3.某工厂现有原材料100 t，平均每天用去x t，这批原材料能用y天，则y关于x的函数解析式为().

A.$y=100x$
B.$y=\dfrac{100}{x}$
C.$y=\dfrac{x}{2}+10$
D.$y=100-x$

3. B

【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：原材料总质量固定为100t，总质量、日均使用量、使用天数三者满足“总质量=日均使用量×使用天数”的等量关系。我们需要得到y关于x的函数解析式，只需将已知量代入等量关系，再将等式变形为y单独在等号一侧的形式即可，注意x作为日均用量是正数，取值有意义。
【解析】
根据题意可得等量关系：$\mathrm{平均每天使用量} × \mathrm{使用天数} = \mathrm{原材料总质量}$，
代入已知数据得：$x · y = 100$，
由于日均用量$x＞0$，将等式变形为用$x$表示$y$的形式，可得$y=\dfrac{100}{x}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 实际问题列函数解析式
2. 反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础应用题，核心是抓住总量不变的特征，找准三者的数量关系即可快速求解，是反比例函数概念的基础考查题型。
【难度系数】
0.9

4.(教材P85复习题T1变式)在①$y=-\dfrac{3}{5x}$，②$y=\dfrac{1}{2}x^{-1}$，③$y=\dfrac{1}{x}+1$，④$y=\dfrac{a+1}{x}(a≠-1)$四个函数中，为反比例函数的是(填序号).

4. ①②④

【分析】
要判断给定函数是否为反比例函数，首先需明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，也可写作$y=kx^{-1}(k≠0)$的形式。判断时需满足3个条件：1. 表达式可整理为上述两种形式之一；2. 常数$k≠0$；3. 表达式中不含除$x$的负一次项或分式项外的其他项。接下来逐个验证四个函数即可。
【解析】
首先明确反比例函数的判定标准：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）或$y=kx^{-1}(k≠0)$的函数是反比例函数。
对四个函数逐一分析：
①$y=-\dfrac{3}{5x}$可变形为$y=\dfrac{-\dfrac{3}{5}}{x}$，其中$k=-\dfrac{3}{5}≠0$，符合反比例函数定义；
②$y=\dfrac{1}{2}x^{-1}$可变形为$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x}$，其中$k=\dfrac{1}{2}≠0$，符合反比例函数定义；
③$y=\dfrac{1}{x}+1$右侧含有常数项$1$，无法整理为$y=\frac{k}{x}$的形式，不属于反比例函数；
④$y=\dfrac{a+1}{x}(a≠-1)$，可得$k=a+1≠0$，符合反比例函数定义。
综上，是反比例函数的为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查反比例函数的识别，解题的关键是熟练掌握反比例函数的标准形式和变形形式，判断时注意核实常数项$k$不为0，且表达式没有额外的常数加项即可。
【难度系数】
0.8

5.已知$y=(m^2 + 2m)x^{m^2 - m -1}$是关于$x$的反比例函数，求$(m - 2)^{2027}$的值.

$-1$

【分析】
要解决这道题，首先要明确反比例函数的定义：形如$y = kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，因此需要同时满足两个条件：①x的指数为-1；②x的系数不为0。我们先根据这两个条件列出关于m的方程和不等式，求解得到符合要求的m值，再将m代入$(m - 2)^{2027}$计算结果即可。
【解析】
解：
∵$y=(m^2 + 2m)x^{m^2 - m -1}$是关于x的反比例函数，
∴根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - m - 1 = -1 \quad \mathrm{(1)} \\m^2 + 2m ≠ 0 \quad \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
解方程(1)：
移项得$m^2 - m = 0$，
因式分解得$m(m - 1) = 0$，
解得$m = 0$或$m = 1$。
解不等式(2)：
因式分解得$m(m + 2) ≠ 0$，
即$m ≠ 0$且$m ≠ -2$。
结合方程(1)的解和不等式(2)的限制，可得$m = 1$。
将$m=1$代入$(m - 2)^{2027}$得：
原式$=(1 - 2)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
反比例函数的定义，解一元二次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查反比例函数概念的应用，解题的易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的限制条件，导致求出错误的m值，此外计算奇数次幂时要注意负数的奇数次幂仍为负数，避免符号错误。
【难度系数】
0.6

6.(教材P66习题T3变式)已知$y$与$x^2$成反比例，且当$x=-2$时，$y=2$，那么当$x=4$时，$y$的值为().

