登录
7. 如图5,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD.若cos∠BDC=$\frac{5}{7}$,则BC的长是 ()
A.10
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
A.10
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD，可知CD+BD=AC=12；再结合Rt△BCD中∠BDC的余弦值，得到CD与BD的比例关系，设参数求出CD、BD的长度；最后利用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上
∴BD=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵AC=CD+AD=12
∴CD+BD=12
在Rt△BCD中，∠C=90°，由余弦的定义得：
$\cos∠ BDC=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$
设$CD=5k$，$BD=7k$（$k＞0$），代入$CD+BD=12$得：
$5k+7k=12$
解得$k=1$
∴$CD=5$，$BD=7$
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是灵活运用垂直平分线的性质转化线段关系，结合三角函数的比例关系设参数求解，是对几何核心基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到BD=AD，可知CD+BD=AC=12；再结合Rt△BCD中∠BDC的余弦值，得到CD与BD的比例关系，设参数求出CD、BD的长度；最后利用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上
∴BD=AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵AC=CD+AD=12
∴CD+BD=12
在Rt△BCD中，∠C=90°，由余弦的定义得：
$\cos∠ BDC=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$
设$CD=5k$，$BD=7k$（$k＞0$），代入$CD+BD=12$得：
$5k+7k=12$
解得$k=1$
∴$CD=5$，$BD=7$
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2-CD^2}=\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是灵活运用垂直平分线的性质转化线段关系，结合三角函数的比例关系设参数求解，是对几何核心基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.6
8. 如图6,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A, B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升机从A地出发,垂直上升800 m到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A, B两地之间的距离为 ()
A.$800\sinα$ m
B.$800\tanα$ m
C.$\frac{800}{\sinα}$ m
D.$\frac{800}{\tanα}$ m
A.$800\sinα$ m
B.$800\tanα$ m
C.$\frac{800}{\sinα}$ m
D.$\frac{800}{\tanα}$ m
答案
D
解析
【分析】
首先，本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题第一步需先根据题意梳理几何关系：直升机从A垂直上升到C，可知AC垂直于水平面AB，即△CAB是直角三角形，∠A=90°；第二步结合俯角的定义，利用水平线平行的性质可得∠B等于俯角α；第三步根据锐角三角函数中正切的定义，建立已知边AC和待求边AB的关系，变形即可求出AB的长度。
【解析】
由题意可知：AC⊥AB，即∠CAB=90°，AC=800m。
∵在C处观察B地的俯角为α，根据水平线互相平行，内错角相等，可得∠CBA=α。
在Rt△ABC中，根据正切的定义：$\tan∠ CBA=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{AB}$，
代入∠CBA=α，AC=800m得：$\tanα=\frac{800}{AB}$，
变形可得：$AB=\frac{800}{\tanα}$（m）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
俯角的概念，锐角三角函数定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于实际背景下的解直角三角形基础题，解题的核心是将实际中的垂直关系、俯角条件转化为直角三角形中的边角对应关系，结合三角函数定义计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先，本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题第一步需先根据题意梳理几何关系：直升机从A垂直上升到C，可知AC垂直于水平面AB，即△CAB是直角三角形，∠A=90°；第二步结合俯角的定义，利用水平线平行的性质可得∠B等于俯角α；第三步根据锐角三角函数中正切的定义，建立已知边AC和待求边AB的关系，变形即可求出AB的长度。
【解析】
由题意可知：AC⊥AB，即∠CAB=90°，AC=800m。
∵在C处观察B地的俯角为α，根据水平线互相平行，内错角相等，可得∠CBA=α。
在Rt△ABC中，根据正切的定义：$\tan∠ CBA=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AC}{AB}$，
代入∠CBA=α，AC=800m得：$\tanα=\frac{800}{AB}$，
