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5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的角平分线。$△ ABD$与$△ ACD$的面积相等吗？请说明理由。
答案
5. $△ ABD$与$△ ACD$的面积相等。方法一：证$△ ABD≌△ ACD$,可得两个三角形的面积相等。方法二：先证点$D$到边$AB,AC$的距离相等,又$AB=AC$,从而得两个三角形的面积相等。
解析
【分析】
要判断两个三角形面积是否相等，可从两个方向思考：一是证明两个三角形全等，全等图形面积必然相等；二是利用三角形面积公式推导，已知AB=AC，只需证明AB、AC对应的高相等即可，结合AD是角平分线的条件，可利用角平分线性质得到高相等。
【解析】
△ABD与△ACD的面积相等，理由如下：
方法一：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAD=∠ CAD\\ AD=AD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∵全等三角形面积相等，
∴△ABD和△ACD面积相等。
方法二：
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，
又
∵AB=AC，DE=DF，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
【答案】
△ABD与△ACD的面积相等。方法一：证$△ ABD≌△ ACD$,可得两个三角形的面积相等。方法二：先证点$D$到边$AB,AC$的距离相等,又$AB=AC$,从而得两个三角形的面积相等。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，可从全等证明、面积公式推导两个不同角度切入解题，能帮助学生巩固相关核心知识，锻炼多维度思考问题的习惯。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形面积是否相等，可从两个方向思考：一是证明两个三角形全等，全等图形面积必然相等；二是利用三角形面积公式推导，已知AB=AC，只需证明AB、AC对应的高相等即可，结合AD是角平分线的条件，可利用角平分线性质得到高相等。
【解析】
△ABD与△ACD的面积相等，理由如下：
方法一：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAD=∠ CAD\\ AD=AD(公共边)\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∵全等三角形面积相等，
∴△ABD和△ACD面积相等。
方法二：
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，
又
∵AB=AC，DE=DF，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
【答案】
△ABD与△ACD的面积相等。方法一：证$△ ABD≌△ ACD$,可得两个三角形的面积相等。方法二：先证点$D$到边$AB,AC$的距离相等,又$AB=AC$,从而得两个三角形的面积相等。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，可从全等证明、面积公式推导两个不同角度切入解题，能帮助学生巩固相关核心知识，锻炼多维度思考问题的习惯。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$。若$BC=15$，且$BD:DC=3:2$，则点$D$到边$AB$的距离是
6
。答案
6. 6
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们要求点D到AB的距离，可利用该性质将其转化为求点D到AC的距离；已知∠C=90°，即DC⊥AC，因此DC的长度就是点D到AC的距离，接下来只需要根据BC的长度和BD与DC的比例求出DC的长度即可得到答案。
【解析】
解：已知$BC=15$，$BD:DC=3:2$，
则$DC = BC×\frac{2}{3+2}=15×\frac{2}{5}=6$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
因为AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$即$DC⊥ AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DC=6$，
即点D到边AB的距离是6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；按比例求线段长度
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为已知比例关系的线段长度，无需复杂计算即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们要求点D到AB的距离，可利用该性质将其转化为求点D到AC的距离；已知∠C=90°，即DC⊥AC，因此DC的长度就是点D到AC的距离，接下来只需要根据BC的长度和BD与DC的比例求出DC的长度即可得到答案。
【解析】
解：已知$BC=15$，$BD:DC=3:2$，
则$DC = BC×\frac{2}{3+2}=15×\frac{2}{5}=6$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
因为AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$即$DC⊥ AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DE=DC=6$，
即点D到边AB的距离是6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；按比例求线段长度
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为已知比例关系的线段长度，无需复杂计算即可求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$。请用直尺和圆规在AC边上作一点D，使点D到直线BC的距离等于AD的长。（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（第7题）
（第7题）答案
7. 如图，点$D$即为所求。
解析
【分析】
