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17.(9分)如图13,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东$60°$的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东$30°$的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续前行,试问:轮船有无触礁的危险?(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732$)
答案
解：由题意可知，$AD⊥ BD$，$BC=200$海里，
$∠ ABD=90°-60°=30°$，$∠ ACD=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACD - ∠ ABD=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABD$，
$\therefore AC=BC=200$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
$AD = AC·\sin∠ ACD = 200×\sin60° = 200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\approx100×1.732=173.2$（海里）。
$\because 173.2＞170$，
$\therefore$轮船不改变航向继续前行，没有触礁的危险。
$∠ ABD=90°-60°=30°$，$∠ ACD=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACD - ∠ ABD=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABD$，
$\therefore AC=BC=200$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
$AD = AC·\sin∠ ACD = 200×\sin60° = 200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\approx100×1.732=173.2$（海里）。
$\because 173.2＞170$，
$\therefore$轮船不改变航向继续前行，没有触礁的危险。
解析
【分析】
要判断轮船是否有触礁危险，核心是求出小岛A到轮船航行路线BD的最短垂直距离AD，再将AD与170海里比较，若AD＞170则无危险，反之有危险。第一步先根据方位角的定义计算出∠ABD和∠ACD的度数，再利用三角形外角性质推导∠BAC=∠ABD，得到AC=BC的等量关系；第二步在Rt△ACD中利用正弦三角函数计算AD的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
解：由题意可知，$AD⊥ BD$，$BC=200$海里，
$∠ ABD=90°-60°=30°$，$∠ ACD=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACD - ∠ ABD=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABD$，
$\therefore AC=BC=200$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
$AD = AC·\sin∠ ACD = 200×\sin60° = 200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\approx100×1.732=173.2$（海里）。
$\because 173.2＞170$，
$\therefore$轮船不改变航向继续前行，没有触礁的危险。
【答案】轮船不改变航向继续前行，没有触礁的危险。
【知识点】
方位角应用；等腰三角形判定；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是将实际问题转化为几何计算问题，明确垂线段最短是判断触礁风险的核心依据，解题过程结合了等腰三角形性质与锐角三角函数计算，是贴合生活的常见考点题型。
【难度系数】
0.7
要判断轮船是否有触礁危险，核心是求出小岛A到轮船航行路线BD的最短垂直距离AD，再将AD与170海里比较，若AD＞170则无危险，反之有危险。第一步先根据方位角的定义计算出∠ABD和∠ACD的度数，再利用三角形外角性质推导∠BAC=∠ABD，得到AC=BC的等量关系；第二步在Rt△ACD中利用正弦三角函数计算AD的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
解：由题意可知，$AD⊥ BD$，$BC=200$海里，
$∠ ABD=90°-60°=30°$，$∠ ACD=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACD - ∠ ABD=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ABD$，
$\therefore AC=BC=200$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，
$AD = AC·\sin∠ ACD = 200×\sin60° = 200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\approx100×1.732=173.2$（海里）。
$\because 173.2＞170$，
$\therefore$轮船不改变航向继续前行，没有触礁的危险。
【答案】轮船不改变航向继续前行，没有触礁的危险。
【知识点】
方位角应用；等腰三角形判定；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题关键是将实际问题转化为几何计算问题，明确垂线段最短是判断触礁风险的核心依据，解题过程结合了等腰三角形性质与锐角三角函数计算，是贴合生活的常见考点题型。
【难度系数】
0.7
18. (9分)如图14①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,以下是小亮探究$\frac{a}{\sin A}$与$\frac{b}{\sin B}$之间关系的方法:
∵ $\sin A=\frac{a}{c},\sin B=\frac{b}{c}$,
∴ $c=\frac{a}{\sin A},c=\frac{b}{\sin B}$,
∴ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
根据你掌握的三角函数知识,在图14②的锐角$△ ABC$中,探究$\frac{a}{\sin A},\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}$之间的关系,并写出探究过程.
∵ $\sin A=\frac{a}{c},\sin B=\frac{b}{c}$,
∴ $c=\frac{a}{\sin A},c=\frac{b}{\sin B}$,
∴ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
根据你掌握的三角函数知识,在图14②的锐角$△ ABC$中,探究$\frac{a}{\sin A},\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}$之间的关系,并写出探究过程.
答案
解：
探究得到的关系为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，推导过程如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{c}$，
$\therefore AD = c·\sin B$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{b}$，
$\therefore AD = b·\sin C$。
$\therefore c·\sin B = b·\sin C$，
整理得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\sin A=\frac{BE}{c}$，
$\therefore BE = c·\sin A$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\sin C=\frac{BE}{a}$，
$\therefore BE = a·\sin C$。
$\therefore c·\sin A = a·\sin C$，
整理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。
综上可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
探究得到的关系为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，推导过程如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{c}$，
$\therefore AD = c·\sin B$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{b}$，
$\therefore AD = b·\sin C$。
$\therefore c·\sin B = b·\sin C$，
整理得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\sin A=\frac{BE}{c}$，
$\therefore BE = c·\sin A$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\sin C=\frac{BE}{a}$，
$\therefore BE = a·\sin C$。
$\therefore c·\sin A = a·\sin C$，
整理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。
综上可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
解析
【分析】
要探究锐角三角形中三边与其对角正弦值的关系，我们可以借助已学的直角三角形中锐角三角函数的知识，通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，以公共高为中间量建立等量关系，进而推导出三边和对应角正弦的比例关系。具体思路为：首先作三角形的高，把待研究的角放到直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出同一条高的两种形式，通过等量代换得到两组边与对应角正弦的等式，整理后即可得到三者的等量关系。
【解析】
探究得到的关系为$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，推导过程如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{c}$，
$\therefore AD = c·\sin B$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{b}$，
$\therefore AD = b·\sin C$。
$\therefore c·\sin B = b·\sin C$，
整理得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\sin A=\frac{BE}{c}$，
$\therefore BE = c·\sin A$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\sin C=\frac{BE}{a}$，
$\therefore BE = a·\sin C$。
$\therefore c·\sin A = a·\sin C$，
整理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。
综上可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
【答案】
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
【知识点】
锐角三角函数定义、构造直角三角形、等量代换
【点评】
本题是直角三角形边角关系的拓展，考查知识迁移和探究推理能力，解题核心是通过作高将锐角三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，体现了从特殊到一般、转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要探究锐角三角形中三边与其对角正弦值的关系，我们可以借助已学的直角三角形中锐角三角函数的知识，通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，以公共高为中间量建立等量关系，进而推导出三边和对应角正弦的比例关系。具体思路为：首先作三角形的高，把待研究的角放到直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出同一条高的两种形式，通过等量代换得到两组边与对应角正弦的等式，整理后即可得到三者的等量关系。
【解析】
探究得到的关系为$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，推导过程如下：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{c}$，
$\therefore AD = c·\sin B$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\sin C=\frac{AD}{b}$，
$\therefore AD = b·\sin C$。
$\therefore c·\sin B = b·\sin C$，
整理得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$\sin A=\frac{BE}{c}$，
$\therefore BE = c·\sin A$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$\sin C=\frac{BE}{a}$，
$\therefore BE = a·\sin C$。
$\therefore c·\sin A = a·\sin C$，
整理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。
综上可得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。
【答案】
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
【知识点】
锐角三角函数定义、构造直角三角形、等量代换
【点评】
本题是直角三角形边角关系的拓展，考查知识迁移和探究推理能力，解题核心是通过作高将锐角三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，体现了从特殊到一般、转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
