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19. (9分)图15是某款篮球架的示意图,已知底座$BC=0.60\ \mathrm{m}$,底座$BC$与支架$AC$所成的角$∠ ACB=75°$,支架$AF$的长为$2.50\ \mathrm{m}$,篮板顶端$F$点到篮圈$D$的距离$FD=1.35\ \mathrm{m}$,篮板底部支架$HE$与支架$AF$所成的角$∠ FHE=60°$,求篮圈$D$到地面的距离.(结果精确到$0.01\ \mathrm{m}$.参考数据:$\cos75°\approx0.2588$,$\sin75°\approx0.9659$,$\tan75°\approx3.732$,$\sqrt{3}\approx1.732$,$\sqrt{2}\approx1.414$)
答案
解：
过点A作AG平行于地面，过点F作FG⊥AG，垂足为G。
由题意可知AB垂直于地面，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=75°，BC=0.60 m，
∴ $AB = BC · \tan75° \approx 0.60 × 3.732 = 2.2392\ \mathrm{m}$。
∵ HE // AG，
∴ ∠FAG = ∠FHE = 60°。
在Rt△AFG中，AF=2.50 m，∠FAG=60°，
∴ $FG = AF · \sin60° = 2.50 × \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.50 × 0.866 = 2.165\ \mathrm{m}$。
点F到地面的竖直高度为 $AB + FG \approx 2.2392 + 2.165 = 4.4042\ \mathrm{m}$。
∵ FD=1.35 m，且FD为竖直线段，
∴ 篮圈D到地面的距离为 $4.4042 - 1.35 \approx 3.05\ \mathrm{m}$。
答：篮圈D到地面的距离约为3.05 m。
过点A作AG平行于地面，过点F作FG⊥AG，垂足为G。
由题意可知AB垂直于地面，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=75°，BC=0.60 m，
∴ $AB = BC · \tan75° \approx 0.60 × 3.732 = 2.2392\ \mathrm{m}$。
∵ HE // AG，
∴ ∠FAG = ∠FHE = 60°。
在Rt△AFG中，AF=2.50 m，∠FAG=60°，
∴ $FG = AF · \sin60° = 2.50 × \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.50 × 0.866 = 2.165\ \mathrm{m}$。
点F到地面的竖直高度为 $AB + FG \approx 2.2392 + 2.165 = 4.4042\ \mathrm{m}$。
∵ FD=1.35 m，且FD为竖直线段，
∴ 篮圈D到地面的距离为 $4.4042 - 1.35 \approx 3.05\ \mathrm{m}$。
答：篮圈D到地面的距离约为3.05 m。
解析
【分析】
要计算篮圈D到地面的距离，可先求出篮板顶端F到地面的竖直高度，再减去FD的长度即可，具体思路如下：①先求AB的长度：已知AB垂直地面，在Rt△ABC中，给出了BC的长度和∠ACB的度数，可通过正切函数求出AB的长度；②再求F点相对于A点的竖直高度：过A作平行于地面的水平线AG，过F作FG⊥AG于G，由HE//AG可得∠FAG=∠FHE=60°，在Rt△AFG中利用正弦函数求出FG的长度；③F到地面的总高度为AB与FG的和，减去FD的长度即可得到D到地面的距离，最后按要求保留近似值。
【解析】
解：过点A作AG平行于地面，过点F作FG⊥AG，垂足为G。
由题意可知AB垂直于地面，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=75°，BC=0.60 m，
∴ $AB = BC · \tan75° \approx 0.60 × 3.732 = 2.2392\ \mathrm{m}$。
∵ HE // AG，
∴ ∠FAG = ∠FHE = 60°。
在Rt△AFG中，AF=2.50 m，∠FAG=60°，
∴ $FG = AF · \sin60° = 2.50 × \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.50 × 0.866 = 2.165\ \mathrm{m}$。
点F到地面的竖直高度为 $AB + FG \approx 2.2392 + 2.165 = 4.4042\ \mathrm{m}$。
∵ FD=1.35 m，且FD为竖直线段，
∴ 篮圈D到地面的距离为 $4.4042 - 1.35 \approx 3.05\ \mathrm{m}$。
【答案】
篮圈D到地面的距离约为3.05 m
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数；平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是通过构造辅助线将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要准确梳理各线段之间的数量关系，计算时注意近似值的取值规范，避免计算误差。
【难度系数】
0.6
要计算篮圈D到地面的距离，可先求出篮板顶端F到地面的竖直高度，再减去FD的长度即可，具体思路如下：①先求AB的长度：已知AB垂直地面，在Rt△ABC中，给出了BC的长度和∠ACB的度数，可通过正切函数求出AB的长度；②再求F点相对于A点的竖直高度：过A作平行于地面的水平线AG，过F作FG⊥AG于G，由HE//AG可得∠FAG=∠FHE=60°，在Rt△AFG中利用正弦函数求出FG的长度；③F到地面的总高度为AB与FG的和，减去FD的长度即可得到D到地面的距离，最后按要求保留近似值。
