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4. 如图，BD是△ABC的AC边上的高线，∠A=60°，∠ABC=70°。求∠DBC的度数。
答案
4. $∠ DBC=40°$。
解析
【分析】
要求∠DBC的度数，我们可以分两步思考：第一步，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；第二步，根据BD是AC边上的高线，可知△BDC是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，用90°减去∠C的度数就能得到∠DBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ABC$
已知$∠ A=60°$，$∠ ABC=70°$，代入得：
$∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$
∵BD是△ABC的AC边上的高线
∴$∠ BDC=90°$，即△BDC是直角三角形
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ DBC = 90° - ∠ C = 90° - 50° = 40°$
【答案】
$∠ DBC=40°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；三角形高线的定义
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题的核心是明确已知角和未知角的关系，先通过内角和求出中间角∠C，再结合直角三角形的角度性质计算目标角，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
要求∠DBC的度数，我们可以分两步思考：第一步，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；第二步，根据BD是AC边上的高线，可知△BDC是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，用90°减去∠C的度数就能得到∠DBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ ABC$
已知$∠ A=60°$，$∠ ABC=70°$，代入得：
$∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$
∵BD是△ABC的AC边上的高线
∴$∠ BDC=90°$，即△BDC是直角三角形
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ DBC = 90° - ∠ C = 90° - 50° = 40°$
【答案】
$∠ DBC=40°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；三角形高线的定义
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，解题的核心是明确已知角和未知角的关系，先通过内角和求出中间角∠C，再结合直角三角形的角度性质计算目标角，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
5. 如图，△ABC 的高线 AD 与角平分线 BE 交于点 F。若∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠CBE，∠AFB 的度数。
答案
5. 在$△ ABC$ 中,由$∠ BAC=60°,∠ C=70°$,得$∠ ABC=50°$。因为$BE$ 平分$∠ ABC$,所以$∠ CBE=25°$。因为$AD ⊥ BC$,所以$∠ BFD=90°-25°=65°$,得$∠ AFB=115°$。
解析
【分析】
要计算∠CBE的度数，已知BE是∠ABC的角平分线，因此需先求出∠ABC的度数，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC、∠C的度数即可求得∠ABC，再根据角平分线的性质算出∠CBE。要求∠AFB的度数，观察图形可知∠AFB与∠BFD互为邻补角，先求∠BFD即可：AD是△ABC的高线，故△BDF是直角三角形，两锐角互余，代入已得的∠CBE的度数就能算出∠BFD，进而求得∠AFB。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$
∵BE平分∠ABC（角平分线定义）
∴$∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×50° = 25°$
∵AD是△ABC的高线
∴$AD⊥ BC$，即$∠ ADB = 90°$
在$Rt△ BDF$中，$∠ BFD + ∠ CBE = 90°$（直角三角形两锐角互余）
∴$∠ BFD = 90° - 25° = 65°$
∵∠AFB与∠BFD互为邻补角
∴$∠ AFB = 180° - ∠ BFD = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$∠ CBE=25°$，$∠ AFB=115°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，重点考查对三角形相关基础概念的理解和角的数量关系的推导能力，解题时理清各角之间的关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
要计算∠CBE的度数，已知BE是∠ABC的角平分线，因此需先求出∠ABC的度数，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC、∠C的度数即可求得∠ABC，再根据角平分线的性质算出∠CBE。要求∠AFB的度数，观察图形可知∠AFB与∠BFD互为邻补角，先求∠BFD即可：AD是△ABC的高线，故△BDF是直角三角形，两锐角互余，代入已得的∠CBE的度数就能算出∠BFD，进而求得∠AFB。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ C = 180° - 60° - 70° = 50°$
∵BE平分∠ABC（角平分线定义）
∴$∠ CBE = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×50° = 25°$
∵AD是△ABC的高线
∴$AD⊥ BC$，即$∠ ADB = 90°$
在$Rt△ BDF$中，$∠ BFD + ∠ CBE = 90°$（直角三角形两锐角互余）
∴$∠ BFD = 90° - 25° = 65°$
∵∠AFB与∠BFD互为邻补角
∴$∠ AFB = 180° - ∠ BFD = 180° - 65° = 115°$
【答案】
$∠ CBE=25°$，$∠ AFB=115°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形性质的基础应用题，重点考查对三角形相关基础概念的理解和角的数量关系的推导能力，解题时理清各角之间的关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
6. (多选题)在$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高线。已知$BD=6$，$CD=2$，$AD=3$，则$△ ABC$的面积可能为(
A.6
B.8
C.10
D.12
AD
)。A.6
B.8
C.10
D.12
答案
6. AD
解析
【分析】