A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-4$

6. C

【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据“y与x²成反比例”的条件，结合反比例的定义，设出对应的函数解析式；第二步，将已知的x=-2、y=2代入解析式，用待定系数法求出常数k的值，确定完整的函数表达式；第三步，把x=4代入确定好的解析式，计算得到对应的y值即可。注意不要误将解析式设为y=k/x，要明确是与x²成反比例。
【解析】
解：
∵ y与x²成反比例，
∴ 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x^2} $（$ k ≠ 0 $，k为常数）。
将$ x=-2 $，$ y=2 $代入解析式，得：
$ 2 = \frac{k}{(-2)^2} $
即$ 2 = \frac{k}{4} $，解得$ k=8 $。
∴ 该函数的解析式为 $ y = \frac{8}{x^2} $。
当$ x=4 $时，代入解析式得：
$ y = \frac{8}{4^2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对反比例关系的理解，解题的关键是准确根据“与x²成反比例”设对解析式，熟练运用待定系数法求解即可，注意审题不要将自变量的次数看错。
【难度系数】
0.8

7.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E为BC边上的一个动点(点E不与点B,C重合),连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为F.设AE,DF的长度分别为x,y,则y关于x的函数解析式为().


A.$y=\dfrac{15}{x}$
B.$y=\dfrac{5}{3}x$
C.$y=\dfrac{3}{5}x$
D.$y=3x+5$

7. A

【分析】
解题时可先连接DE，结合矩形性质可知△ADE的面积是矩形ABCD面积的一半，为固定值。同时△ADE的面积还可以用底AE、高DF来计算，由此建立x与y的等量关系，整理后即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴矩形ABCD的面积$S_{矩形ABCD}=AB× BC=3×5=15$，
△ADE的面积为矩形面积的一半，即$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×15=\frac{15}{2}$，
又
∵DF⊥AE，AE=x，DF=y，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× AE× DF=\frac{1}{2}xy$，
联立得$\frac{1}{2}xy=\frac{15}{2}$，化简得$xy=15$，即$y=\frac{15}{x}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；三角形面积计算；反比例函数解析式
【点评】
本题巧妙利用面积法建立变量之间的等量关系，避免了复杂的相似三角形证明，是求解函数关系的常用思路，解题的核心是发现△ADE的面积为定值。
【难度系数】
0.7

8.研究发现,人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈,圆圈的半径$ R $(单位:$ m $)是其两腿迈出的步长差$ d $(单位:$ m $)($ d＞0 $)的反比例函数.当一个人的两腿迈出的步长差$ d $为$ 0.02 \ m $时,他蒙上眼睛所走的圆圈的半径$ R $是$ 7 \ m $.写出$ R $关于$ d $的函数解析式:.

8. $R=\dfrac{0.14}{d}$

【分析】
已知R是d的反比例函数，我们可以先根据反比例函数的一般形式设出函数解析式，再将题目给出的d与R的对应值代入解析式，求出未知常数k的值，即可得到R关于d的函数解析式。
【解析】
∵ R是d的反比例函数，
∴ 设R关于d的函数解析式为$R=\dfrac{k}{d}$（$k≠ 0$，$d＞0$）。
将$d=0.02\ \mathrm{m}$，$R=7\ \mathrm{m}$代入解析式，得：
$7=\dfrac{k}{0.02}$
解得$k=7×0.02=0.14$。
将$k=0.14$代入所设解析式，得$R=\dfrac{0.14}{d}$（$d＞0$）。
【答案】
$R=\dfrac{0.14}{d}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握反比例函数的一般形式和待定系数法求函数解析式的步骤，结合题目给出的对应值即可求出结果。
【难度系数】
0.9

