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11.如图，抛物线$y_1=ax^2+bx+c$与直线$y_2=mx+n$相交于点$(3,0)$和$(0,3)$。若$ax^2+bx+c＞mx+n$，则$x$的取值范围是
$x＜0,或x＞3$
。答案
11. $x＜0,或x＞3$
解析
【分析】
要解决不等式$ax^2+bx+c＞mx+n$的解集问题，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的图像在直线$y_2=mx+n$图像上方时，对应的横坐标$x$的取值范围。首先找到两个函数图像的交点横坐标为0和3，这两个点将x轴分为三段，分别观察每一段内两个函数图像的上下位置，即可确定解集。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＞mx+n$的解集，对应抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的图象位于直线$y_2=mx+n$图象上方时$x$的取值范围。
由图象可知，两个函数的交点横坐标为$x=0$和$x=3$：
1. 当$x＜0$时，抛物线图象在直线上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$0＜x＜3$时，直线图象在抛物线上方，满足$y_1＜y_2$；
3. 当$x＞3$时，抛物线图象在直线上方，满足$y_1＞y_2$。
因此$ax^2+bx+c＞mx+n$的解集为$x＜0$或$x＞3$。
【答案】
$x＜0$，或$x＞3$
【知识点】
1. 函数图象解不等式
2. 二次函数图象性质
3. 一次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在解不等式中的应用，无需计算函数解析式，只需根据两个函数图象的交点及上下位置关系即可快速得出结果，是对函数图象意义的基础考查。
【难度系数】
0.8
要解决不等式$ax^2+bx+c＞mx+n$的解集问题，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的图像在直线$y_2=mx+n$图像上方时，对应的横坐标$x$的取值范围。首先找到两个函数图像的交点横坐标为0和3，这两个点将x轴分为三段，分别观察每一段内两个函数图像的上下位置，即可确定解集。
【解析】
不等式$ax^2+bx+c＞mx+n$的解集，对应抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的图象位于直线$y_2=mx+n$图象上方时$x$的取值范围。
由图象可知，两个函数的交点横坐标为$x=0$和$x=3$：
1. 当$x＜0$时，抛物线图象在直线上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$0＜x＜3$时，直线图象在抛物线上方，满足$y_1＜y_2$；
3. 当$x＞3$时，抛物线图象在直线上方，满足$y_1＞y_2$。
因此$ax^2+bx+c＞mx+n$的解集为$x＜0$或$x＞3$。
【答案】
$x＜0$，或$x＞3$
【知识点】
1. 函数图象解不等式
2. 二次函数图象性质
3. 一次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在解不等式中的应用，无需计算函数解析式，只需根据两个函数图象的交点及上下位置关系即可快速得出结果，是对函数图象意义的基础考查。
【难度系数】
0.8
三、解答题
12.已知二次函数 $y=-2x^2+bx+c$ 的图象经过 $A(-1,0),B(3,0)$ 两点，求二次函数的解析式。
12.已知二次函数 $y=-2x^2+bx+c$ 的图象经过 $A(-1,0),B(3,0)$ 两点，求二次函数的解析式。
答案
12. $y=-2x^2+4x+6$
解析
【分析】
本题已知二次函数的一般式且二次项系数确定，仅含b、c两个未知参数，同时给出函数图象经过的两个点的坐标。根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，我们可将两个点的坐标分别代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的取值后，回代原解析式即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=-2x^2+bx+c$的图象经过$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点
∴ 将$A(-1,0)$代入解析式得：
$\begin{aligned}0&=-2×(-1)^2 + b×(-1) + c\\0&=-2 - b + c\\c - b &= 2 \quad ①\end{aligned}$
将$B(3,0)$代入解析式得：
$\begin{aligned}0&=-2×3^2 + b×3 + c\\0&=-18 + 3b + c\\3b + c &= 18 \quad ②\end{aligned}$
用②-①消去c得：
$\begin{aligned}3b + c - (c - b) &= 18 - 2\\4b &= 16\\b &= 4\end{aligned}$
将$b=4$代入①得：
$\begin{aligned}c - 4 &= 2\\c &= 6\end{aligned}$
将$b=4$、$c=6$代入原二次函数解析式，得$y=-2x^2+4x+6$
【答案】
$y=-2x^2+4x+6$
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常规题，解题关键是掌握函数图象上的点与解析式的对应关系，熟练运用待定系数法建立方程求解，这类题型是后续学习二次函数综合应用的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题已知二次函数的一般式且二次项系数确定，仅含b、c两个未知参数，同时给出函数图象经过的两个点的坐标。根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，我们可将两个点的坐标分别代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的取值后，回代原解析式即可得到结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=-2x^2+bx+c$的图象经过$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点
∴ 将$A(-1,0)$代入解析式得：
$\begin{aligned}0&=-2×(-1)^2 + b×(-1) + c\\0&=-2 - b + c\\c - b &= 2 \quad ①\end{aligned}$
将$B(3,0)$代入解析式得：
$\begin{aligned}0&=-2×3^2 + b×3 + c\\0&=-18 + 3b + c\\3b + c &= 18 \quad ②\end{aligned}$
用②-①消去c得：
$\begin{aligned}3b + c - (c - b) &= 18 - 2\\4b &= 16\\b &= 4\end{aligned}$
将$b=4$代入①得：
$\begin{aligned}c - 4 &= 2\\c &= 6\end{aligned}$
将$b=4$、$c=6$代入原二次函数解析式，得$y=-2x^2+4x+6$
【答案】
$y=-2x^2+4x+6$
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常规题，解题关键是掌握函数图象上的点与解析式的对应关系，熟练运用待定系数法建立方程求解，这类题型是后续学习二次函数综合应用的重要基础。
【难度系数】
0.9
13.如图,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的解析式；
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,$△ PDB$的面积是$△ CDB$的面积的2倍,求点P的坐标.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,$△ PDB$的面积是$△ CDB$的面积的2倍,求点P的坐标.
