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22.(10分)(2025·遂宁)如图18,在实践活动中,为了测得摩天轮的高度 CF,在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°,再向摩天轮方向前进30米至B处,又测得摩天轮顶端C的仰角β=50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
答案
解：过点C作CG⊥DE，垂足为G，
由题意得：$AD=BE=GF=1.6$米，$AB=DE=30$米，$∠ CDG=37°$，$∠ CEG=50°$。
设$CG=x$米。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，$\tan∠ CEG=\dfrac{CG}{EG}$，
即$\tan50°=\dfrac{x}{EG}$，
$\therefore EG=\dfrac{x}{\tan50°}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$\tan∠ CDG=\dfrac{CG}{DG}$，
即$\tan37°=\dfrac{x}{DG}$，
$\therefore DG=\dfrac{x}{\tan37°}$。
$\because DG-EG=DE=30$，
$\therefore \dfrac{x}{\tan37°}-\dfrac{x}{\tan50°}=30$，
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan50°\approx1.19$，得：
$\dfrac{x}{0.75}-\dfrac{x}{1.19}=30$，
解得$x\approx60.85$，
$\therefore CF=CG+GF\approx60.85+1.6\approx62.5$（米）。
答：摩天轮$CF$的高度约为62.5米。
由题意得：$AD=BE=GF=1.6$米，$AB=DE=30$米，$∠ CDG=37°$，$∠ CEG=50°$。
设$CG=x$米。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，$\tan∠ CEG=\dfrac{CG}{EG}$，
即$\tan50°=\dfrac{x}{EG}$，
$\therefore EG=\dfrac{x}{\tan50°}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$\tan∠ CDG=\dfrac{CG}{DG}$，
即$\tan37°=\dfrac{x}{DG}$，
$\therefore DG=\dfrac{x}{\tan37°}$。
$\because DG-EG=DE=30$，
$\therefore \dfrac{x}{\tan37°}-\dfrac{x}{\tan50°}=30$，
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan50°\approx1.19$，得：
$\dfrac{x}{0.75}-\dfrac{x}{1.19}=30$，
解得$x\approx60.85$，
$\therefore CF=CG+GF\approx60.85+1.6\approx62.5$（米）。
答：摩天轮$CF$的高度约为62.5米。
解析
【分析】
本题是利用解直角三角形解决实际测高的问题，解题思路如下：首先将实际场景转化为几何模型，作辅助线构造两个共直角边的直角三角形；明确已知条件：测角仪高1.6米，两次测量点的水平距离AB=DE=30米，两个仰角的度数；设公共直角边CG的长度为x，分别在两个直角三角形中用正切函数表示出DG和EG的长度，再根据DG-EG=DE=30米列方程，求解得到CG的长度后，加上测角仪的高度（即GF的长度）即可得到摩天轮CF的总高度，解题时注意不要遗漏测角仪的高度，代入参考数据计算时要保证精度。
【解析】
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
由题意得：$AD=BE=GF=1.6$米，$AB=DE=30$米，$∠ CDG=37°$，$∠ CEG=50°$。
设$CG=x$米。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，$\tan∠ CEG=\dfrac{CG}{EG}$，
即$\tan50°=\dfrac{x}{EG}$，
$\therefore EG=\dfrac{x}{\tan50°}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$\tan∠ CDG=\dfrac{CG}{DG}$，
即$\tan37°=\dfrac{x}{DG}$，
$\therefore DG=\dfrac{x}{\tan37°}$。
$\because DG-EG=DE=30$，
$\therefore \dfrac{x}{\tan37°}-\dfrac{x}{\tan50°}=30$，
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan50°\approx1.19$，得：
$\dfrac{x}{0.75}-\dfrac{x}{1.19}=30$，
解得$x\approx60.85$，
$\therefore CF=CG+GF\approx60.85+1.6\approx62.5$（米）。
【答案】
摩天轮CF的高度约为62.5米。
【知识点】
1. 仰角问题 2. 锐角三角函数 3. 解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的测高场景，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是构造共直角边的直角三角形，利用三角函数建立方程求解，需要注意不要遗漏测角仪的高度，计算时要合理使用给出的参考数据保证结果精度。
【难度系数】
0.6
本题是利用解直角三角形解决实际测高的问题，解题思路如下：首先将实际场景转化为几何模型，作辅助线构造两个共直角边的直角三角形；明确已知条件：测角仪高1.6米，两次测量点的水平距离AB=DE=30米，两个仰角的度数；设公共直角边CG的长度为x，分别在两个直角三角形中用正切函数表示出DG和EG的长度，再根据DG-EG=DE=30米列方程，求解得到CG的长度后，加上测角仪的高度（即GF的长度）即可得到摩天轮CF的总高度，解题时注意不要遗漏测角仪的高度，代入参考数据计算时要保证精度。
【解析】
过点C作CG⊥DE，垂足为G，
由题意得：$AD=BE=GF=1.6$米，$AB=DE=30$米，$∠ CDG=37°$，$∠ CEG=50°$。
设$CG=x$米。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，$\tan∠ CEG=\dfrac{CG}{EG}$，
即$\tan50°=\dfrac{x}{EG}$，
$\therefore EG=\dfrac{x}{\tan50°}$。
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$\tan∠ CDG=\dfrac{CG}{DG}$，
即$\tan37°=\dfrac{x}{DG}$，
$\therefore DG=\dfrac{x}{\tan37°}$。
$\because DG-EG=DE=30$，
$\therefore \dfrac{x}{\tan37°}-\dfrac{x}{\tan50°}=30$，
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan50°\approx1.19$，得：
$\dfrac{x}{0.75}-\dfrac{x}{1.19}=30$，
解得$x\approx60.85$，
$\therefore CF=CG+GF\approx60.85+1.6\approx62.5$（米）。
【答案】
摩天轮CF的高度约为62.5米。
【知识点】
1. 仰角问题 2. 锐角三角函数 3. 解直角三角形
【点评】
本题结合生活中的测高场景，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是构造共直角边的直角三角形，利用三角函数建立方程求解，需要注意不要遗漏测角仪的高度，计算时要合理使用给出的参考数据保证结果精度。
【难度系数】
0.6
23.(11分)如图19,一楼房AB后有一假山,其坡度为$i=1:\sqrt{3}$,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25 m,与亭子距离CE=20 m,小丽从楼房顶测得E点的俯角为$45°$,求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
答案
解：过点E作EF⊥BC于点F，EG⊥AB于点G，
由题意可知，四边形BGEF为矩形，
∴ BG=EF，EG=BF。
∵ 假山坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，则$CF=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CE=20\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EF^2 + CF^2 = CE^2$
