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12. 如图9,在$4×4$的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,$△ ABC$的顶点都在格点上,则$∠ BAC$的正弦值是.
答案
解：设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
$\because AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB = 90°$。
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
$\because AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB = 90°$。
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要求∠BAC的正弦值，首先要明确正弦的定义是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，因此我们需要先判断△ABC是否为直角三角形。本题是网格类问题，可先设小正方形边长为1，借助勾股定理求出△ABC三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，若为直角三角形，就可以直接根据三角函数定义计算∠BAC的正弦值。
【解析】
设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
$\because AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB = 90°$。
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题以网格为背景考查锐角三角函数的计算，解题核心是灵活运用勾股定理求网格中线段的长度，结合勾股定理逆定理判定直角三角形，再套用三角函数定义求解，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要求∠BAC的正弦值，首先要明确正弦的定义是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，因此我们需要先判断△ABC是否为直角三角形。本题是网格类问题，可先设小正方形边长为1，借助勾股定理求出△ABC三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，若为直角三角形，就可以直接根据三角函数定义计算∠BAC的正弦值。
【解析】
设小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$BC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
$\because AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB = 90°$。
根据锐角三角函数的定义，$\sin∠ BAC = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题以网格为背景考查锐角三角函数的计算，解题核心是灵活运用勾股定理求网格中线段的长度，结合勾股定理逆定理判定直角三角形，再套用三角函数定义求解，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13. 如图10,在$△ ABC$中,$\sin B=\frac{1}{3},\tan C=\frac{\sqrt{2}}{2},AB=3$,则$AC$的长为.
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求AC的长，已知条件仅给出了△ABC两个内角的三角函数值和AB的边长，没有直角三角形，因此首先考虑通过作辅助线构造直角三角形：过点A作BC边上的高AD，将斜三角形拆分为两个直角三角形。先在Rt△ABD中利用sinB的定义求出AD的长度，再在Rt△ADC中利用tanC的定义求出DC的长度，最后通过勾股定理即可计算出AC的长。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
1. 在Rt△ABD中，$\sin B = \frac{AD}{AB}$，已知$\sin B=\frac{1}{3}$，$AB=3$，
代入得：$AD = AB·\sin B = 3×\frac{1}{3}=1$。
2. 在Rt△ADC中，$\tan C = \frac{AD}{DC}$，已知$\tan C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AD=1$，
代入得：$DC = \frac{AD}{\tan C}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$。
3. 在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，
∵AC为三角形边长，取正值，
∴$AC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解斜三角形的常规题型，解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，考查了转化思想的应用以及对锐角三角函数、勾股定理的掌握熟练度。
【难度系数】
0.7
要求AC的长，已知条件仅给出了△ABC两个内角的三角函数值和AB的边长，没有直角三角形，因此首先考虑通过作辅助线构造直角三角形：过点A作BC边上的高AD，将斜三角形拆分为两个直角三角形。先在Rt△ABD中利用sinB的定义求出AD的长度，再在Rt△ADC中利用tanC的定义求出DC的长度，最后通过勾股定理即可计算出AC的长。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
1. 在Rt△ABD中，$\sin B = \frac{AD}{AB}$，已知$\sin B=\frac{1}{3}$，$AB=3$，
代入得：$AD = AB·\sin B = 3×\frac{1}{3}=1$。
2. 在Rt△ADC中，$\tan C = \frac{AD}{DC}$，已知$\tan C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AD=1$，
代入得：$DC = \frac{AD}{\tan C}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$。
3. 在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，
∵AC为三角形边长，取正值，
∴$AC=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解斜三角形的常规题型，解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，考查了转化思想的应用以及对锐角三角函数、勾股定理的掌握熟练度。