答案
13. (1) $y=x^2+x-2$
(2) 点P的坐标为(-3,4).
(2) 点P的坐标为(-3,4).
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式时，已知函数图象经过A(-2,0)、C(0,-2)两个定点，可直接将两点坐标代入二次函数一般式$y=x^2+bx+c$，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出未知系数，进而得到函数解析式。
(2) 观察$△ PDB$和$△ CDB$，两个三角形共底DB，因此面积比等于两个点到x轴的高的比值。结合面积的2倍关系可先求出点P的纵坐标，再将纵坐标代入二次函数解析式求解横坐标，最后结合点P在第二象限的限制条件筛选出符合要求的坐标即可。
【解析】
(1) 将A(-2,0)、C(0,-2)代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}(-2)^2 -2b + c = 0 \\c = -2\end{cases}$
将$c=-2$代入第一个方程，解得$b=1$，
因此二次函数的解析式为$y=x^2+x-2$。
(2) 令$y=0$，即$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$，因此点B坐标为(1,0)。
∵$△ PDB$和$△ CDB$同底DB，且$S_{△ PDB}=2S_{△ CDB}$，
∴点P到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍。
∵C(0,-2)到x轴的距离为2，且点P在第二象限，纵坐标为正，
∴点P的纵坐标为$2×2=4$。
将$y=4$代入$y=x^2+x-2$，得$4=x^2+x-2$，整理得$x^2+x-6=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
∵点P在第二象限，横坐标小于0，
∴$x=-3$，即点P的坐标为(-3,4)。
【答案】
(1) $y=x^2+x-2$
(2) $(-3,4)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问是常规考查题型，熟练掌握待定系数法即可快速求解；第二问的核心是利用同底三角形面积比等于高的比的性质，将面积关系转化为点的坐标特征，简化计算过程，解题时要注意结合点所在象限的坐标符号特征筛选结果，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数解析式时，已知函数图象经过A(-2,0)、C(0,-2)两个定点，可直接将两点坐标代入二次函数一般式$y=x^2+bx+c$，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出未知系数，进而得到函数解析式。
(2) 观察$△ PDB$和$△ CDB$，两个三角形共底DB，因此面积比等于两个点到x轴的高的比值。结合面积的2倍关系可先求出点P的纵坐标，再将纵坐标代入二次函数解析式求解横坐标，最后结合点P在第二象限的限制条件筛选出符合要求的坐标即可。
【解析】
(1) 将A(-2,0)、C(0,-2)代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}(-2)^2 -2b + c = 0 \\c = -2\end{cases}$
将$c=-2$代入第一个方程，解得$b=1$，
因此二次函数的解析式为$y=x^2+x-2$。
(2) 令$y=0$，即$x^2+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$，因此点B坐标为(1,0)。
∵$△ PDB$和$△ CDB$同底DB，且$S_{△ PDB}=2S_{△ CDB}$，
∴点P到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍。
∵C(0,-2)到x轴的距离为2，且点P在第二象限，纵坐标为正，
∴点P的纵坐标为$2×2=4$。
将$y=4$代入$y=x^2+x-2$，得$4=x^2+x-2$，整理得$x^2+x-6=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=2$。
∵点P在第二象限，横坐标小于0，
∴$x=-3$，即点P的坐标为(-3,4)。
【答案】
(1) $y=x^2+x-2$
(2) $(-3,4)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问是常规考查题型，熟练掌握待定系数法即可快速求解；第二问的核心是利用同底三角形面积比等于高的比的性质，将面积关系转化为点的坐标特征，简化计算过程，解题时要注意结合点所在象限的坐标符号特征筛选结果，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
14.用一段长32 m的篱笆和长8 m的墙，围成一个矩形的菜园.
(1)如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CD，DE，EF围成.
①设DE=x m，求出菜园的面积y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
②菜园的面积能不能等于110 m²？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由.
(2)如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆AD，DE，EF围成，求菜园的最大面积.
(1)如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CD，DE，EF围成.