变形可得：$AB=\frac{800}{\tanα}$（m）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
俯角的概念，锐角三角函数定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题属于实际背景下的解直角三角形基础题，解题的核心是将实际中的垂直关系、俯角条件转化为直角三角形中的边角对应关系，结合三角函数定义计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.(2026·绥化)如图7,有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标B,此时从探测器上看目标B的俯角α=30°,探测器飞行的高度$AC=60\sqrt{3} m,$则探测器到目标B的距离AB约为(其中$\sqrt{3}≈1.732,$计算结果精确到0.1) ()
A.207.8 m
B.207.9 m
C.208.8 m
D.208.9 m
A.207.8 m
B.207.9 m
C.208.8 m
D.208.9 m
答案
A
解析
【分析】
首先将实际问题转化为直角三角形模型：已知AC垂直地面BC，△ACB为直角三角形，∠C=90°；根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，可得∠B=俯角α=30°；已知直角边AC的长度，要求斜边AB，可利用直角三角形中30°角的正弦函数关系列式计算，最终求出AB的长度后和选项对比即可。
【解析】
解：由题意得，AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∵ 从A处观测B的俯角α=30°，A处水平线平行于地面BC，
∴ ∠B=α=30°（两直线平行，内错角相等），
在Rt△ABC中，$\sin B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
∴ $AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin 30°}$，
代入$AC=60\sqrt{3} \ \mathrm{m}$，$\sin 30°=\frac{1}{2}$，
得$AB = 60\sqrt{3} ÷ \frac{1}{2} = 120\sqrt{3} \approx 120×1.732 = 207.84 \approx 207.8 \ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形的应用；三角函数计算
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用基础题，解题核心是把实际场景中的角度、垂直关系转化为直角三角形的边角条件，再代入三角函数计算即可，是锐角三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
首先将实际问题转化为直角三角形模型：已知AC垂直地面BC，△ACB为直角三角形，∠C=90°；根据俯角的定义和平行线内错角相等的性质，可得∠B=俯角α=30°；已知直角边AC的长度，要求斜边AB，可利用直角三角形中30°角的正弦函数关系列式计算，最终求出AB的长度后和选项对比即可。
【解析】
解：由题意得，AC⊥BC，即∠ACB=90°，
∵ 从A处观测B的俯角α=30°，A处水平线平行于地面BC，
∴ ∠B=α=30°（两直线平行，内错角相等），
在Rt△ABC中，$\sin B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$，
∴ $AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin 30°}$，
代入$AC=60\sqrt{3} \ \mathrm{m}$，$\sin 30°=\frac{1}{2}$，
得$AB = 60\sqrt{3} ÷ \frac{1}{2} = 120\sqrt{3} \approx 120×1.732 = 207.84 \approx 207.8 \ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形的应用；三角函数计算
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用基础题，解题核心是把实际场景中的角度、垂直关系转化为直角三角形的边角条件，再代入三角函数计算即可，是锐角三角函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
10.(2023·自贡)如图8,分别经过原点O和点A(4,0)的动直线a,b夹角∠OBA=30°,M是OB中点,连接AM,则$\sin∠OAM$的最大值是 ()
A.$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
A.$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
A
解析
【分析】
首先由定长OA=4、定角∠OBA=30°，根据定弦对定角的规律可确定点B的轨迹为圆；再结合M是OB中点，推出M点的轨迹也是圆。要使$\sin∠OAM$最大，需$∠OAM$最大，根据圆的切线性质，当直线AM与M的轨迹圆相切时，$∠OAM$取得最大值，最后结合三角函数运算即可求出最大值。
【解析】
1. 确定点B的轨迹：已知$OA=4$，$∠OBA=30°$，根据定弦对定角的结论，点B在以OA为弦、圆周角为30°的圆上，计算得该圆半径为4，圆心坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
2. 确定点M的轨迹：设$M(x,y)$，因为M是OB中点，所以$B(2x,2y)$，将B点坐标代入其轨迹方程$(2x-2)^2+(2y-2\sqrt{3})^2=16$，化简得$(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=4$，即M的轨迹是圆心$C'(1,\sqrt{3})$、半径$r=2$的圆。