【难度系数】
0.7
14. 如图11，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 m.（结果精确到0.1 m.参考数据：$\sin50°\approx0.77,\cos50°\approx0.64,\tan50°\approx1.19$）
答案
$\boldsymbol{1.5}$
解析
【分析】首先观察图形可知AD是人字梯顶端到地面的高度，因此AD⊥BC，△ADC为直角三角形。已知斜边AC的长度和锐角α的度数，要求直角边AD的长度，根据锐角三角函数中正弦的定义，正弦值等于对边与斜边的比值，因此可以通过$\sinα=\frac{AD}{AC}$推导出$AD=AC·\sinα$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】解：由题意得$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ C=α=50°$，
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{AD}{AC}$，
∴$AD=AC·\sin50°\approx2×0.77=1.54\approx1.5$（m）。
【答案】$\boldsymbol{1.5}$
【知识点】锐角正弦定义；解直角三角形的应用
【点评】本题结合生活中常见的人字梯场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形中的边角计算问题，找准对应的边和角的关系即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题意得$AD⊥ BC$，即$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ C=α=50°$，
根据正弦函数的定义：$\sinα=\frac{AD}{AC}$，
∴$AD=AC·\sin50°\approx2×0.77=1.54\approx1.5$（m）。
【答案】$\boldsymbol{1.5}$
【知识点】锐角正弦定义；解直角三角形的应用
【点评】本题结合生活中常见的人字梯场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形中的边角计算问题，找准对应的边和角的关系即可快速求解。
【难度系数】0.8
15. 在综合与实践课上,小聪所在的小组要测量一条河的宽度,如图12,河岸$EF// MN$,小聪在河岸$MN$上点$A$处用测角仪测得河对岸小树$C$位于东北方向,然后沿着河岸走了$30\ \mathrm{m}$,到达$B$处,测得河对岸电线杆$D$位于北偏东$30°$方向,此时,其他同学测得$CD=10\ \mathrm{m}$. 根据这些数据可求得河的宽度为 $\mathrm{m}$.（结果保留根号）
答案
解：
过点C作$CG ⊥ MN$于点G，过点D作$DH ⊥ MN$于点H。
$\because EF // MN$，
$\therefore$ 四边形$CGHD$是矩形，
$\therefore GH=CD=10\ \mathrm{m}$，$CG=DH$，设河宽$CG=DH=x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点A处测得C在东北方向，故$∠ CAG=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$∠ AGC=90°$，$∠ CAG=45°$，
$\therefore AG=CG=x\ \mathrm{m}$。
$\because AB=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore BG=AG-AB=(x-30)\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点B处测得D在北偏东$30°$方向，故$∠ DBH=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$\tan∠ DBH=\frac{DH}{BH}$，即$\tan60°=\frac{x}{BH}$，
$\therefore BH=\frac{x}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BH=BG+GH$，代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}x = (x-30) + 10$
整理得：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=20$
$x·\frac{3-\sqrt{3}}{3}=20$
$x=\frac{60}{3-\sqrt{3}}=30+10\sqrt{3}$
故河的宽度为$\boldsymbol{30+10\sqrt{3}}\ \mathrm{m}$。
过点C作$CG ⊥ MN$于点G，过点D作$DH ⊥ MN$于点H。
$\because EF // MN$，
$\therefore$ 四边形$CGHD$是矩形，
$\therefore GH=CD=10\ \mathrm{m}$，$CG=DH$，设河宽$CG=DH=x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点A处测得C在东北方向，故$∠ CAG=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$∠ AGC=90°$，$∠ CAG=45°$，
$\therefore AG=CG=x\ \mathrm{m}$。
$\because AB=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore BG=AG-AB=(x-30)\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点B处测得D在北偏东$30°$方向，故$∠ DBH=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$\tan∠ DBH=\frac{DH}{BH}$，即$\tan60°=\frac{x}{BH}$，
$\therefore BH=\frac{x}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BH=BG+GH$，代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}x = (x-30) + 10$
整理得：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=20$
$x·\frac{3-\sqrt{3}}{3}=20$
$x=\frac{60}{3-\sqrt{3}}=30+10\sqrt{3}$
