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7. 如图6，AB是$\odot O$的直径，点C为圆上一点，$AC=3$，$∠ ABC$的平分线交AC于点D，$CD=1$，则$\odot O$的直径为（）
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.1
D.2
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.1
D.2
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合直径的性质，回忆直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；已知BD是∠ABC的角平分线，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DE⊥AB于E，可得DE=CD=1，结合AD=AC-CD=2，在Rt△ADE中可求出∠A的度数，最后在Rt△ABC中利用三角函数即可求出直径AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD平分$∠ ABC$，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得$DE=CD=1$。
∵$AC=3$，$CD=1$，
∴$AD=AC-CD=3-1=2$。
在$Rt△ ADE$中，$AD=2$，$DE=1$，
∴$\sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，可得$∠ A=30°$。
在$Rt△ ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}$，
∴$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的直径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形结合的常见题型，综合考查了圆的基本性质、角平分线性质和特殊角的三角函数的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值完成求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合直径的性质，回忆直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；已知BD是∠ABC的角平分线，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DE⊥AB于E，可得DE=CD=1，结合AD=AC-CD=2，在Rt△ADE中可求出∠A的度数，最后在Rt△ABC中利用三角函数即可求出直径AB的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD平分$∠ ABC$，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得$DE=CD=1$。
∵$AC=3$，$CD=1$，
∴$AD=AC-CD=3-1=2$。
在$Rt△ ADE$中，$AD=2$，$DE=1$，
∴$\sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{1}{2}$，可得$∠ A=30°$。
在$Rt△ ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}$，
∴$AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$，即$\odot O$的直径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形
【点评】
本题是圆与三角形结合的常见题型，综合考查了圆的基本性质、角平分线性质和特殊角的三角函数的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值完成求解。
【难度系数】
0.7
8. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测. 如图7,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°,无人机垂直下降40 m至B处,又测得试验田左侧边界M处俯角为35°,则M,N之间的距离为(结果保留整数. 参考数据:$\tan43°\approx0.9,\sin43°\approx0.7,\cos35°\approx0.8,\tan35°\approx0.7)$ ()
A.188 m
B.269 m
C.286 m
D.312 m
A.188 m
B.269 m
C.286 m
D.312 m
答案
C
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题时先构造直角三角形：过点A作MN的垂线，垂足为O，即可得到两个直角三角形Rt△AON和Rt△BOM。首先根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，得到两个直角三角形的锐角大小，再结合已知的垂直高度，利用锐角三角函数中的正切分别求出ON和OM的长度，两者相加即为M、N之间的距离。
【解析】
解：过点A作$AO⊥ MN$，垂足为O，由题意可知：
$AO=135\mathrm{m}$，$AB=40\mathrm{m}$，故$BO=AO-AB=135-40=95\mathrm{m}$，
由平行线内错角相等可得：$∠ ANO=43°$，$∠ BMO=35°$，
在$\mathrm{Rt}△ AON$中，$\tan∠ ANO=\frac{AO}{ON}$，
∴$ON=\frac{AO}{\tan43°}\approx\frac{135}{0.9}=150\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOM$中，$\tan∠ BMO=\frac{BO}{OM}$，
∴$OM=\frac{BO}{\tan35°}\approx\frac{95}{0.7}\approx135.7\mathrm{m}$，
∴$MN=OM+ON\approx135.7+150\approx286\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，俯角的定义，锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是将实际问题中的角度、长度转化为直角三角形中的对应元素，再借助锐角三角函数求解线段长度，计算时注意参考数据的正确选用。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题时先构造直角三角形：过点A作MN的垂线，垂足为O，即可得到两个直角三角形Rt△AON和Rt△BOM。首先根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，得到两个直角三角形的锐角大小，再结合已知的垂直高度，利用锐角三角函数中的正切分别求出ON和OM的长度，两者相加即为M、N之间的距离。
【解析】
解：过点A作$AO⊥ MN$，垂足为O，由题意可知：
$AO=135\mathrm{m}$，$AB=40\mathrm{m}$，故$BO=AO-AB=135-40=95\mathrm{m}$，
由平行线内错角相等可得：$∠ ANO=43°$，$∠ BMO=35°$，
在$\mathrm{Rt}△ AON$中，$\tan∠ ANO=\frac{AO}{ON}$，
∴$ON=\frac{AO}{\tan43°}\approx\frac{135}{0.9}=150\mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOM$中，$\tan∠ BMO=\frac{BO}{OM}$，
