8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线$BD$，$CE$交于点$P$。
（1）若$∠ ABC＝60°$，$∠ ACB＝40°$，求$∠ BPC$的度数。
（2）若$∠ A＝80°$，求$∠ BPC$的度数。
（3）若$∠ A＝x°$，用含$x$的代数式表示$∠ BPC$的度数。

8.（1）因为$∠ ABC=60°,∠ ACB=40°,BD,CE$分别平分$∠ ABC,∠ ACB$,所以$∠ PBC=30°,∠ PCB=20°$,所以$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=130°$。
（2）因为$∠ A=80°$,所以$∠ ABC+∠ ACB=100°$。$BD,CE$分别平分$∠ ABC,∠ ACB$,所以$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB=50°$,所以$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=130°$。
（3）因为$∠ A=x°$,所以$∠ ABC+∠ ACB=(180-x)°$。因为$BD,CE$分别平分$∠ ABC,∠ ACB$,所以$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180-x)°$,所以$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}(180-x)°=(90+\frac{1}{2}x)°$。

【分析】
本题围绕三角形内角和定理与角平分线的定义求解角度，解题思路如下：
（1）已知两个内角的具体度数，先根据角平分线的定义算出△PBC两个底角的度数，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠BPC的度数；
（2）已知∠A的度数，先通过△ABC的内角和求出∠ABC与∠ACB的度数和，再利用角平分线的性质得到∠PBC+∠PCB的和是上述和的一半，最后用180°减去该和即可得到结果；
（3）将（2）中∠A的具体数值替换为x°，沿用（2）的推导逻辑化简，即可得到用x表示∠BPC的代数式。
【解析】
（1）
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB=20°$，
在$△ PBC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-(30°+20°)=130°$。
（2）在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$，
在$△ PBC$中，$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-50°=130°$。
（3）在$△ ABC$中，$∠ A=x°$，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=(180-x)°$，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180-x)°$，
在$△ PBC$中，$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\frac{1}{2}(180-x)°=(90+\frac{1}{2}x)°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{130°}$；（2）$\boldsymbol{130°}$；（3）$\boldsymbol{(90+\frac{1}{2}x)°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；代数式化简
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是熟练运用三角形内角和定理和角平分线的性质，最终推导得到的三角形两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系是常用结论，熟练记忆可提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线与高线,设$k=DE:BD$。
(1) 在图①中,若$BD=3,k=0.5$,则$CE$的长为。
(2) 在图②中,k1(用“＞”“=”或“＜”填空);
在图③中,k1(用“＞”“=”或“＜”填空)。
(3) 小明认为:在△ABC中,若$k＜1$,则△ABC一定是锐角三角形。你赞同小明的观点吗?请阐述你的理由。

9.（1）1.5
（2）$=$；$＞$。
（3）不赞同。理由:因为$k＜1$,所以$DE＜BD$,可知高线$AE$在$△ ABC$的内部,即$∠ B$与$∠ C$是锐角。但不能确定$△ ABC$另外两条高线是否在三角形内部,也不能确定$∠ A$是锐角、直角还是钝角,所以小明的观点不一定成立。(也可以通过画图说明)

【分析】
(1) 先利用三角形中线的性质得到BD=DC，再根据k的定义求出DE的长度，最后结合线段和差关系计算CE即可；
(2) 图②中高AE的垂足与C点重合，可得DE=DC=BD，即可判断k和1的大小；图③中高AE的垂足在BC的延长线上，DE的长度等于DC加CE，DC等于BD，因此DE大于BD，即可判断k和1的大小；
(3) 先分析k＜1时高的位置：此时高AE在△ABC内部，仅能说明∠B和∠C是锐角，无法判断∠A的大小，∠A可能为直角或者钝角，因此不能判定三角形是锐角三角形，即可判断小明的观点错误。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=3，
已知$k=DE:BD=0.5$，
∴$DE=0.5× BD=0.5×3=1.5$，
观察图①可得E在线段DC上，因此$CE=DC-DE=3-1.5=1.5$；
(2) 图②中E与C重合，因此$DE=DC$，又
∵DC=BD，
∴$DE=BD$，故$k=DE:BD=1$；
图③中E在BC的延长线上，因此$DE=DC+CE$，
∵DC=BD，
∴$DE=BD+CE＞BD$，故$k=DE:BD＞1$；
(3) 不赞同。理由：当$k＜1$时，$DE＜BD$，结合$BD=DC$可得$DE＜DC$，说明高AE的垂足E在线段BC上，即高AE在△ABC内部，因此∠B、∠C均为锐角，但无法确定∠A的大小，∠A可能是锐角、直角或钝角，例如当△ABC为顶角是钝角的三角形时，只要高AE落在BC边上，就满足$k＜1$，但此时△ABC是钝角三角形，因此小明的观点不成立。
【答案】
(1) $\boxed{1.5}$
(2) $\boxed{=}$；$\boxed{＞}$
(3) 不赞同，理由：因为$k＜1$,所以$DE＜BD$,可知高线$AE$在$△ ABC$的内部,即$∠ B$与$∠ C$是锐角。但不能确定$△ ABC$另外两条高线是否在三角形内部,也不能确定$∠ A$是锐角、直角还是钝角,所以小明的观点不一定成立。
【知识点】
三角形的中线；三角形的高线；三角形按角分类
【点评】
本题围绕三角形中线、高线的性质展开，结合线段比例关系判断三角形的类型，解题的关键是明确三角形的高可能在三角形内部、边上或外部，判断三角形为锐角三角形需要三个内角都是锐角，仅两个角为锐角无法得出结论，考查了分类讨论思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7