故河的宽度为$\boldsymbol{30+10\sqrt{3}}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是利用解直角三角形求河宽的实际应用问题，解题思路如下：①因为河岸$EF// MN$，要把河宽转化为可计算的线段，可过C、D分别作MN的垂线，得到矩形$CGHD$，将已知的$CD$长度转化为$GH$的长度，同时两条垂线段的长度都等于河宽，设河宽为$x\ \mathrm{m}$；②根据东北方向即北偏东$45°$，可知$\mathrm{Rt}△ ACG$为等腰直角三角形，用$x$表示出$AG$的长度，进而得到$BG$的长度；③根据B处测得D的方向角，得到$\mathrm{Rt}△ BDH$中角的度数，利用正切三角函数用$x$表示出$BH$的长度；④根据$BH=BG+GH$的等量关系列方程，求解即可得到河宽。
【解析】
过点$C$作$CG ⊥ MN$于点$G$，过点$D$作$DH ⊥ MN$于点$H$。
$\because EF // MN$，$CG ⊥ MN$，$DH ⊥ MN$，
$\therefore$ 四边形$CGHD$是矩形，
$\therefore GH=CD=10\ \mathrm{m}$，$CG=DH$，设河宽$CG=DH=x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点$A$处测得$C$在东北方向，故$∠ CAG=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$∠ AGC=90°$，$∠ CAG=45°$，
$\therefore AG=CG=x\ \mathrm{m}$。
$\because AB=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore BG=AG-AB=(x-30)\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点$B$处测得$D$在北偏东$30°$方向，故$∠ DBH=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$\tan∠ DBH=\frac{DH}{BH}$，即$\tan60°=\frac{x}{BH}$，
$\therefore BH=\frac{x}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BH=BG+GH$，代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}x = (x-30) + 10$
整理得：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=20$
$x·\frac{3-\sqrt{3}}{3}=20$
$x=\frac{60}{3-\sqrt{3}}=30+10\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{30+10\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 方向角应用
2. 矩形的性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了学生将实际问题转化为几何问题的能力，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形与矩形，准确识别方向角对应的角度，理清各线段的数量关系并列方程求解。
【难度系数】
0.6
本题是利用解直角三角形求河宽的实际应用问题，解题思路如下：①因为河岸$EF// MN$，要把河宽转化为可计算的线段，可过C、D分别作MN的垂线，得到矩形$CGHD$，将已知的$CD$长度转化为$GH$的长度，同时两条垂线段的长度都等于河宽，设河宽为$x\ \mathrm{m}$；②根据东北方向即北偏东$45°$，可知$\mathrm{Rt}△ ACG$为等腰直角三角形，用$x$表示出$AG$的长度，进而得到$BG$的长度；③根据B处测得D的方向角，得到$\mathrm{Rt}△ BDH$中角的度数，利用正切三角函数用$x$表示出$BH$的长度；④根据$BH=BG+GH$的等量关系列方程，求解即可得到河宽。
【解析】
过点$C$作$CG ⊥ MN$于点$G$，过点$D$作$DH ⊥ MN$于点$H$。
$\because EF // MN$，$CG ⊥ MN$，$DH ⊥ MN$，
$\therefore$ 四边形$CGHD$是矩形，
$\therefore GH=CD=10\ \mathrm{m}$，$CG=DH$，设河宽$CG=DH=x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点$A$处测得$C$在东北方向，故$∠ CAG=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$中，$∠ AGC=90°$，$∠ CAG=45°$，
$\therefore AG=CG=x\ \mathrm{m}$。
$\because AB=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore BG=AG-AB=(x-30)\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点$B$处测得$D$在北偏东$30°$方向，故$∠ DBH=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$∠ BHD=90°$，$\tan∠ DBH=\frac{DH}{BH}$，即$\tan60°=\frac{x}{BH}$，
$\therefore BH=\frac{x}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BH=BG+GH$，代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}x = (x-30) + 10$
整理得：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=20$
$x·\frac{3-\sqrt{3}}{3}=20$
$x=\frac{60}{3-\sqrt{3}}=30+10\sqrt{3}$
【答案】
$\boldsymbol{30+10\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 方向角应用
2. 矩形的性质
3. 解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了学生将实际问题转化为几何问题的能力，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形与矩形，准确识别方向角对应的角度，理清各线段的数量关系并列方程求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (8分)(1)计算:$\sin30°+\cos30°·\tan60°$；
(2)已知$α$为锐角,且$\cosα=\frac{1}{3}$,求$\tanα+\frac{\cosα}{1+\sinα}$的值.
