9. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线。
（1）若△ABD与△ACD的面积分别为6，3，且AB＝6，则$\frac{BD}{CD}=$，AC＝。
（2）试探究$\frac{AB}{AC}$与$\frac{BD}{CD}$的关系，并说明理由。
（3）若AB＝5，AC＝4，BC＝6，求BD的长。

9. (1) 2;3。
(2) $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。理由:由$AD$是$∠ BAC$的平分线,可得$△ ABD$与$△ ACD$的边$AB$与$AC$上的高线长相等,所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$。又$△ ABD$与$△ ACD$的边$BD$与$CD$上的高线长相同,所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$。所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(3) 因为$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$,可得$\frac{BD}{BC-BD}=\frac{AB}{AC}$,即$\frac{BD}{6-BD}=\frac{5}{4}$,解得$BD=\frac{10}{3}$。

【分析】
（1）首先观察△ABD和△ACD，两个三角形共顶点A，底边BD、CD在同一条直线BC上，因此两个三角形同高，面积比等于底边长的比，可直接求出$\frac{BD}{CD}$；再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知D到AB、AC的高相等，因此两个三角形的面积比也等于AB与AC的比，代入数值即可求出AC。
（2）探究$\frac{AB}{AC}$和$\frac{BD}{CD}$的关系时，可将两者都用△ABD与△ACD的面积比表示，利用等量代换即可得到二者的数量关系。
（3）利用第（2）问得到的比例关系，结合BD+CD=BC=6，设BD为未知数列方程求解即可。
【解析】
（1）
∵△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，代入$S_{△ ABD}=6$，$S_{△ ACD}=3$，得$\frac{BD}{CD}=\frac{6}{3}=2$
∵AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC的距离相等，设该距离为h
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· h$
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{6}{3}=\frac{6}{AC}$，解得$AC=3$
（2）$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等
∴△ABD与△ACD以AB、AC为底时，高相等，因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{AB}{AC}$
又
∵△ABD与△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
（3）由（2）的结论可得$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}$
∵BD+CD=BC=6，
∴CD=6-BD，代入比例式得：
$\frac{BD}{6-BD}=\frac{5}{4}$
交叉相乘得：$4BD=5(6-BD)$
展开整理得：$4BD=30-5BD$，$9BD=30$
解得$BD=\frac{10}{3}$
【答案】
（1）$2$；$3$
（2）$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，理由见解析
（3）$\frac{10}{3}$
【知识点】
角平分线的性质；同高三角形面积比；比例方程求解
【点评】
本题以角平分线为背景，结合三角形面积的性质推导得出角平分线分对边的比例关系，是几何比例计算的典型题型。解题的核心是利用面积作为中间量建立边长之间的联系，同时要掌握方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7