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知识点一 反比例函数的定义
一般地，形如
一般地，形如
$y=\dfrac{k}{x}$
（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数。答案
$y=\dfrac{k}{x}$
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，考查反比例函数的定义，解题时直接回忆教材中反比例函数的标准形式即可作答，无需额外推导计算，准确记忆定义内容就能得出答案。
【解析】
根据教材中反比例函数的定义：一般地，形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠ 0$）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数，因此横线处填写该式即可。
【答案】
$y=\dfrac{k}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对核心基础定义的记忆掌握情况，牢记课本概念即可快速解答，是送分类题目。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，考查反比例函数的定义，解题时直接回忆教材中反比例函数的标准形式即可作答，无需额外推导计算，准确记忆定义内容就能得出答案。
【解析】
根据教材中反比例函数的定义：一般地，形如$y=\dfrac{k}{x}$（k为常数，$k≠ 0$）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数，因此横线处填写该式即可。
【答案】
$y=\dfrac{k}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对核心基础定义的记忆掌握情况，牢记课本概念即可快速解答，是送分类题目。
【难度系数】
0.9
·练习1 已知关于$x$的函数$y=\frac{k+3}{x^{|k|-2}}$是反比例函数，求$k$的值.
易错提醒 根据反比例函数解析式的形式，注意自变量的次数是－1，且比例系数$k≠0$.
易错提醒 根据反比例函数解析式的形式，注意自变量的次数是－1，且比例系数$k≠0$.
答案
k=3
解析
【分析】
要解决这个问题，需紧扣反比例函数的定义，明确反比例函数需满足两个核心条件：①自变量x的次数为-1（即分母中x的次数为1）；②比例系数不为0。解题时先根据x的次数要求列方程求出k的可能取值，再根据比例系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵函数$y=\frac{k+3}{x^{|k|-2}}$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义，需同时满足两个条件：
1. 自变量x的次数符合要求：
$|k|-2=1$
解得：$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$
2. 比例系数不为0：
$k+3≠0$，即$k≠-3$
综合两个条件，排除$k=-3$，可得$k=3$。
【答案】
$k=3$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题的核心是牢记反比例函数的两个限制条件，切勿只根据自变量次数的要求求解，忽略比例系数不为0的限制导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需紧扣反比例函数的定义，明确反比例函数需满足两个核心条件：①自变量x的次数为-1（即分母中x的次数为1）；②比例系数不为0。解题时先根据x的次数要求列方程求出k的可能取值，再根据比例系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵函数$y=\frac{k+3}{x^{|k|-2}}$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义，需同时满足两个条件：
1. 自变量x的次数符合要求：
$|k|-2=1$
解得：$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$
2. 比例系数不为0：
$k+3≠0$，即$k≠-3$
综合两个条件，排除$k=-3$，可得$k=3$。
【答案】
$k=3$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题的核心是牢记反比例函数的两个限制条件，切勿只根据自变量次数的要求求解，忽略比例系数不为0的限制导致错解。
【难度系数】
0.7
·练习2 已知y是x的反比例函数，并且当$x=3$时，$y=6$。
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当$x=2$时，求y的值。
方法总结 利用待定系数法求反比例函数解析式：在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的解析式，然后把满足反比例函数关系的一组对应值代入设出的解析式中构造方程，解方程求出待定系数，从而确定反比例函数的解析式。
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当$x=2$时，求y的值。
方法总结 利用待定系数法求反比例函数解析式：在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的解析式，然后把满足反比例函数关系的一组对应值代入设出的解析式中构造方程，解方程求出待定系数，从而确定反比例函数的解析式。
答案
(1) $y=\dfrac{18}{x}$
(2) 9
(2) 9
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：
(1) 已知y是x的反比例函数，根据反比例函数的定义，先设出反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$，$k$为常数），再将已知的$x=3$、$y=6$代入解析式，即可求出待定系数$k$的值，进而确定函数解析式。
(2) 第一问已求出函数解析式，直接将$x=2$代入解析式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
把$x=3$，$y=6$代入解析式得：
$6=\frac{k}{3}$
解得：$k=3×6=18$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 把$x=2$代入$y=\frac{18}{x}$得：
$y=\frac{18}{2}=9$
【答案】
(1) $y=\dfrac{18}{x}$
(2) 9
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求函数解析式