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 20^2$，
解得$x=10$（负值舍去），
∴ $EF=10\ \mathrm{m}$，$CF=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $EG = BF = BC + CF = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
由俯角为$45°$，得$∠ AEG=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG = EG = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
又∵ $BG=EF=10\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AG + BG = 25 + 10\sqrt{3} + 10 = 35 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
答：楼房AB的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
由题意可知，四边形BGEF为矩形，
∴ BG=EF，EG=BF。
∵ 假山坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，则$CF=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CE=20\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EF^2 + CF^2 = CE^2$
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 20^2$，
解得$x=10$（负值舍去），
∴ $EF=10\ \mathrm{m}$，$CF=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $EG = BF = BC + CF = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
由俯角为$45°$，得$∠ AEG=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG = EG = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
又∵ $BG=EF=10\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AG + BG = 25 + 10\sqrt{3} + 10 = 35 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
答：楼房AB的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，求解楼房高度AB时，可通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的相关计算：首先过E作EF垂直BC、EG垂直AB，构造矩形BGEF，此时AB可拆分为AG+BG两部分，其中BG等于山坡E点的铅直高度EF，AG可通过俯角45°的直角三角形性质求解。首先利用坡度的定义和勾股定理求出EF、CF的长度，再得到EG的长度，结合45°角的直角三角形两直角边相等的性质求出AG，最后将AG和BG相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点E作EF⊥BC于点F，EG⊥AB于点G，
由题意可知，四边形BGEF为矩形，
∴ BG=EF，EG=BF。
∵ 假山坡度$i=1:\sqrt{3}$，即坡面铅直高度与水平宽度的比$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，则$CF=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CE=20\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EF^2 + CF^2 = CE^2$
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 20^2$，
解得$x=10$（负值舍去），
∴ $EF=10\ \mathrm{m}$，$CF=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $EG = BF = BC + CF = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
由楼顶测得E点俯角为$45°$，可得$∠ AEG=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$∠AGE=90°$，$∠AEG=45°$，故$AG = EG = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
又
∵ $BG=EF=10\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AG + BG = 25 + 10\sqrt{3} + 10 = 35 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
楼房AB的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用、坡度的概念、俯角的概念
【点评】
本题属于解直角三角形的典型应用题，核心是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形和矩形的计算问题，解题时需要准确理解坡度、俯角的定义，熟练运用勾股定理和特殊角的三角函数值进行计算。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，求解楼房高度AB时，可通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的相关计算：首先过E作EF垂直BC、EG垂直AB，构造矩形BGEF，此时AB可拆分为AG+BG两部分，其中BG等于山坡E点的铅直高度EF，AG可通过俯角45°的直角三角形性质求解。首先利用坡度的定义和勾股定理求出EF、CF的长度，再得到EG的长度，结合45°角的直角三角形两直角边相等的性质求出AG，最后将AG和BG相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点E作EF⊥BC于点F，EG⊥AB于点G，
由题意可知，四边形BGEF为矩形，
∴ BG=EF，EG=BF。
∵ 假山坡度$i=1:\sqrt{3}$，即坡面铅直高度与水平宽度的比$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
设$EF=x\ \mathrm{m}$，则$CF=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$CE=20\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$EF^2 + CF^2 = CE^2$
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 20^2$，
解得$x=10$（负值舍去），
∴ $EF=10\ \mathrm{m}$，$CF=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∴ $EG = BF = BC + CF = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
由楼顶测得E点俯角为$45°$，可得$∠ AEG=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$∠AGE=90°$，$∠AEG=45°$，故$AG = EG = 25 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
又
∵ $BG=EF=10\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AG + BG = 25 + 10\sqrt{3} + 10 = 35 + 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
楼房AB的高为$(35+10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用、坡度的概念、俯角的概念
【点评】
本题属于解直角三角形的典型应用题，核心是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形和矩形的计算问题，解题时需要准确理解坡度、俯角的定义，熟练运用勾股定理和特殊角的三角函数值进行计算。
【难度系数】
0.7