要找到AC边上满足“到直线BC的距离等于AD”的点D，可结合已知条件推导点D的特性：已知∠BAC=90°，因此AD是点D到AB边的距离，要求D到BC的距离等于AD，说明点D到∠ABC的两边AB、BC的距离相等。根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此点D是∠ABC的平分线与AC边的交点，只需用尺规作出∠ABC的平分线，取其与AC的交点即可。
【解析】
因为∠BAC=90°，所以AD⊥AB，即AD是点D到AB的距离。若点D到BC的距离等于AD，则点D到∠ABC的两边AB、BC的距离相等，根据角平分线的判定可知，点D在∠ABC的角平分线上。
因此用尺规作∠ABC的角平分线，该角平分线与AC边的交点即为所求的点D，作图痕迹符合要求即可。
【答案】
如图，点$D$即为所求。
【知识点】
角平分线的判定，尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础作图题，解题核心是将题目要求转化为几何性质的应用，考查学生对尺规作角平分线方法的掌握，以及对几何判定定理的灵活运用能力，是对基础作图技能的常规考察。
【难度系数】
0.8
要找到AC边上满足“到直线BC的距离等于AD”的点D，可结合已知条件推导点D的特性：已知∠BAC=90°，因此AD是点D到AB边的距离，要求D到BC的距离等于AD，说明点D到∠ABC的两边AB、BC的距离相等。根据角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此点D是∠ABC的平分线与AC边的交点，只需用尺规作出∠ABC的平分线，取其与AC的交点即可。
【解析】
因为∠BAC=90°，所以AD⊥AB，即AD是点D到AB的距离。若点D到BC的距离等于AD，则点D到∠ABC的两边AB、BC的距离相等，根据角平分线的判定可知，点D在∠ABC的角平分线上。
因此用尺规作∠ABC的角平分线，该角平分线与AC边的交点即为所求的点D，作图痕迹符合要求即可。
【答案】
如图，点$D$即为所求。
【知识点】
角平分线的判定，尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础作图题，解题核心是将题目要求转化为几何性质的应用，考查学生对尺规作角平分线方法的掌握，以及对几何判定定理的灵活运用能力，是对基础作图技能的常规考察。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知$∠ AOB＝90°$，$P$是$∠ AOB$的平分线$OM$上一点。在射线$OA$，$OB$上分别取两点$C$，$D$，连结$PC$，$PD$，使得$∠ CPD＝90°$。请写出$PC$和$PD$之间的数量关系，并说明理由。
答案
8. $PC=PD$。理由如下:如图,过点$P$分别作$PE⊥ OB$于点$E$,$PF⊥ OA$于点$F$,则$∠ CFP=∠ DEP=90°$。因为$OM$是$∠ AOB$的平分线,所以$PE=PF$。因为$∠ AOB=90°$,所以$∠ FPE=90°$,所以$∠ DPE+∠ FPD=90°$。又因为$∠ CPD=∠ CPF+∠ FPD=90°$,所以$∠ CPF=∠ DPE$。从而可证$△ CFP≌△ DEP$,所以$PC=PD$。
解析
【分析】
要推导PC和PD的数量关系，可结合已知条件逐步思考：首先已知OM是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过P向OA、OB作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合∠CPD和∠AOB都是90°的条件，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明包含PC、PD的两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
过点$P$分别作$PE⊥ OB$于点$E$,$PF⊥ OA$于点$F$，则$∠ CFP=∠ DEP=90°$。
因为$OM$是$∠ AOB$的平分线，根据角平分线的性质可得$PE=PF$。
因为$∠ AOB=∠OFP=∠OEP=90°$，四边形OEPF内角和为360°，因此$∠ FPE=90°$，可得$∠ DPE+∠ FPD=90°$。
又因为$∠ CPD=∠ CPF+∠ FPD=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ CPF=∠ DPE$。
在$△ CFP$和$△ DEP$中：
$\begin{cases}∠CFP=∠DEP \\PF=PE \\∠CPF=∠DPE\end{cases}$
所以$△ CFP≌△ DEP$（ASA），由全等三角形对应边相等可得$PC=PD$。
【答案】
$PC=PD$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，既考查了基础几何定理的应用，也能帮助学生掌握常见的几何辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
要推导PC和PD的数量关系，可结合已知条件逐步思考：首先已知OM是∠AOB的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过P向OA、OB作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合∠CPD和∠AOB都是90°的条件，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明包含PC、PD的两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
过点$P$分别作$PE⊥ OB$于点$E$,$PF⊥ OA$于点$F$，则$∠ CFP=∠ DEP=90°$。
因为$OM$是$∠ AOB$的平分线，根据角平分线的性质可得$PE=PF$。
因为$∠ AOB=∠OFP=∠OEP=90°$，四边形OEPF内角和为360°，因此$∠ FPE=90°$，可得$∠ DPE+∠ FPD=90°$。
又因为$∠ CPD=∠ CPF+∠ FPD=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ CPF=∠ DPE$。
在$△ CFP$和$△ DEP$中：
$\begin{cases}∠CFP=∠DEP \\PF=PE \\∠CPF=∠DPE\end{cases}$
所以$△ CFP≌△ DEP$（ASA），由全等三角形对应边相等可得$PC=PD$。
【答案】
$PC=PD$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；余角的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作角两边的垂线构造全等三角形，既考查了基础几何定理的应用，也能帮助学生掌握常见的几何辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
