定义:只含有个未知数,且含未知数项的次数为的方程,叫作一元二次方程。
一般形式:。
基本解法:、、。
根的判别式:
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\{\begin{array}{l}①当\Delta \_\_\_\_\_\_0时,方程有两个不相等的实数根;\\②当\Delta \_\_\_\_\_\_0时,方程有两个相等的$$实数根;\\③当\Delta \_\_\_\_\_\_0时,方程没有实数根。\end{array} $
求根公式:$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac \_\_\_\_\_\_ 0)$。
根与系数的关系:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, x_1x_2 = \frac{c}{a}$。

一 最高 2 整式
$ax^2 + bx + c = 0(a,b,c 为常数,a≠0)$
配方法
公式法
因式分解法
＞
=
＜
≥

【分析】
这道题考查一元二次方程的相关基础概念，所有填空内容均为一元二次方程模块的核心识记知识点，解题时依次回忆对应概念内容填写即可：首先回忆一元二次方程的定义要素，包括未知数个数、含未知数项的次数、方程的类型；再回忆它的一般形式，注意不要遗漏$a≠0$的限制条件；接下来回忆常见的三种基本解法；然后对应根的判别式的三种取值对应的根的情况填写符号；最后明确求根公式的适用前提是判别式非负，对应填写符号即可。
【解析】
我们依次对应概念填写：
1. 一元二次方程的定义：只含有1个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，因此四个空依次填一、最高、2、整式；
2. 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$，其中a、b、c为常数，且$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数不为2，不再是一元二次方程；
3. 一元二次方程的基本解法有三种：配方法、公式法、因式分解法；
4. 根的判别式的取值和根的对应关系：
① 当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；
② 当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
③ 当$\Delta ＜ 0$时，根号下的数为负无实数意义，因此方程没有实数根；
5. 求根公式中根号内的表达式需非负才有实数意义，因此适用条件为$b^2-4ac≥ 0$。
【答案】
一 最高 2 整式
$ax^2 + bx + c = 0(a,b,c 为常数,a≠0)$
配方法
公式法
因式分解法
＞
=
＜
≥
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的解法，根的判别式
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查的都是一元二次方程模块的核心基础内容，是后续学习一元二次方程应用、综合题型的必备基础，需要熟练记忆并掌握。
【难度系数】
0.9

1. 下列是一元二次方程的是()。

A.$2x + 1 = 0$
B.$y^2 + x = 1$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$\frac{1}{x} = 1$

1.C

【分析】
要判断哪个选项是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个核心判定条件：1.是整式方程（分母中不含未知数）；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件逐一排查，就能选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确一元二次方程需同时满足三个条件：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2，二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：方程$2x + 1 = 0$中未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求；
B选项：方程$y^2 + x = 1$中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
C选项：方程$x^2 + 2x + 3 = 0$同时满足三个判定条件，属于一元二次方程，符合要求；
D选项：方程$\frac{1}{x} = 1$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.整式方程的判定 3.分式方程的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对一元二次方程定义的理解，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定条件，排查时注意不要忽略“整式方程”这一前提，避免误判分式方程。
【难度系数】
0.9

2.若关于x的方程$(m-2)x^{|m|}+3x+2=0$是一元二次方程，则m的值为（）。

A.2
B.－2
C.$\pm2$
D.1

2.B

【分析】
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程需要同时满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，方程会降次，不再属于二次方程）。我们可以根据这两个条件分别列出关系式，联立求解即可得到正确的m值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，可列以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
2. 二次项系数不为0：$m-2≠0$，解得$m≠2$。
联立两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选C选项，解题时要牢记一元二次方程定义的两个核心要求，不要漏看隐含的约束条件。
【难度系数】
0.7

3.方程$2x^2=3(x-6)$化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是()。

A.2,3,−6
B.2,−3,18
C.2,−3,6
D.2,3,6

3.B

【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先对原方程去括号，再通过移项将所有项移到等号左侧，整理为一般形式，最后对应识别三个系数即可，注意移项时要变号，去括号不要漏乘项。
【解析】
第一步：对原方程去括号：
$2x^2 = 3(x-6)$
根据乘法分配律去括号得：$2x^2 = 3x - 18$
第二步：移项整理为一般形式，将等号右侧的项全部移到左侧，移项变号：
$2x^2 - 3x + 18 = 0$
第三步：对应识别系数：二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为18，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号法则
3. 移项法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的辨识，解题时需注意去括号时的乘法分配律应用以及移项的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9

4.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx -4=0$的一个实数根是$x=1$，则代数式$27 -a -b$的值为（）。

A.－23
B.23
C.－24
D.24

4.B

【分析】
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知的实根x=1代入原方程，可得到a与b的数量关系；再观察所求代数式的结构，将代数式变形为含有a+b的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2+bx-4=0$的实数根，
∴将x=1代入方程，得：
$a×1^2 + b×1 -4 = 0$
化简得：$a + b = 4$
对代数式$27 -a -b$变形，提取负号可得：
$27 -a -b = 27 - (a + b)$
将$a + b=4$代入上式，得：
$27 - 4 = 23$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整体代入求值
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用方程根的定义得到系数的关系，再结合整体代入思想简化计算，避免了无意义的单独求a、b值的步骤，考查学生对基础概念的掌握和代数式变形的能力。
【难度系数】
0.85