【解析】
解：过点A作AG平行于地面，过点F作FG⊥AG，垂足为G。
由题意可知AB垂直于地面，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=75°，BC=0.60 m，
∴ $AB = BC · \tan75° \approx 0.60 × 3.732 = 2.2392\ \mathrm{m}$。
∵ HE // AG，
∴ ∠FAG = ∠FHE = 60°。
在Rt△AFG中，AF=2.50 m，∠FAG=60°，
∴ $FG = AF · \sin60° = 2.50 × \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.50 × 0.866 = 2.165\ \mathrm{m}$。
点F到地面的竖直高度为 $AB + FG \approx 2.2392 + 2.165 = 4.4042\ \mathrm{m}$。
∵ FD=1.35 m，且FD为竖直线段，
∴ 篮圈D到地面的距离为 $4.4042 - 1.35 \approx 3.05\ \mathrm{m}$。
【答案】
篮圈D到地面的距离约为3.05 m
【知识点】
解直角三角形的应用；锐角三角函数；平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题核心是通过构造辅助线将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要准确梳理各线段之间的数量关系，计算时注意近似值的取值规范，避免计算误差。
【难度系数】
0.6
20. (9分)图16是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm. AB的倾斜角为30°. BE = CA = 50 cm. 支撑角钢CD, EF与底座地基台面接触点分别为D, F. CD垂直于地面，FE⊥AB于点E. 两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度分别是多少.(结果保留根号)
答案
解：
过点A作AH平行于地面，过点C作CM⊥AH于点M，
由题意得∠CAM=30°。
在Rt△ACM中，AC=50 cm，∠CAM=30°，
∴ $AM = AC·\sin30° = 50×\frac{1}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
∵ 点A到地面的垂直距离为50 cm，点D到地面的垂直距离为30 cm，CD垂直地面，
∴ $CD = 50 + AM - 30 = 50 + 25 - 30 = 45\ \mathrm{cm}$。
∵ AB=300 cm，BE=50 cm，
∴ $AE = AB - BE = 300 - 50 = 250\ \mathrm{cm}$。
过点E作EG⊥AH于点G，
在Rt△AEG中，AE=250 cm，∠EAG=30°，
∴ $EG = AE·\sin30° = 250×\frac{1}{2}=125\ \mathrm{cm}$，
∴ 点E到地面的垂直高度为 $50 + 125 = 175\ \mathrm{cm}$。
过点F作FN⊥EG于点N，
∵ 点F到地面的垂直距离为30 cm，
∴ $EN = 175 - 30 = 145\ \mathrm{cm}$。
∵ FE⊥AB，
∴ ∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠ENF=90°，∠FEN=30°，
∴ $EF = \frac{EN}{\cos30°} = \frac{145}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
答：支撑角钢CD的长度为45 cm，EF的长度为$\frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
过点A作AH平行于地面，过点C作CM⊥AH于点M，
由题意得∠CAM=30°。
在Rt△ACM中，AC=50 cm，∠CAM=30°，
∴ $AM = AC·\sin30° = 50×\frac{1}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
∵ 点A到地面的垂直距离为50 cm，点D到地面的垂直距离为30 cm，CD垂直地面，
∴ $CD = 50 + AM - 30 = 50 + 25 - 30 = 45\ \mathrm{cm}$。
∵ AB=300 cm，BE=50 cm，
∴ $AE = AB - BE = 300 - 50 = 250\ \mathrm{cm}$。
过点E作EG⊥AH于点G，
在Rt△AEG中，AE=250 cm，∠EAG=30°，
∴ $EG = AE·\sin30° = 250×\frac{1}{2}=125\ \mathrm{cm}$，
∴ 点E到地面的垂直高度为 $50 + 125 = 175\ \mathrm{cm}$。
过点F作FN⊥EG于点N，
∵ 点F到地面的垂直距离为30 cm，
∴ $EN = 175 - 30 = 145\ \mathrm{cm}$。
∵ FE⊥AB，
∴ ∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠ENF=90°，∠FEN=30°，
∴ $EF = \frac{EN}{\cos30°} = \frac{145}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