①设DE=x m，求出菜园的面积y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
②菜园的面积能不能等于110 m²？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由.
(2)如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆AD，DE，EF围成，求菜园的最大面积.
答案
(1)① $y=-\frac{1}{2}x^2+16x(0＜x≤8)$
② 不能.理由略.
(2) $100\ \mathrm{m}^2$
② 不能.理由略.
(2) $100\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
(1)①首先明确DE平行于墙AB，其长度不能超过墙长8m，总篱笆长度为CD、DE、EF三边之和，且CD=EF，可先用含x的代数式表示CD的长度，再根据矩形面积公式推导函数解析式，结合边长为正和墙长限制确定自变量取值范围。
②要判断面积能否达到110m²，只需令函数值y=110，解对应的一元二次方程，验证所得的根是否在自变量的取值范围内即可。
(2)设DE的长度为x，先根据篱笆总长度的构成，用含x的代数式表示出垂直于DE的边长，再列出面积关于x的二次函数解析式，结合二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)①已知$DE=x\ \mathrm{m}$，篱笆总长32m，且$CD=EF$，因此$CD=EF=\frac{32-x}{2}\ \mathrm{m}$。
矩形面积$y=DE· CD=x·\frac{32-x}{2}$，化简得$y=-\frac{1}{2}x^2+16x$。
由于DE平行于墙，墙长8m，且边长为正，因此自变量x的取值范围为$0＜x\le8$。
②不能，理由如下：
令$y=110$，可得方程$-\frac{1}{2}x^2+16x=110$，
整理得$x^2-32x+220=0$，
因式分解得$(x-10)(x-22)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=22$。
结合①中$0＜x\le8$的限制，两个解均不在取值范围内，因此菜园面积不能等于$110\ \mathrm{m^2}$。
(2)设$DE=x\ \mathrm{m}(x＞8)$，$AD=y\ \mathrm{m}$，
由题意篱笆总长为$AD+DE+EF+BF=32\ \mathrm{m}$，其中$BF=x-8$，$AD=EF=y$，代入得：
$2y+x+(x-8)=32$，
整理得$2x+2y=40$，即$y=20-x$。
菜园面积$S=DE· AD=x(20-x)=-x^2+20x$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{20}{2}=10$，在$x＞8$的取值范围内，
当$x=10$时，S取最大值，最大值为$-10^2+20×10=100\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1)① $y=-\frac{1}{2}x^2+16x(0＜x≤8)$
② 不能，理由见解析
(2) $100\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际围园场景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是结合实际限制条件确定自变量的取值范围，再结合方程或函数性质求解，易错点是忽略墙长对边长的限制导致错解。
【难度系数】
0.65
(1)①首先明确DE平行于墙AB，其长度不能超过墙长8m，总篱笆长度为CD、DE、EF三边之和，且CD=EF，可先用含x的代数式表示CD的长度，再根据矩形面积公式推导函数解析式，结合边长为正和墙长限制确定自变量取值范围。
②要判断面积能否达到110m²，只需令函数值y=110，解对应的一元二次方程，验证所得的根是否在自变量的取值范围内即可。
(2)设DE的长度为x，先根据篱笆总长度的构成，用含x的代数式表示出垂直于DE的边长，再列出面积关于x的二次函数解析式，结合二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1)①已知$DE=x\ \mathrm{m}$，篱笆总长32m，且$CD=EF$，因此$CD=EF=\frac{32-x}{2}\ \mathrm{m}$。
矩形面积$y=DE· CD=x·\frac{32-x}{2}$，化简得$y=-\frac{1}{2}x^2+16x$。
由于DE平行于墙，墙长8m，且边长为正，因此自变量x的取值范围为$0＜x\le8$。
②不能，理由如下：
令$y=110$，可得方程$-\frac{1}{2}x^2+16x=110$，
整理得$x^2-32x+220=0$，
因式分解得$(x-10)(x-22)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=22$。
结合①中$0＜x\le8$的限制，两个解均不在取值范围内，因此菜园面积不能等于$110\ \mathrm{m^2}$。
(2)设$DE=x\ \mathrm{m}(x＞8)$，$AD=y\ \mathrm{m}$，
由题意篱笆总长为$AD+DE+EF+BF=32\ \mathrm{m}$，其中$BF=x-8$，$AD=EF=y$，代入得：
$2y+x+(x-8)=32$，
整理得$2x+2y=40$，即$y=20-x$。
菜园面积$S=DE· AD=x(20-x)=-x^2+20x$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{20}{2}=10$，在$x＞8$的取值范围内，
当$x=10$时，S取最大值，最大值为$-10^2+20×10=100\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1)① $y=-\frac{1}{2}x^2+16x(0＜x≤8)$
② 不能，理由见解析
(2) $100\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合实际围园场景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是结合实际限制条件确定自变量的取值范围，再结合方程或函数性质求解，易错点是忽略墙长对边长的限制导致错解。
【难度系数】
0.65