5.用配方法解方程$3x^2 -6x +2=0$，将方程变为$(x - m)^2=\frac{1}{3}$的形式，则$m$的值为。

5.1

【分析】
本题要求用配方法将一元二次方程变形为指定形式求解m的值，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧整理为完全平方式，最后对比题目给出的$(x - m)^2=\frac{1}{3}$的形式，即可求出m的值。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +2=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x + \frac{2}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -2x = -\frac{2}{3}$；
3. 配方：等号两边同时加一次项系数-2一半的平方，即$(-1)^2=1$，可得：
$x^2 -2x +1 = -\frac{2}{3} +1$
左侧整理为完全平方式，右侧计算化简得：$(x-1)^2 = \frac{1}{3}$
将该式与$(x - m)^2=\frac{1}{3}$对比，可得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用类题目，熟练掌握配方法的操作流程，尤其是注意配方前必须先将二次项系数化为1，再添加一次项系数一半的平方凑完全平方式是解题的核心。
【难度系数】
0.8

6.若关于x的方程$mx^2 - 2x + 5 = 0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是。

6.$m＜\frac{1}{5}且m≠0$

【分析】
要解决这个问题，首先明确“方程有两个不相等的实数根”说明该方程为一元二次方程，因此需要同时满足两个条件：①二次项系数不为0，避免方程退化为一元一次方程（一元一次方程最多只有1个根）；②一元二次方程根的判别式Δ＞0，保证有两个不相等的实根。接下来先列出两个约束条件，再分别求解，最后合并取值范围即可。
【解析】
∵ 关于x的方程$mx^2 - 2x + 5 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 该方程为一元二次方程，需同时满足：
1. 二次项系数不为0：$\boldsymbol{m ≠ 0}$；
2. 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m$，$b=-2$，$c=5$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × m × 5 ＞ 0$
$4 - 20m ＞ 0$
移项化简得：$20m ＜ 4$
解得：$\boldsymbol{m ＜ \frac{1}{5}}$
综合两个约束条件，可得m的取值范围是$m ＜ \frac{1}{5}$且$m ≠ 0$。
【答案】
$m＜\frac{1}{5}且m≠0$
【知识点】
1. 一元二次方程定义
2. 根的判别式应用
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，解题的易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到$m＜\frac{1}{5}$的错误结果。遇到涉及“方程有两个实根”类的问题时，要优先确认二次项系数不为0，再结合判别式列式求解。
【难度系数】
0.6

7.菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是关于x的方程$x^2 -9x +20=0$的一个根，则菱形ABCD的面积为。

7.$6\sqrt{7}或24$

【分析】
解题时可按照以下思路思考：①先求解一元二次方程，得到边AB的两个可能取值；②结合菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，因此边长、两条对角线的一半可构成直角三角形，满足勾股定理；③分别将两个可能的边长代入，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，同时验证三角形三边关系，确保图形可构成；④最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半，计算两种情况的面积即可。
【解析】
第一步：求解方程$x^2 -9x +20=0$
因式分解得$(x-4)(x-5)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=5$，即边AB的长为4或5。
第二步：分情况计算菱形面积
菱形的对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，则该对角线的一半长为$6÷2=3$。
①当$AB=4$时：
由勾股定理可得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，因此另一条对角线长为$2\sqrt{7}$。
菱形面积$S=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{7}=6\sqrt{7}$。
②当$AB=5$时：
由勾股定理可得，另一条对角线的一半长为$\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此另一条对角线长为$2×4=8$。
菱形面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$。
两种情况均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
$6\sqrt{7}或24$
【知识点】
一元二次方程的解法、菱形的性质、菱形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，重点考查分类讨论思想，解题时要注意对边长的所有可能取值逐一验证，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8. 一元二次方程 $x^2 - 3x + 1 = 0$ 的两个根为 $x_1, x_2$，则 $x_1^2 - 3x_1 + x_1x_2$ 的值为 。

8.0

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根的定义，因为x₁是方程的根，将其代入原方程可直接求出$x_1^2 - 3x_1$的值；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之积$x_1x_2$的值，最后将两部分结果整体代入所求代数式计算即可，无需解出方程的具体根，简化计算过程。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，
即$x_1^2 - 3x_1 = -1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1,c=1$，
∴$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
将$x_1^2 - 3x_1 = -1$、$x_1x_2=1$代入所求代数式：
$x_1^2 - 3x_1 + x_1x_2 = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题型，核心考察整体代入的思想，无需解出方程的根即可快速计算，既可以检验学生对基础知识点的掌握程度，也能引导学生灵活运用简便方法解题，避免复杂运算。
【难度系数】
0.8