答：支撑角钢CD的长度为45 cm，EF的长度为$\frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题时需先将实际问题中的长度、角度关系转化为直角三角形的边角关系：①求CD的长度时，先构造以AC为斜边、含30°角的直角三角形，求出点C相对点A的竖直高度差，再结合点A、点D到地面的高度差即可计算CD的长度；②求EF的长度时，先算出AE的长度，同理求出点E相对点A的竖直高度差，得到点E到地面的总高度，再结合点F到地面的高度得到E、F两点的竖直高度差，最后根据FE⊥AB的垂直关系确定直角三角形中30°角的位置，利用三角函数即可求出EF的长度。
【解析】
过点A作AH平行于地面，过点C作CM⊥AH于点M，
由题意得∠CAM=30°。
在Rt△ACM中，AC=50 cm，∠CAM=30°，
∴ $CM = AC·\sin30° = 50×\frac{1}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
∵ 点A到地面的垂直距离为50 cm，点D到地面的垂直距离为30 cm，CD垂直地面，
∴ $CD = 50 + CM - 30 = 50 + 25 - 30 = 45\ \mathrm{cm}$。
∵ AB=300 cm，BE=50 cm，
∴ $AE = AB - BE = 300 - 50 = 250\ \mathrm{cm}$。
过点E作EG⊥AH于点G，
在Rt△AEG中，AE=250 cm，∠EAG=30°，
∴ $EG = AE·\sin30° = 250×\frac{1}{2}=125\ \mathrm{cm}$，
∴ 点E到地面的垂直高度为 $50 + 125 = 175\ \mathrm{cm}$。
过点F作FN⊥EG于点N，
∵ 点F到地面的垂直距离为30 cm，
∴ $EN = 175 - 30 = 145\ \mathrm{cm}$。
∵ FE⊥AB，
∴ ∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠ENF=90°，∠FEN=30°，
∴ $EF = \frac{EN}{\cos30°} = \frac{145}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
支撑角钢CD的长度为$\boldsymbol{45\ \mathrm{cm}}$，EF的长度为$\boldsymbol{\frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，直角三角形边角关系
【点评】
本题以太阳能电池板支撑架为背景，将实际问题与解直角三角形的知识结合，既考查了学生构造直角三角形、运用三角函数计算边长的能力，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值，解题的关键是理清各点之间的高度差和角度关系。
【难度系数】
0.65
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题时需先将实际问题中的长度、角度关系转化为直角三角形的边角关系：①求CD的长度时，先构造以AC为斜边、含30°角的直角三角形，求出点C相对点A的竖直高度差，再结合点A、点D到地面的高度差即可计算CD的长度；②求EF的长度时，先算出AE的长度，同理求出点E相对点A的竖直高度差，得到点E到地面的总高度，再结合点F到地面的高度得到E、F两点的竖直高度差，最后根据FE⊥AB的垂直关系确定直角三角形中30°角的位置，利用三角函数即可求出EF的长度。
【解析】
过点A作AH平行于地面，过点C作CM⊥AH于点M，
由题意得∠CAM=30°。
在Rt△ACM中，AC=50 cm，∠CAM=30°，
∴ $CM = AC·\sin30° = 50×\frac{1}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
∵ 点A到地面的垂直距离为50 cm，点D到地面的垂直距离为30 cm，CD垂直地面，
∴ $CD = 50 + CM - 30 = 50 + 25 - 30 = 45\ \mathrm{cm}$。
∵ AB=300 cm，BE=50 cm，
∴ $AE = AB - BE = 300 - 50 = 250\ \mathrm{cm}$。
过点E作EG⊥AH于点G，
在Rt△AEG中，AE=250 cm，∠EAG=30°，
∴ $EG = AE·\sin30° = 250×\frac{1}{2}=125\ \mathrm{cm}$，
∴ 点E到地面的垂直高度为 $50 + 125 = 175\ \mathrm{cm}$。
过点F作FN⊥EG于点N，
∵ 点F到地面的垂直距离为30 cm，
∴ $EN = 175 - 30 = 145\ \mathrm{cm}$。
∵ FE⊥AB，
∴ ∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠ENF=90°，∠FEN=30°，
∴ $EF = \frac{EN}{\cos30°} = \frac{145}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
支撑角钢CD的长度为$\boldsymbol{45\ \mathrm{cm}}$，EF的长度为$\boldsymbol{\frac{290\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，直角三角形边角关系
【点评】
本题以太阳能电池板支撑架为背景，将实际问题与解直角三角形的知识结合，既考查了学生构造直角三角形、运用三角函数计算边长的能力，也体现了数学知识在实际生活中的应用价值，解题的关键是理清各点之间的高度差和角度关系。
【难度系数】
0.65
21. (10分)如图17,一艘海轮位于灯塔P的北偏东$64°$方向,距离灯塔120海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东$45°$方向上的B处,求BP和BA的长.(结果取整数.参考数据:$\sin64°\approx0.90$,$\cos64°\approx0.44$,$\tan64°\approx2.05$,$\sqrt{2}\approx1.414$)
