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1. 如图，用直尺和圆规作$∠ AOB$的平分线，方法如下：
①以$O$为圆心，适当长为半径作弧，分别交$OA$，$OB$于点$C$，$D$；
②再分别以点$C$，$D$为圆心，以大于$\frac{1}{2}CD$长为半径作弧，两弧交于点$P$；
③作射线$OP$，$OP$即为$∠ AOB$的平分线。
由作法得$△ OCP ≌ △ ODP$的依据是（
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
（第1题） （第2题）
①以$O$为圆心，适当长为半径作弧，分别交$OA$，$OB$于点$C$，$D$；
②再分别以点$C$，$D$为圆心，以大于$\frac{1}{2}CD$长为半径作弧，两弧交于点$P$；
③作射线$OP$，$OP$即为$∠ AOB$的平分线。
由作法得$△ OCP ≌ △ ODP$的依据是（
D
）。A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
（第1题） （第2题）
答案
1. D
解析
【分析】
要判断△OCP≌△ODP的依据，首先需要从尺规作图的步骤中提取两个三角形对应相等的边或角，再匹配全等三角形的判定定理即可。首先观察作图步骤：第一步以O为圆心画弧，可得OC和OD是同圆的半径，长度相等；第二步以C、D为圆心、等长为半径画弧交于P，可得CP和DP长度相等；同时两个三角形共享边OP，因此可得到三组对应边相等，对应SSS判定定理。
【解析】
根据尺规作图的步骤可得：
① 以O为圆心作弧交OA、OB于C、D，因此OC、OD为同圆半径，故$OC=OD$；
② 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧交于P，因此CP、DP为等半径圆的半径，故$CP=DP$；
③ OP为$△ OCP$和$△ ODP$的公共边，故$OP=OP$。
在$△ OCP$和$△ ODP$中：
$\begin{cases}OC=OD \\CP=DP \\OP=OP\end{cases}$
因此$△ OCP ≌ △ ODP$（SSS），对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定；尺规作角平分线
【点评】
本题考查尺规作角平分线的原理和全等三角形的判定，解题的关键是从作图步骤中提炼出相等的线段，结合全等判定定理得出结论，属于基础类题目，熟练掌握基本作图的原理是解题的核心。
【难度系数】
0.9
要判断△OCP≌△ODP的依据，首先需要从尺规作图的步骤中提取两个三角形对应相等的边或角，再匹配全等三角形的判定定理即可。首先观察作图步骤：第一步以O为圆心画弧，可得OC和OD是同圆的半径，长度相等；第二步以C、D为圆心、等长为半径画弧交于P，可得CP和DP长度相等；同时两个三角形共享边OP，因此可得到三组对应边相等，对应SSS判定定理。
【解析】
根据尺规作图的步骤可得：
① 以O为圆心作弧交OA、OB于C、D，因此OC、OD为同圆半径，故$OC=OD$；
② 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧交于P，因此CP、DP为等半径圆的半径，故$CP=DP$；
③ OP为$△ OCP$和$△ ODP$的公共边，故$OP=OP$。
在$△ OCP$和$△ ODP$中：
$\begin{cases}OC=OD \\CP=DP \\OP=OP\end{cases}$
因此$△ OCP ≌ △ ODP$（SSS），对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定；尺规作角平分线
【点评】
本题考查尺规作角平分线的原理和全等三角形的判定，解题的关键是从作图步骤中提炼出相等的线段，结合全等判定定理得出结论，属于基础类题目，熟练掌握基本作图的原理是解题的核心。
【难度系数】
0.9
2. 如图，AP平分∠BAC，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，则图中长度相等的线段是
AB=AC,BP=CP
。答案
2. $AB=AC,BP=CP$
解析
【分析】
首先从已知条件梳理思路：①AP是∠BAC的角平分线，点P在角平分线上，且PB、PC分别是点P到∠BAC两边AB、AC的垂线段，可直接联想角平分线的性质，得到两条垂线段相等；②观察到△ABP和△ACP均为直角三角形，二者有公共斜边AP，结合第一步得到的垂线段相等，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得到另一组相等的线段。
【解析】
解：
∵AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $\boldsymbol{BP=CP}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中：
$\begin{cases}AP=AP \quad (\mathrm{公共边})\\BP=CP \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABP ≌ \mathrm{Rt}△ ACP \ (\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应边相等，可得 $\boldsymbol{AB=AC}$。
综上，图中长度相等的线段为$AB=AC$、$BP=CP$。
【答案】
$AB=AC,BP=CP$
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，解题时先利用角平分线性质直接得到一组垂线段相等，再通过直角三角形全等证明得到另一组相等线段，需注意HL判定定理仅适用于直角三角形的全等证明。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件梳理思路：①AP是∠BAC的角平分线，点P在角平分线上，且PB、PC分别是点P到∠BAC两边AB、AC的垂线段，可直接联想角平分线的性质，得到两条垂线段相等；②观察到△ABP和△ACP均为直角三角形，二者有公共斜边AP，结合第一步得到的垂线段相等，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得到另一组相等的线段。