解决本题首先需要明确三角形的高线既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论点D的位置：第一种是D在线段BC上，第二种是D在线段BC的延长线上，再分别计算BC的长度，最后利用三角形面积公式求出对应面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高线$AD$在$△ ABC$内部时，点$D$在线段$BC$上：
此时$BC = BD + CD = 6 + 2 = 8$，
根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
2. 当高线$AD$在$△ ABC$外部时，点$D$在线段$BC$的延长线上：
此时$BC = BD - CD = 6 - 2 = 4$，
根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
综上，$△ ABC$的面积可能为6或12。
【答案】
AD
【知识点】
三角形的高的定义，三角形面积公式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略三角形的高线可能在外部的情况，解题时要考虑周全，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要明确三角形的高线既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论点D的位置：第一种是D在线段BC上，第二种是D在线段BC的延长线上，再分别计算BC的长度，最后利用三角形面积公式求出对应面积即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高线$AD$在$△ ABC$内部时，点$D$在线段$BC$上：
此时$BC = BD + CD = 6 + 2 = 8$，
根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
2. 当高线$AD$在$△ ABC$外部时，点$D$在线段$BC$的延长线上：
此时$BC = BD - CD = 6 - 2 = 4$，
根据三角形面积公式可得$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$。
综上，$△ ABC$的面积可能为6或12。
【答案】
AD
【知识点】
三角形的高的定义，三角形面积公式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略三角形的高线可能在外部的情况，解题时要考虑周全，分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图，AD为$△ ABC$的中线，$BD=3$。设$△ ABD$与$△ ACD$的周长分别为$C_1$，$C_2$，$△ ABD$与$△ ACD$的面积分别为$S_1$，$S_2$。
（1）若$AB=6$，$AC=4$，则$C_1 - C_2=$
（2）已知$AD=5$。①若$AD ⊥ BC$，则$S_1=$
（第7题）
（1）若$AB=6$，$AC=4$，则$C_1 - C_2=$
2
，$S_1 - S_2=$0
。（2）已知$AD=5$。①若$AD ⊥ BC$，则$S_1=$
7.5
；②$S_2$的最大值为7.5
。（第7题）答案
7.（1）2；0 （2）①7.5；②7.5
解析
【分析】
解题时先结合三角形中线的性质分析：①中线平分对边，即BD=CD；②中线分成的两个三角形等底同高，面积相等。
（1）计算周长差时，先写出两个三角形的周长表达式，消去公共边AD和相等的边BD、CD，即可得到周长差为AB与AC的差；面积差根据等底同高的三角形面积相等直接推导。
（2）①AD垂直BC时，AD就是△ABD的高，直接代入三角形面积公式计算；②△ACD的底CD固定为3，高是点A到BC的距离，根据垂线段最短，当AD⊥BC时高最大，此时面积最大。
【解析】
（1）
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=3。
$C_1=AB+BD+AD$，$C_2=AC+CD+AD$，
则$C_1-C_2=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=6-4=2$。
∵△ABD和△ACD等底（BD=CD）、同高（点A到BC的公共高），根据$S=\frac{1}{2}ah$可得$S_1=S_2$，
∴$S_1-S_2=0$。
（2）①
∵AD⊥BC，AD=5，BD=3，
∴$S_1=\frac{1}{2}× BD× AD=\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
②△ACD中，底CD=3，高为点A到BC的距离，该距离最大为AD的长度5（AD⊥BC时取最大值），
∴$S_2$的最大值为$\frac{1}{2}× CD× AD=\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
【答案】
（1）2；0 （2）①7.5；②7.5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查三角形中线相关的基础性质应用，解题核心是抓住中线分对边相等、分原三角形为两个等面积图形的特点，结合垂线段最短的规律即可顺利求解，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合三角形中线的性质分析：①中线平分对边，即BD=CD；②中线分成的两个三角形等底同高，面积相等。
（1）计算周长差时，先写出两个三角形的周长表达式，消去公共边AD和相等的边BD、CD，即可得到周长差为AB与AC的差；面积差根据等底同高的三角形面积相等直接推导。
（2）①AD垂直BC时，AD就是△ABD的高，直接代入三角形面积公式计算；②△ACD的底CD固定为3，高是点A到BC的距离，根据垂线段最短，当AD⊥BC时高最大，此时面积最大。
【解析】
（1）
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD=3。
$C_1=AB+BD+AD$，$C_2=AC+CD+AD$，
则$C_1-C_2=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=6-4=2$。
∵△ABD和△ACD等底（BD=CD）、同高（点A到BC的公共高），根据$S=\frac{1}{2}ah$可得$S_1=S_2$，
∴$S_1-S_2=0$。
（2）①
∵AD⊥BC，AD=5，BD=3，
∴$S_1=\frac{1}{2}× BD× AD=\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
②△ACD中，底CD=3，高为点A到BC的距离，该距离最大为AD的长度5（AD⊥BC时取最大值），
∴$S_2$的最大值为$\frac{1}{2}× CD× AD=\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
【答案】
（1）2；0 （2）①7.5；②7.5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形周长计算，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查三角形中线相关的基础性质应用，解题核心是抓住中线分对边相等、分原三角形为两个等面积图形的特点，结合垂线段最短的规律即可顺利求解，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.7