3. 函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查待定系数法求反比例函数解析式的步骤，以及代入自变量求对应函数值的方法，掌握反比例函数的基本表达形式是解题的前提，属于要求熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的基础应用，解题思路如下：
(1) 已知y是x的反比例函数，根据反比例函数的定义，先设出反比例函数的标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$，$k$为常数），再将已知的$x=3$、$y=6$代入解析式，即可求出待定系数$k$的值，进而确定函数解析式。
(2) 第一问已求出函数解析式，直接将$x=2$代入解析式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$）。
把$x=3$，$y=6$代入解析式得：
$6=\frac{k}{3}$
解得：$k=3×6=18$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 把$x=2$代入$y=\frac{18}{x}$得：
$y=\frac{18}{2}=9$
【答案】
(1) $y=\dfrac{18}{x}$
(2) 9
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求函数解析式
3. 函数值的计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查待定系数法求反比例函数解析式的步骤，以及代入自变量求对应函数值的方法，掌握反比例函数的基本表达形式是解题的前提，属于要求熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
•练习3 在下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是(
A.将长40 m的绳子剪去x m，还剩y m
B.买单价为3元/本的笔记本x本，花了y元
C.正方形的面积为S，边长为a
D.菱形的面积为20，对角线的长分别为x，y
D
).A.将长40 m的绳子剪去x m，还剩y m
B.买单价为3元/本的笔记本x本，花了y元
C.正方形的面积为S，边长为a
D.菱形的面积为20，对角线的长分别为x，y
答案
D
解析
【分析】
解题首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k\ne0$）的形式，核心特征是两个变量的乘积为固定的非零常数。解题时我们只需要逐个推导每个选项中两个变量的函数关系式，再对照反比例函数的定义判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：绳子总长40m，剪去$x$m后剩余$y$m，可得关系式$y=40-x$，属于一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项B：根据“总价=单价×数量”，可得关系式$y=3x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项C：根据正方形面积公式，可得$S=a^2$，属于二次函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项D：菱形面积等于对角线乘积的一半，已知面积为20，因此$\frac{1}{2}xy=20$，整理得$xy=40$，即$y=\frac{40}{x}$，符合反比例函数的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念；函数关系式的建立；常见函数类型识别
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查对不同函数类型的区分，解题的关键是熟练掌握反比例函数的形式特征，同时结合常见数量关系、几何公式准确列出函数表达式再进行判断，注意不要混淆各类函数的形式特点。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k\ne0$）的形式，核心特征是两个变量的乘积为固定的非零常数。解题时我们只需要逐个推导每个选项中两个变量的函数关系式，再对照反比例函数的定义判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：绳子总长40m，剪去$x$m后剩余$y$m，可得关系式$y=40-x$，属于一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项B：根据“总价=单价×数量”，可得关系式$y=3x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项C：根据正方形面积公式，可得$S=a^2$，属于二次函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项D：菱形面积等于对角线乘积的一半，已知面积为20，因此$\frac{1}{2}xy=20$，整理得$xy=40$，即$y=\frac{40}{x}$，符合反比例函数的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念；函数关系式的建立；常见函数类型识别
【点评】
本题属于基础题型，侧重考查对不同函数类型的区分，解题的关键是熟练掌握反比例函数的形式特征，同时结合常见数量关系、几何公式准确列出函数表达式再进行判断，注意不要混淆各类函数的形式特点。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数不是反比例函数的是(
A.$y=\dfrac{2026}{x}$
B.$y=2026x^{-1}$
C.$xy=2026$
D.$y=\dfrac{x}{2026}$
D
).A.$y=\dfrac{2026}{x}$
B.$y=2026x^{-1}$
C.$xy=2026$
D.$y=\dfrac{x}{2026}$
答案
1. D
解析
【分析】
解答本题的核心是掌握反比例函数的定义及三种等价表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题时先明确上述三种形式，再逐一将选项与三种形式对比，即可判断出不符合的选项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，它有两种等价变形形式：$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）、$xy=k$（$k\ne0$）。
逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{2026}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式（$k=2026\ne0$），是反比例函数；