22. (10分)(2025·遂宁)如图18,在实践活动中,为了测得摩天
22. (10分)(2025·遂宁)如图18,在实践活动中,为了测得摩天
答案
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB平行于南北方向参考线，
∴ ∠A = 64°，∠B = 45°。
在Rt△APC中，∠ACP=90°，PA=120海里，
∴ PC = PA·sin64° ≈ 120×0.90 = 108（海里），
AC = PA·cos64° ≈ 120×0.44 = 52.8（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠B=45°，
∴ BP = $\frac{PC}{\sin45°}$ = $\sqrt{2}·PC$ ≈ 1.414×108 ≈ 153（海里），
∵ ∠BPC = 90° - ∠B = 45°，
∴ ∠BPC = ∠B，
∴ BC = PC = 108（海里）。
∴ BA = AC + BC ≈ 52.8 + 108 ≈ 161（海里）。
答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里。
由题意可知，AB平行于南北方向参考线，
∴ ∠A = 64°，∠B = 45°。
在Rt△APC中，∠ACP=90°，PA=120海里，
∴ PC = PA·sin64° ≈ 120×0.90 = 108（海里），
AC = PA·cos64° ≈ 120×0.44 = 52.8（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠B=45°，
∴ BP = $\frac{PC}{\sin45°}$ = $\sqrt{2}·PC$ ≈ 1.414×108 ≈ 153（海里），
∵ ∠BPC = 90° - ∠B = 45°，
∴ ∠BPC = ∠B，
∴ BC = PC = 108（海里）。
∴ BA = AC + BC ≈ 52.8 + 108 ≈ 161（海里）。
答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里。
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的方位角应用问题，解题核心是通过作辅助线将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先过点P作PC⊥AB，将△PAB分割为Rt△APC和Rt△BPC；先利用Rt△APC中已知的PA长度和∠A的度数，结合锐角三角函数求出PC、AC的长度；再利用Rt△BPC中∠B=45°的特殊性，得到BC=PC，再用三角函数求出BP的长度，最后将AC和BC相加得到BA的长度即可。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB平行于南北方向参考线，
∴ ∠A = 64°，∠B = 45°。
在Rt△APC中，∠ACP=90°，PA=120海里，
∴ PC = PA·sin64° ≈ 120×0.90 = 108（海里），
AC = PA·cos64° ≈ 120×0.44 = 52.8（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠B=45°，
∴ BP = $\frac{PC}{\sin45°}$ = $\sqrt{2}·PC$ ≈ 1.414×108 ≈ 153（海里），
∵ ∠BPC = 90° - ∠B = 45°，
∴ ∠BPC = ∠B，
∴ BC = PC = 108（海里）。
∴ BA = AC + BC ≈ 52.8 + 108 ≈ 161（海里）。
【答案】
BP的长约为153海里，BA的长约为161海里。
【知识点】
方位角应用，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，需要学生准确理解方位角的含义，掌握构造直角三角形的辅助线做法，能灵活运用锐角三角函数和特殊直角三角形的性质进行计算，计算时要注意题目给出的参考数据的使用，按要求对结果取整。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的方位角应用问题，解题核心是通过作辅助线将斜三角形转化为两个直角三角形求解。首先过点P作PC⊥AB，将△PAB分割为Rt△APC和Rt△BPC；先利用Rt△APC中已知的PA长度和∠A的度数，结合锐角三角函数求出PC、AC的长度；再利用Rt△BPC中∠B=45°的特殊性，得到BC=PC，再用三角函数求出BP的长度，最后将AC和BC相加得到BA的长度即可。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意可知，AB平行于南北方向参考线，
∴ ∠A = 64°，∠B = 45°。
在Rt△APC中，∠ACP=90°，PA=120海里，
∴ PC = PA·sin64° ≈ 120×0.90 = 108（海里），
AC = PA·cos64° ≈ 120×0.44 = 52.8（海里）。
在Rt△BCP中，∠BCP=90°，∠B=45°，
∴ BP = $\frac{PC}{\sin45°}$ = $\sqrt{2}·PC$ ≈ 1.414×108 ≈ 153（海里），
∵ ∠BPC = 90° - ∠B = 45°，
∴ ∠BPC = ∠B，
∴ BC = PC = 108（海里）。
∴ BA = AC + BC ≈ 52.8 + 108 ≈ 161（海里）。
【答案】
BP的长约为153海里，BA的长约为161海里。
【知识点】
方位角应用，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，需要学生准确理解方位角的含义，掌握构造直角三角形的辅助线做法，能灵活运用锐角三角函数和特殊直角三角形的性质进行计算，计算时要注意题目给出的参考数据的使用，按要求对结果取整。
【难度系数】
0.7
