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1. $\cos60°$的值为 （）
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题思路为：首先明确题目要求的是60°角的余弦值，属于初中阶段要求熟记的特殊角三角函数范畴，只需要回忆对应数值再和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据初中阶段要求记忆的特殊角三角函数值，$\cos60°=\frac{1}{2}$，对比选项可知B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对常见特殊角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值即可快速解答这类题型。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊锐角的三角函数值，解题思路为：首先明确题目要求的是60°角的余弦值，属于初中阶段要求熟记的特殊角三角函数范畴，只需要回忆对应数值再和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据初中阶段要求记忆的特殊角三角函数值，$\cos60°=\frac{1}{2}$，对比选项可知B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对常见特殊角三角函数值的识记，熟练掌握30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值即可快速解答这类题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图1,在平面直角坐标系中,已知点$A(2,2),B(4,1)$,以原点$O$为位似中心,相似比为$2$,把$△ OAB$放大,则点$A$的对应点$A'$的坐标是 ()
A.$(1,1)$
B.$(4,4)$或$(8,2)$
C.$(4,4)$
D.$(4,4)$或$(-4,-4)$
A.$(1,1)$
B.$(4,4)$或$(8,2)$
C.$(4,4)$
D.$(4,4)$或$(-4,-4)$
答案
D
解析
【分析】
首先明确本题考查原点为位似中心的位似变换坐标计算，解题思路如下：第一步回忆位似变换的坐标规律：当位似中心为原点，相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况；第二步结合本题已知条件，相似比为2，且题目未指定位似方向，因此两种情况都需要考虑；第三步代入点A的坐标计算即可得到对应点A'的坐标。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。
已知点A坐标为(2,2)，相似比k=2：
① 当位似图形与△OAB在原点同侧时，A'的坐标为(2×2, 2×2)=(4,4)；
② 当位似图形与△OAB在原点异侧时，A'的坐标为(2×(-2), 2×(-2))=(-4,-4)。
因此点A的对应点A'的坐标是(4,4)或(-4,-4)。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的坐标规律、分类讨论思想
【点评】
本题是位似变换的基础题型，易错点是容易忽略位似图形可位于位似中心的两侧，漏算异侧的对应点坐标，解题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
首先明确本题考查原点为位似中心的位似变换坐标计算，解题思路如下：第一步回忆位似变换的坐标规律：当位似中心为原点，相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况；第二步结合本题已知条件，相似比为2，且题目未指定位似方向，因此两种情况都需要考虑；第三步代入点A的坐标计算即可得到对应点A'的坐标。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。
已知点A坐标为(2,2)，相似比k=2：
① 当位似图形与△OAB在原点同侧时，A'的坐标为(2×2, 2×2)=(4,4)；
② 当位似图形与△OAB在原点异侧时，A'的坐标为(2×(-2), 2×(-2))=(-4,-4)。
因此点A的对应点A'的坐标是(4,4)或(-4,-4)。
【答案】
D
【知识点】
位似变换的坐标规律、分类讨论思想
【点评】
本题是位似变换的基础题型，易错点是容易忽略位似图形可位于位似中心的两侧，漏算异侧的对应点坐标，解题时要注意考虑全面。
【难度系数】
0.7
3. 如图,一条河的两岸互相平行,为了测量河的宽度$PT$($PT$与河岸$PQ$垂直),测量得$P,Q$两点间距离为$m$米,$∠ PQT=α$,则河宽$PT$的长为（）
A.$m\sinα$
B.$m\cosα$
C.$m\tanα$
D.$\frac{m}{\tanα}$
A.$m\sinα$
B.$m\cosα$
C.$m\tanα$
D.$\frac{m}{\tanα}$
答案
C
解析
【分析】
首先根据PT与河岸PQ垂直，可判定△TPQ为直角三角形，且∠TPQ=90°。已知PQ=m，∠PQT=α，要求河宽PT，需先明确角α在直角三角形中的对边、邻边，选择对应的锐角三角函数求解：α的对边是PT，邻边是PQ，因此选正切函数，结合正切的定义变形即可求出PT的长度。
【解析】
解：
∵ PT与河岸PQ垂直，
∴ ∠TPQ=90°，即△TPQ是直角三角形。
在Rt△TPQ中，∠PQT=α，PQ=m米，
根据正切的定义可得：$\tanα=\frac{PT}{PQ}$，
变形得：$PT=PQ·\tanα=m\tanα$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，核心考查锐角正切函数的定义，解题关键是准确找到直角三角形中已知角对应的对边和邻边，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
首先根据PT与河岸PQ垂直，可判定△TPQ为直角三角形，且∠TPQ=90°。已知PQ=m，∠PQT=α，要求河宽PT，需先明确角α在直角三角形中的对边、邻边，选择对应的锐角三角函数求解：α的对边是PT，邻边是PQ，因此选正切函数，结合正切的定义变形即可求出PT的长度。
【解析】
解：
∵ PT与河岸PQ垂直，
∴ ∠TPQ=90°，即△TPQ是直角三角形。
在Rt△TPQ中，∠PQT=α，PQ=m米，
