $x_1=55,x_2=75$。
$\because$要让利于顾客，
$\therefore x=55$。
故该蜂蜜的售价应定为 55 元。
解析
【分析】
(1) 由图像可知y是x的一次函数，因此设函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将图像上给出的两个已知点$(50,500)$、$(60,400)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到函数表达式。
(2) 销售利润=每千克利润×销售量，每千克利润为售价减去进价30元，销售量为第一问求得的y，据此列一元二次方程，解方程得到两个解后，结合“让利于顾客”的要求，选择更低的售价即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），
将$(50,500)$、$(60,400)$的坐标代入解析式得：
$\begin{cases}50k+b=500\\60k+b=400\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=1000\end{cases}$
故y关于x的函数表达式为$y=-10x+1000$。
(2) 由题意得总利润满足：
$(x-30)(-10x+1000)=11250$
整理得$x^2-130x+4125=0$
解得$x_1=55,x_2=75$
$\because$要让利于顾客，需选择更低的售价，
$\therefore x=55$。
【答案】
(1) $y=-10x+1000$；(2) 55元
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合函数图像考查一次函数与一元二次方程的实际应用，解题时需要先从图像提取坐标信息求出函数关系式，再结合利润公式列方程求解，最后要注意结合实际要求对方程的解进行取舍，考查学生的信息提取能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 由图像可知y是x的一次函数，因此设函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将图像上给出的两个已知点$(50,500)$、$(60,400)$代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，得到函数表达式。
(2) 销售利润=每千克利润×销售量，每千克利润为售价减去进价30元，销售量为第一问求得的y，据此列一元二次方程，解方程得到两个解后，结合“让利于顾客”的要求，选择更低的售价即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），
将$(50,500)$、$(60,400)$的坐标代入解析式得：
$\begin{cases}50k+b=500\\60k+b=400\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=1000\end{cases}$
故y关于x的函数表达式为$y=-10x+1000$。
(2) 由题意得总利润满足：
$(x-30)(-10x+1000)=11250$
整理得$x^2-130x+4125=0$
解得$x_1=55,x_2=75$
$\because$要让利于顾客，需选择更低的售价，
$\therefore x=55$。
【答案】
(1) $y=-10x+1000$；(2) 55元
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合函数图像考查一次函数与一元二次方程的实际应用，解题时需要先从图像提取坐标信息求出函数关系式，再结合利润公式列方程求解，最后要注意结合实际要求对方程的解进行取舍，考查学生的信息提取能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
8.某服装店以每件30元的价格购进一批T恤。如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往的销售经验，售价每提高1元，月销售量就会减少10件，设T恤的售价提高x元。
(1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的售价应提高多少元？
(2)当售价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
(1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的售价应提高多少元？
(2)当售价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
答案
8. 解:(1)由题意得$(x+40-30)(300-10x)=3\ 360$，
解得 $x_1=2,x_2=18$。
$\because$要尽可能减少库存，
$\therefore x_2=18$(不符合题意,故舍去)。
故 T 恤的售价应提高 2 元。
(2)设月利润为 M 元,由题意可得
$M=(x+40-30)(300-10x)=-10x^2+200x+3\ 000=-10(x-10)^2+4\ 000$，
$\therefore$当 $x=10$ 时,M 取得最大值 4 000，
此时,售价为 $40+10=50$(元)。
故当售价定为 50 元时,该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大,最大利润是4 000元。
解得 $x_1=2,x_2=18$。
$\because$要尽可能减少库存，
$\therefore x_2=18$(不符合题意,故舍去)。
故 T 恤的售价应提高 2 元。
(2)设月利润为 M 元,由题意可得
$M=(x+40-30)(300-10x)=-10x^2+200x+3\ 000=-10(x-10)^2+4\ 000$，
$\therefore$当 $x=10$ 时,M 取得最大值 4 000，
此时,售价为 $40+10=50$(元)。
故当售价定为 50 元时,该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大,最大利润是4 000元。
解析
【分析】
本题是销售利润类应用题，解题核心是牢记“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。
(1) 先推导两个核心量：提价x元后，单件利润为（提价后售价-进价）即$(40+x-30)$元；销售数量随提价减少，每提1元销量减10件，因此销量为$(300-10x)$件。令总利润等于3360即可列一元二次方程求解，最后结合“尽可能减少库存”的要求，销量越大库存越少，因此x越小越符合要求，对求得的根进行取舍即可。
(2) 求最大利润时，将总利润表示为关于x的二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处对应利润最大值，通过配方法求出顶点坐标，即可得到最大利润及对应售价。
【解析】
(1) 由题意列方程得：
$(x+40-30)(300-10x)=3360$
解得 $x_1=2,x_2=18$
∵要尽可能减少库存，需保证销售量尽可能大，x越小销售量越高，因此$x_2=18$不符合题意，舍去。
(2) 设月利润为M元，由题意可得：
$M=(x+40-30)(300-10x)$
$=-10x^2+200x+3000$
$=-10(x-10)^2+4000$
∵$-10＜0$，
∴当$x=10$时，M取得最大值4000元，此时售价为$40+10=50$元。
【答案】
(1) T恤的售价应提高2元；
(2) 当售价定为50元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大，最大利润是4000元。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 二次函数最值
3. 销售利润计算
【点评】
本题是销售利润问题的典型考法，既考查了一元二次方程的列式求解与实际情境下的解的取舍，也考查了二次函数求最值的应用，解题关键是准确梳理单价、销量、利润三者的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题是销售利润类应用题，解题核心是牢记“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。
(1) 先推导两个核心量：提价x元后，单件利润为（提价后售价-进价）即$(40+x-30)$元；销售数量随提价减少，每提1元销量减10件，因此销量为$(300-10x)$件。令总利润等于3360即可列一元二次方程求解，最后结合“尽可能减少库存”的要求，销量越大库存越少，因此x越小越符合要求，对求得的根进行取舍即可。
(2) 求最大利润时，将总利润表示为关于x的二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处对应利润最大值，通过配方法求出顶点坐标，即可得到最大利润及对应售价。
【解析】
(1) 由题意列方程得：
$(x+40-30)(300-10x)=3360$
解得 $x_1=2,x_2=18$
∵要尽可能减少库存，需保证销售量尽可能大，x越小销售量越高，因此$x_2=18$不符合题意，舍去。
(2) 设月利润为M元，由题意可得：
$M=(x+40-30)(300-10x)$
$=-10x^2+200x+3000$
$=-10(x-10)^2+4000$
∵$-10＜0$，
∴当$x=10$时，M取得最大值4000元，此时售价为$40+10=50$元。
【答案】
(1) T恤的售价应提高2元；
(2) 当售价定为50元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大，最大利润是4000元。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 二次函数最值
3. 销售利润计算
【点评】
本题是销售利润问题的典型考法，既考查了一元二次方程的列式求解与实际情境下的解的取舍，也考查了二次函数求最值的应用，解题关键是准确梳理单价、销量、利润三者的数量关系。
【难度系数】
0.7