【解析】
解：
∵AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $\boldsymbol{BP=CP}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中：
$\begin{cases}AP=AP \quad (\mathrm{公共边})\\BP=CP \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABP ≌ \mathrm{Rt}△ ACP \ (\mathrm{HL})$，
根据全等三角形对应边相等，可得 $\boldsymbol{AB=AC}$。
综上，图中长度相等的线段为$AB=AC$、$BP=CP$。
【答案】
$AB=AC,BP=CP$
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，解题时先利用角平分线性质直接得到一组垂线段相等，再通过直角三角形全等证明得到另一组相等线段，需注意HL判定定理仅适用于直角三角形的全等证明。
【难度系数】
0.8
3. 如图，BD是∠ABC的平分线，DA⊥BA于点A，AD=4，BC=6，则△BCD的面积为(
A.10
B.24
C.15
D.12
D
)。A.10
B.24
C.15
D.12
答案
3. D
解析
【分析】
要计算△BCD的面积，已知底边BC的长度为6，只需要求出BC边上的高即可。题目给出BD是∠ABC的平分线，且DA⊥BA，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到BC的距离和DA长度相等，即可得到△BCD的高，代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵BD是∠ABC的平分线，DA⊥BA，DE⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：DE=AD=4。
根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DE=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形的高，再结合面积公式求解即可。
【难度系数】
0.8
要计算△BCD的面积，已知底边BC的长度为6，只需要求出BC边上的高即可。题目给出BD是∠ABC的平分线，且DA⊥BA，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到BC的距离和DA长度相等，即可得到△BCD的高，代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵BD是∠ABC的平分线，DA⊥BA，DE⊥BC，
∴根据角平分线的性质可得：DE=AD=4。
根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DE=\frac{1}{2} × 6 × 4=12$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，通过作辅助线得到三角形的高，再结合面积公式求解即可。
【难度系数】
0.8
4. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥OA于点E，DE＝4，F是射线OB上任意一点，则DF的长度不可能是（
A.3.9
B.4
C.4.7
D.5
A
）。A.3.9
B.4
C.4.7
D.5
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“OD平分∠AOB，DE⊥OA”，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作OB的垂线段，该垂线段长度与DE相等。再结合F是OB上任意一点，根据“垂线段最短”可知，点D到OB上所有点的连线中，垂线段长度最小，由此可确定DF的取值范围，进而判断不可能的取值。
【解析】
过点D作DG⊥OB于点G。
∵OD平分∠AOB，DE⊥OA，DG⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：DG = DE = 4。
∵F是射线OB上的任意一点，根据垂线段最短，
∴DF ≥ DG = 4，即DF的长度不可能小于4。
观察选项，只有3.9 ＜ 4，不符合DF的取值范围。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用角平分线的性质求出点D到OB的最短距离，再结合垂线段最短判断线段的取值范围，需要熟练掌握相关几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件“OD平分∠AOB，DE⊥OA”，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作OB的垂线段，该垂线段长度与DE相等。再结合F是OB上任意一点，根据“垂线段最短”可知，点D到OB上所有点的连线中，垂线段长度最小，由此可确定DF的取值范围，进而判断不可能的取值。
【解析】
过点D作DG⊥OB于点G。
∵OD平分∠AOB，DE⊥OA，DG⊥OB，
∴根据角平分线的性质可得：DG = DE = 4。
∵F是射线OB上的任意一点，根据垂线段最短，
∴DF ≥ DG = 4，即DF的长度不可能小于4。
观察选项，只有3.9 ＜ 4，不符合DF的取值范围。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用角平分线的性质求出点D到OB的最短距离，再结合垂线段最短判断线段的取值范围，需要熟练掌握相关几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