根据正切的定义可得：$\tanα=\frac{PT}{PQ}$，
变形得：$PT=PQ·\tanα=m\tanα$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，核心考查锐角正切函数的定义，解题关键是准确找到直角三角形中已知角对应的对边和邻边，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图3,某地修建的一座建筑物的截面图的高$BC=5\ \mathrm{m}$,坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$,则AB的长度为 ()
A.$10\ \mathrm{m}$
B.$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$5\ \mathrm{m}$
D.$5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
A.$10\ \mathrm{m}$
B.$10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
C.$5\ \mathrm{m}$
D.$5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确坡度的定义：坡面的坡度是垂直高度与水平宽度的比值，即对应直角三角形中坡角的正切值。本题中△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知垂直高度BC的长度和坡度，我们可以先求出水平宽度AC的长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度；也可以先通过坡度求出坡角∠A的度数，利用直角三角形中30°角的性质直接求出AB的长度。
【解析】
由题意可知△ABC为直角三角形，∠C=90°。
∵坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，根据坡度定义可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$BC=5\ \mathrm{m}$，代入得：$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用类题目，核心是掌握坡度的定义，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，解题时要注意区分坡度是垂直高度比水平宽度，不要搞反比值顺序。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确坡度的定义：坡面的坡度是垂直高度与水平宽度的比值，即对应直角三角形中坡角的正切值。本题中△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知垂直高度BC的长度和坡度，我们可以先求出水平宽度AC的长度，再利用勾股定理计算斜边AB的长度；也可以先通过坡度求出坡角∠A的度数，利用直角三角形中30°角的性质直接求出AB的长度。
【解析】
由题意可知△ABC为直角三角形，∠C=90°。
∵坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，根据坡度定义可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$BC=5\ \mathrm{m}$，代入得：$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得$AC=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的应用类题目，核心是掌握坡度的定义，结合直角三角形的相关性质即可快速求解，解题时要注意区分坡度是垂直高度比水平宽度，不要搞反比值顺序。
【难度系数】
0.8
5. 在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(如图4),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为$30°$,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为$60°$,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)
()
A.$25\sqrt{3}$米
B.25米
C.$25\sqrt{2}$米
D.50米
()
A.$25\sqrt{3}$米
B.25米
C.$25\sqrt{2}$米
D.50米
答案
A
解析
【分析】
这是一道利用解直角三角形解决实际测量楼高的问题，解题思路如下：首先明确图中存在两个含已知仰角的直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，我们可以设楼高CD为未知数，分别用特殊角的三角函数值表示出AD、BD的长度，再结合AB=AD-BD=50米的等量关系列方程求解；也可以先利用三角形外角性质推出△ABC为等腰三角形，得到BC=AB后直接在Rt△BCD中计算CD的长度，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
设楼房CD的高度为x米。
1. 在Rt△ACD中，∠A=30°，由正切定义得：
$\tan30°=\frac{CD}{AD}$，则$AD=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$
2. 在Rt△BCD中，∠CBD=60°，由正切定义得：
$\tan60°=\frac{CD}{BD}$，则$BD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$
3. 由题意可知从A到B前进了50米，即$AD-BD=AB=50$米，代入上述表达式：
$\sqrt{3}x-\frac{x}{\sqrt{3}}=50$
通分整理得：$\frac{3x-x}{\sqrt{3}}=50$，即$\frac{2x}{\sqrt{3}}=50$
解得：$x=25\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 特殊角三角函数值
3. 仰角问题