9.已知$y=y_1+2y_2$，并且$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x-2$成反比例，且当$x=-2$时，$y=-7$，当$x=3$时，$y=13$，求$y$关于$x$的函数解析式。

$y=3x+\dfrac{4}{x-2}$

【分析】
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式：$y_1$与$x$成正比例，可设$y_1=k_1x$（$k_1$为常数，$k_1≠0$）；$y_2$与$x-2$成反比例，可设$y_2=\frac{k_2}{x-2}$（$k_2$为常数，$k_2≠0$）。再结合$y=y_1+2y_2$得到含未知参数$k_1$、$k_2$的$y$关于$x$的表达式，最后将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组，求解出参数后代回表达式即可得到最终解析式。
【解析】
1. 设函数表达式：
设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x-2}$（$k_2≠0$），
由$y=y_1+2y_2$，代入得：$y=k_1x+\frac{2k_2}{x-2}$。
2. 代入已知条件列方程组：
将$x=-2$，$y=-7$代入得：
$-7=-2k_1+\frac{2k_2}{-2-2}$，整理得$4k_1+k_2=14$ ①；
将$x=3$，$y=13$代入得：
$13=3k_1+\frac{2k_2}{3-2}$，整理得$3k_1+2k_2=13$ ②。
3. 解方程组：
①$×2 -$②得：$8k_1+2k_2-3k_1-2k_2=28-13$，
即$5k_1=15$，解得$k_1=3$。
将$k_1=3$代入①得：$4×3+k_2=14$，解得$k_2=2$。
4. 代回得解析式：
把$k_1=3$，$k_2=2$代入$y=k_1x+\frac{2k_2}{x-2}$，得$y=3x+\frac{4}{x-2}$。
【答案】
$y=3x+\dfrac{4}{x-2}$
【知识点】
正比例函数定义；反比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于函数基础题型，核心考查对正、反比例函数概念的理解，以及待定系数法的运用，解题关键是正确区分正、反比例函数的表达式形式，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.7

10.将$x_1=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得的函数值记为$y_1$，将$x_2=y_1+1$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得的函数值记为$y_2$，再将$x_3=y_2+1$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中，所得的函数值记为$y_3$，…，如此继续下去，则在2026个函数值$y_1,y_2,\dots,y_{2026}$中，值为2的情况共出现了次。

10. 675

【分析】
这是一道结合反比例函数求值的规律探究题，解题思路如下：首先按照题目给定的代入规则，依次计算前几个函数值，观察数值的变化规律，找到循环周期；再确定值为2的项在每个周期中的位置；最后用总项数除以周期，结合商和余数统计值为2的总次数即可。
【解析】
1. 计算前几项函数值，寻找周期：
将$x_1=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
$x_2=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
$x_3=y_2+1=2+1=3$，代入得$y_3=-\frac{1}{3}$；
$x_4=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}=x_1$，因此$y_4=y_1=-\frac{3}{2}$，可知函数值每3个为一个循环周期，周期内的数值依次为$-\frac{3}{2},2,-\frac{1}{3}$，每个周期中有1个值为2的项。
2. 统计值为2的次数：
$2026÷3=675······1$，即2026项中包含675个完整周期，余下1项为新周期的第1个项，值为$-\frac{3}{2}$，不是2。
因此值为2的情况共出现675次。
【答案】
675
【知识点】
反比例函数求值；周期规律探究
【点评】
本题将反比例函数的基本运算和规律探究结合，解题核心是通过计算前几项归纳出循环周期，再利用周期规律快速求解，避免了逐项计算的繁琐，能有效考查学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6