∴$OM=\frac{BO}{\tan35°}\approx\frac{95}{0.7}\approx135.7\mathrm{m}$，
∴$MN=OM+ON\approx135.7+150\approx286\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，俯角的定义，锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是将实际问题中的角度、长度转化为直角三角形中的对应元素，再借助锐角三角函数求解线段长度，计算时注意参考数据的正确选用。
【难度系数】
0.7
9. 如图8,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD⊥ AC$,垂足为$D$,$AE$平分$∠ BAC$,分别交$BD$,$BC$于点$F$,$E$.若$AB:BC=3:4$,则$BF:FD$为 ()
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$
A.$5:3$
B.$5:4$
C.$4:3$
D.$2:1$
答案
A
解析
【分析】
本题可先通过设参数简化直角三角形边长计算，利用勾股定理求出斜边长度，再借助相似三角形的性质求出AD的长度，最后识别出AF是△ABD中∠BAD的角平分线，运用角平分线定理即可求出BF与FD的比值。
【解析】
解：设$AB=3k$，$BC=4k$（$k＞0$）。
1. 求斜边$AC$的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
2. 求$AD$的长度：
$\because BD⊥AC$，$\therefore ∠ADB=∠ABC=90°$，
又$\because ∠BAD=∠CAB$，$\therefore △ABD∽△ACB$，
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
代入数值计算得$AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{(3k)^2}{5k}=\frac{9k}{5}$。
3. 用角平分线定理求比值：
$\because AE$平分$∠BAC$，$\therefore AF$是$△ABD$中$∠BAD$的角平分线，
根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，可得：
$\frac{BF}{FD}=\frac{AB}{AD}=\frac{3k}{\frac{9k}{5}}=\frac{5}{3}$，即$BF:FD=5:3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，角平分线定理
【点评】
本题是三角形综合类题目，核心是利用参数法简化比例计算，解题关键是识别出角平分线的适用场景，结合相似三角形的性质即可快速求解，是比例类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题可先通过设参数简化直角三角形边长计算，利用勾股定理求出斜边长度，再借助相似三角形的性质求出AD的长度，最后识别出AF是△ABD中∠BAD的角平分线，运用角平分线定理即可求出BF与FD的比值。
【解析】
解：设$AB=3k$，$BC=4k$（$k＞0$）。
1. 求斜边$AC$的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
2. 求$AD$的长度：
$\because BD⊥AC$，$\therefore ∠ADB=∠ABC=90°$，
又$\because ∠BAD=∠CAB$，$\therefore △ABD∽△ACB$，
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
代入数值计算得$AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{(3k)^2}{5k}=\frac{9k}{5}$。
3. 用角平分线定理求比值：
$\because AE$平分$∠BAC$，$\therefore AF$是$△ABD$中$∠BAD$的角平分线，
根据角平分线定理：三角形的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例，可得：
$\frac{BF}{FD}=\frac{AB}{AD}=\frac{3k}{\frac{9k}{5}}=\frac{5}{3}$，即$BF:FD=5:3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，角平分线定理
【点评】
本题是三角形综合类题目，核心是利用参数法简化比例计算，解题关键是识别出角平分线的适用场景，结合相似三角形的性质即可快速求解，是比例类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
10. 如图9,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,点A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则$\cos∠ APC$的值为 ()
A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
A.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要求∠APC的余弦值，直接在交点P处构造直角三角形计算较为复杂，可利用平移的性质，将所求的∠APC转化为直角三角形中的内角，再结合勾股定理计算直角三角形各边长度，最后根据锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）求解。解题时先平移AB或CD，使平移后的线段与另一条线段形成的夹角等于∠APC，再构造直角三角形计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
平移线段AB，得到过点D且与AB平行的线段DE，E为格点，连接CE。根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠CDE=∠APC。
利用勾股定理计算△CDE的各边长度：
$DE = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$CE = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$CD = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
经计算可得$DE^2 + CE^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25 = CD^2$，因此△CDE是直角三角形，且∠DEC=90°。
根据锐角余弦的定义，$\cos∠CDE = \frac{邻边}{斜边} = \frac{DE}{CD} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
所以$\cos∠APC = \cos∠CDE = \frac{\sqrt{5}}{5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；平移的性质；勾股定理
【点评】
本题结合方格纸考查锐角三角函数值的求解，解题的关键是利用转化思想，通过平移将所求角转移到直角三角形中，再结合勾股定理计算边长求解，侧重对基础方法和转化思想的考查。
【难度系数】
0.6
要求∠APC的余弦值，直接在交点P处构造直角三角形计算较为复杂，可利用平移的性质，将所求的∠APC转化为直角三角形中的内角，再结合勾股定理计算直角三角形各边长度，最后根据锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）求解。解题时先平移AB或CD，使平移后的线段与另一条线段形成的夹角等于∠APC，再构造直角三角形计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