3. 计算相关量：点A坐标为$(4,0)$，则$AC'=\sqrt{(4-1)^2+(0-\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$，可求得$∠OAC'=30°$。当AM与圆$C'$相切时$∠OAM$最大，此时$C'M⊥AM$，因此$\sin∠C'AM=\frac{r}{AC'}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos∠C'AM=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
4. 计算最大值：
$\sin∠OAM=\sin(30°+∠C'AM)=\sin30°\cos∠C'AM+\cos30°\sin∠C'AM$
$=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$
【答案】
A
【知识点】
定弦定角轨迹圆，圆的切线性质，三角函数运算
【点评】
本题是几何动态最值问题，解题核心是准确判断动点的轨迹，结合切线性质找到角取最大值的临界情况，对轨迹分析能力要求较高。
【难度系数】
0.3
首先由定长OA=4、定角∠OBA=30°，根据定弦对定角的规律可确定点B的轨迹为圆；再结合M是OB中点，推出M点的轨迹也是圆。要使$\sin∠OAM$最大，需$∠OAM$最大，根据圆的切线性质，当直线AM与M的轨迹圆相切时，$∠OAM$取得最大值，最后结合三角函数运算即可求出最大值。
【解析】
1. 确定点B的轨迹：已知$OA=4$，$∠OBA=30°$，根据定弦对定角的结论，点B在以OA为弦、圆周角为30°的圆上，计算得该圆半径为4，圆心坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
2. 确定点M的轨迹：设$M(x,y)$，因为M是OB中点，所以$B(2x,2y)$，将B点坐标代入其轨迹方程$(2x-2)^2+(2y-2\sqrt{3})^2=16$，化简得$(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=4$，即M的轨迹是圆心$C'(1,\sqrt{3})$、半径$r=2$的圆。
3. 计算相关量：点A坐标为$(4,0)$，则$AC'=\sqrt{(4-1)^2+(0-\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$，可求得$∠OAC'=30°$。当AM与圆$C'$相切时$∠OAM$最大，此时$C'M⊥AM$，因此$\sin∠C'AM=\frac{r}{AC'}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos∠C'AM=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
4. 计算最大值：
$\sin∠OAM=\sin(30°+∠C'AM)=\sin30°\cos∠C'AM+\cos30°\sin∠C'AM$
$=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{6}}{6}$
【答案】
A
【知识点】
定弦定角轨迹圆，圆的切线性质，三角函数运算
【点评】
本题是几何动态最值问题，解题核心是准确判断动点的轨迹，结合切线性质找到角取最大值的临界情况，对轨迹分析能力要求较高。
【难度系数】
0.3
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. $\tan60°=$ .
11. $\tan60°=$ .
答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考查特殊锐角的正切值，有两种解题思路：一是直接调用已记忆的特殊角三角函数值填写；二是通过直角三角形的边角关系推导：先构造含60°的直角三角形，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质设边长，再用勾股定理计算其余边长，最后根据正切的定义（对边比邻边）算出结果。
【解析】
我们可以通过推导得出结果：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则∠B=30°。
设30°角对的直角边AC=1，根据直角三角形性质得斜边AB=2AC=2。
由勾股定理计算60°角对的直角边BC：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据正切的定义$\tanα=\frac{角α的对边}{角α的邻边}$，可得$\tan60°=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。
也可直接根据特殊角的三角函数值得出结果。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握，牢记30°、45°、60°这三个常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考查特殊锐角的正切值，有两种解题思路：一是直接调用已记忆的特殊角三角函数值填写；二是通过直角三角形的边角关系推导：先构造含60°的直角三角形，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质设边长，再用勾股定理计算其余边长，最后根据正切的定义（对边比邻边）算出结果。
【解析】
我们可以通过推导得出结果：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则∠B=30°。
设30°角对的直角边AC=1，根据直角三角形性质得斜边AB=2AC=2。
由勾股定理计算60°角对的直角边BC：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据正切的定义$\tanα=\frac{角α的对边}{角α的邻边}$，可得$\tan60°=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。
也可直接根据特殊角的三角函数值得出结果。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊锐角三角函数值的掌握，牢记30°、45°、60°这三个常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9