选项B：$y=2026x^{-1}$，符合$y=kx^{-1}$的形式（$k=2026\ne0$），是反比例函数；
选项C：$xy=2026$，变形可得$y=\frac{2026}{x}$，符合$xy=k$的形式（$k=2026\ne0$），是反比例函数；
选项D：$y=\frac{x}{2026}$可整理为$y=\frac{1}{2026}x$，属于正比例函数，不是反比例函数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念；正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生熟练掌握反比例函数的三种常见表达形式，做题时要注意区分反比例函数与正比例函数的表达式特征，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是掌握反比例函数的定义及三种等价表达形式：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）；②$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）；③$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）。解题时先明确上述三种形式，再逐一将选项与三种形式对比，即可判断出不符合的选项。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，它有两种等价变形形式：$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）、$xy=k$（$k\ne0$）。
逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{2026}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式（$k=2026\ne0$），是反比例函数；
选项B：$y=2026x^{-1}$，符合$y=kx^{-1}$的形式（$k=2026\ne0$），是反比例函数；
选项C：$xy=2026$，变形可得$y=\frac{2026}{x}$，符合$xy=k$的形式（$k=2026\ne0$），是反比例函数；
选项D：$y=\frac{x}{2026}$可整理为$y=\frac{1}{2026}x$，属于正比例函数，不是反比例函数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念；正比例函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生熟练掌握反比例函数的三种常见表达形式，做题时要注意区分反比例函数与正比例函数的表达式特征，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.9
2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压$p$(单位:kPa)随气球内气体的体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的变化而变化，$p$随$V$的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压$p$与气球内气体的体积$V$的函数关系最可能是(
A.正比例函数
B.一次函数
C.二次函数
D.反比例函数
D
).A.正比例函数
B.一次函数
C.二次函数
D.反比例函数
答案
2. D
解析
【分析】
要判断p与V的函数类型，首先回忆不同函数的核心特征：正比例函数要求两个变量的比值为定值，一次函数符合$p=kV+b$（$k≠0$）的线性关系，反比例函数要求两个变量的乘积为定值，二次函数为二次多项式关系。解题时先计算每组p和V的乘积，验证是否为定值，再匹配对应的函数类型即可。
【解析】
我们依次计算表格中每组p与V的乘积：
1. 当$V=64\mathrm{m}^3$，$p=1.5\mathrm{kPa}$时，$pV=64×1.5=96$；
2. 当$V=48\mathrm{m}^3$，$p=2\mathrm{kPa}$时，$pV=48×2=96$；
3. 当$V=38.4\mathrm{m}^3$，$p=2.5\mathrm{kPa}$时，$pV=38.4×2.5=96$；
4. 当$V=32\mathrm{m}^3$，$p=3\mathrm{kPa}$时，$pV=32×3=96$；
5. 当$V=24\mathrm{m}^3$，$p=4\mathrm{kPa}$时，$pV=24×4=96$。
可见p与V的乘积为固定值96，即$p=\frac{96}{V}$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的定义，因此二者的函数关系为反比例函数。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数类型的判定
【点评】
本题考查根据实际变量的对应数据判断函数类型，解题的核心是抓住反比例函数“两变量乘积为定值”的特征，通过简单计算即可得出结论，是对函数基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要判断p与V的函数类型，首先回忆不同函数的核心特征：正比例函数要求两个变量的比值为定值，一次函数符合$p=kV+b$（$k≠0$）的线性关系，反比例函数要求两个变量的乘积为定值，二次函数为二次多项式关系。解题时先计算每组p和V的乘积，验证是否为定值，再匹配对应的函数类型即可。
【解析】
我们依次计算表格中每组p与V的乘积：
1. 当$V=64\mathrm{m}^3$，$p=1.5\mathrm{kPa}$时，$pV=64×1.5=96$；
2. 当$V=48\mathrm{m}^3$，$p=2\mathrm{kPa}$时，$pV=48×2=96$；
3. 当$V=38.4\mathrm{m}^3$，$p=2.5\mathrm{kPa}$时，$pV=38.4×2.5=96$；
4. 当$V=32\mathrm{m}^3$，$p=3\mathrm{kPa}$时，$pV=32×3=96$；
5. 当$V=24\mathrm{m}^3$，$p=4\mathrm{kPa}$时，$pV=24×4=96$。
可见p与V的乘积为固定值96，即$p=\frac{96}{V}$，符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的定义，因此二者的函数关系为反比例函数。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 函数类型的判定
【点评】
本题考查根据实际变量的对应数据判断函数类型，解题的核心是抓住反比例函数“两变量乘积为定值”的特征，通过简单计算即可得出结论，是对函数基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