平移线段AB，得到过点D且与AB平行的线段DE，E为格点，连接CE。根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠CDE=∠APC。
利用勾股定理计算△CDE的各边长度：
$DE = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$CE = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$CD = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
经计算可得$DE^2 + CE^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25 = CD^2$，因此△CDE是直角三角形，且∠DEC=90°。
根据锐角余弦的定义，$\cos∠CDE = \frac{邻边}{斜边} = \frac{DE}{CD} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
所以$\cos∠APC = \cos∠CDE = \frac{\sqrt{5}}{5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；平移的性质；勾股定理
【点评】
本题结合方格纸考查锐角三角函数值的求解，解题的关键是利用转化思想，通过平移将所求角转移到直角三角形中，再结合勾股定理计算边长求解，侧重对基础方法和转化思想的考查。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 在$Rt△ ABC$中,若$∠ C=90°$,$AC=5$,$BC=12$,则$\sin A$的值为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
11. 在$Rt△ ABC$中,若$∠ C=90°$,$AC=5$,$BC=12$,则$\sin A$的值为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案
$\boldsymbol{\frac{12}{13}}$
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角正弦值的计算问题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。要求$\sin A$，我们需要先确定$∠ A$的对边长度和斜边长度：已知$BC$是$∠ A$的对边，长度为12，斜边$AB$未知，因此先通过勾股定理计算斜边$AB$的长度，再代入正弦定义即可求出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$\frac{12}{13}$
【知识点】
勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，只要熟记相关定义和定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形中锐角正弦值的计算问题，解题思路如下：首先回忆锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。要求$\sin A$，我们需要先确定$∠ A$的对边长度和斜边长度：已知$BC$是$∠ A$的对边，长度为12，斜边$AB$未知，因此先通过勾股定理计算斜边$AB$的长度，再代入正弦定义即可求出结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理，斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
根据正弦函数的定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$\frac{12}{13}$
【知识点】
勾股定理；正弦的定义
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，只要熟记相关定义和定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
12. 如图10,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC,DE交于点F.若$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$,则$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=$. 图10 
图11 
图11 答案
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手，得到AB与CD平行且相等的关系，结合已知的AE与EB的比值，先求出AE与CD的比值；再由AB平行CD可证△AEF和△CDF相似，利用相似三角形的性质得到对应边EF和DF的比值；最后观察△ADF和△AEF的位置关系，二者同高，面积比等于对应底的比，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+EB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，
∵AB//CD，
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，
∴△AEF∽△CDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，即$\frac{DF}{EF}=\frac{5}{2}$，
∵△ADF和△AEF有共同的高（过点A向DE作的垂线段），底边DF、EF在同一直线DE上，
∴$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=\frac{DF}{EF}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是几何常见的面积比题型，解题的核心是通过平行四边形性质找到相似三角形，将线段比和面积比结合起来，考查了学生的几何推理能力和对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从平行四边形的性质入手，得到AB与CD平行且相等的关系，结合已知的AE与EB的比值，先求出AE与CD的比值；再由AB平行CD可证△AEF和△CDF相似，利用相似三角形的性质得到对应边EF和DF的比值；最后观察△ADF和△AEF的位置关系，二者同高，面积比等于对应底的比，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵$\frac{AE}{EB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AE}{AE+EB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，
∵AB//CD，
∴∠FAE=∠FCD，∠FEA=∠FDC，
∴△AEF∽△CDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，即$\frac{DF}{EF}=\frac{5}{2}$，
∵△ADF和△AEF有共同的高（过点A向DE作的垂线段），底边DF、EF在同一直线DE上，
∴$\frac{S_{△ ADF}}{S_{△ AEF}}=\frac{DF}{EF}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是几何常见的面积比题型，解题的核心是通过平行四边形性质找到相似三角形，将线段比和面积比结合起来，考查了学生的几何推理能力和对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