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是将实际测量中的仰角、距离转化为直角三角形中的边角关系，通过建立等量关系求解，能有效考查学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用解直角三角形解决实际测量楼高的问题，解题思路如下：首先明确图中存在两个含已知仰角的直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，我们可以设楼高CD为未知数，分别用特殊角的三角函数值表示出AD、BD的长度，再结合AB=AD-BD=50米的等量关系列方程求解；也可以先利用三角形外角性质推出△ABC为等腰三角形，得到BC=AB后直接在Rt△BCD中计算CD的长度，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
设楼房CD的高度为x米。
1. 在Rt△ACD中，∠A=30°，由正切定义得：
$\tan30°=\frac{CD}{AD}$，则$AD=\frac{CD}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$
2. 在Rt△BCD中，∠CBD=60°，由正切定义得：
$\tan60°=\frac{CD}{BD}$，则$BD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$
3. 由题意可知从A到B前进了50米，即$AD-BD=AB=50$米，代入上述表达式：
$\sqrt{3}x-\frac{x}{\sqrt{3}}=50$
通分整理得：$\frac{3x-x}{\sqrt{3}}=50$，即$\frac{2x}{\sqrt{3}}=50$
解得：$x=25\sqrt{3}$
【答案】
A
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 特殊角三角函数值
3. 仰角问题
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是将实际测量中的仰角、距离转化为直角三角形中的边角关系，通过建立等量关系求解，能有效考查学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
6.如图5,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,
∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 ()
A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2
∠ADE=60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 ()
A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2
答案
C
解析
【分析】
首先根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，AC=BC；接下来通过三角形内角和及平角的性质推导角的等量关系，得到∠BDE=∠CAD，从而判定△BDE与△CAD相似；再结合BD=4DC的条件，得出BD与AC的比值，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°，AC=BC
在△ADC中，∠ADB + ∠CAD = 180° - ∠C = 120°
∵∠ADE=60°
∴∠ADB + ∠BDE = 180° - ∠ADE = 120°
∴∠BDE=∠CAD
在△BDE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠BDE=∠CAD\end{array} $
∴△BDE∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{AC}$
设$DC=x$，
∵$BD=4DC$，
∴$BD=4x$
∴$AC=BC=BD+DC=4x+x=5x$
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$
将$DE=2.4$，$\frac{BD}{AC}=\frac{4}{5}$代入比例式得：
$\frac{2.4}{AD}=\frac{4}{5}$
解得：$AD=\frac{2.4×5}{4}=3$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心是通过角的等量代换识别相似三角形，再结合线段的倍分关系建立比例式求解，是三角形综合应用的典型题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先根据等边三角形的性质可得∠B=∠C=60°，AC=BC；接下来通过三角形内角和及平角的性质推导角的等量关系，得到∠BDE=∠CAD，从而判定△BDE与△CAD相似；再结合BD=4DC的条件，得出BD与AC的比值，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠B=∠C=60°，AC=BC
在△ADC中，∠ADB + ∠CAD = 180° - ∠C = 120°
∵∠ADE=60°
∴∠ADB + ∠BDE = 180° - ∠ADE = 120°
∴∠BDE=∠CAD
在△BDE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠BDE=∠CAD\end{array} $
∴△BDE∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{BD}{AC}$
设$DC=x$，
∵$BD=4DC$，
∴$BD=4x$
∴$AC=BC=BD+DC=4x+x=5x$
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$
将$DE=2.4$，$\frac{BD}{AC}=\frac{4}{5}$代入比例式得：
$\frac{2.4}{AD}=\frac{4}{5}$
解得：$AD=\frac{2.4×5}{4}=3$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题的核心是通过角的等量代换识别相似三角形，再结合线段的倍分关系建立比例式求解，是三角形综合应用的典型题型，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