16. (8分)(1)计算:$\sin30°+\cos30°·\tan60°$；
(2)已知$α$为锐角,且$\cosα=\frac{1}{3}$,求$\tanα+\frac{\cosα}{1+\sinα}$的值.
答案
解：
(1) 原式$=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
(2) ∵α为锐角，$\cosα=\frac{1}{3}$，
∴$\sinα = \sqrt{1-\cos^2α} = \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\tanα = \frac{\sinα}{\cosα} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$，
则$\tanα + \frac{\cosα}{1+\sinα} = 2\sqrt{2} + \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
$=2\sqrt{2} + \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}$
$=3$
(1) 原式$=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
(2) ∵α为锐角，$\cosα=\frac{1}{3}$，
∴$\sinα = \sqrt{1-\cos^2α} = \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\tanα = \frac{\sinα}{\cosα} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$，
则$\tanα + \frac{\cosα}{1+\sinα} = 2\sqrt{2} + \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
$=2\sqrt{2} + \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}$
$=3$
解析
【分析】
(1) 第一小问考查特殊角三角函数的计算，解题时先准确回忆30°、60°的正弦、余弦、正切值，再按照先算乘法、后算加法的混合运算顺序计算即可。
(2) 第二小问考查同角三角函数的基本应用，首先α是锐角，所以所有三角函数值均为正数，先利用平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$求出$\sinα$的值，再根据$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$求出$\tanα$，最后代入原式，对含根号的分母做有理化处理后合并计算即可。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
原式$=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
(2)
∵α为锐角，$\cosα=\frac{1}{3}$
∴$\sinα = \sqrt{1-\cos^2α} = \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴$\tanα = \frac{\sinα}{\cosα} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$
将对应值代入原式：
$\tanα + \frac{\cosα}{1+\sinα} = 2\sqrt{2} + \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
$=2\sqrt{2} + \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
对$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$3-2\sqrt{2}$：
$=2\sqrt{2} + \frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}$
$=3$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，同角三角函数关系，分母有理化
【点评】
本题是三角函数基础运算题，第一小问核心是准确记忆特殊角的三角函数值，遵循运算规则计算；第二小问要注意锐角三角函数的符号均为正，遇到含根号的分母时正确做有理化处理，整体难度不高，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小问考查特殊角三角函数的计算，解题时先准确回忆30°、60°的正弦、余弦、正切值，再按照先算乘法、后算加法的混合运算顺序计算即可。
(2) 第二小问考查同角三角函数的基本应用，首先α是锐角，所以所有三角函数值均为正数，先利用平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$求出$\sinα$的值，再根据$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$求出$\tanα$，最后代入原式，对含根号的分母做有理化处理后合并计算即可。
【解析】
(1) 代入特殊角三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
原式$=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3}$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$
$=2$
(2)
∵α为锐角，$\cosα=\frac{1}{3}$
∴$\sinα = \sqrt{1-\cos^2α} = \sqrt{1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴$\tanα = \frac{\sinα}{\cosα} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$
将对应值代入原式：
$\tanα + \frac{\cosα}{1+\sinα} = 2\sqrt{2} + \frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}$
$=2\sqrt{2} + \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
对$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$分母有理化，分子分母同乘$3-2\sqrt{2}$：
$=2\sqrt{2} + \frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}$
$=2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2}$
$=3$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，同角三角函数关系，分母有理化
【点评】
本题是三角函数基础运算题，第一小问核心是准确记忆特殊角的三角函数值，遵循运算规则计算；第二小问要注意锐角三角函数的符号均为正，遇到含根号的分母时正确做有理化处理，整体难度不高，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
