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11. 物理实验中,小明分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I(单位:A)和它们两端的电压U(单位:V),根据图1及物理学知识功率$P=UI$,可判断这四个用电器功率P最小的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
).A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
11. C
解析
【分析】
解题的核心是明确功率公式$P=UI$的几何意义：在U-I坐标系中，某点的功率等于该点横坐标（电流I）与纵坐标（电压U）的乘积，等价于该点向x轴、y轴作垂线所围成矩形的面积，面积越小则功率越小。接下来只需分别对比四个点对应的矩形面积大小，即可判断功率最小的用电器。
【解析】
根据功率计算公式可知$P=UI$：
在U-I图像中，点的横坐标表示电流I，纵坐标表示电压U，二者的乘积对应点与坐标轴围成的矩形的面积，面积大小与功率大小成正比。
对比四个点的矩形面积：
甲点电压远大于丙点，电流与丙点相近，乘积（面积）大于丙点；
乙点电压大于丙点，围成的面积大于丙点；
丁点电流远大于丙点，电压与丙点相近，乘积（面积）大于丙点；
因此丙点对应的功率最小。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的几何意义，功率的计算，函数图像信息提取
【点评】
本题结合物理公式考查数形结合思想的应用，解题关键是将抽象的功率大小比较转化为直观的矩形面积比较，同时考查了跨学科知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确功率公式$P=UI$的几何意义：在U-I坐标系中，某点的功率等于该点横坐标（电流I）与纵坐标（电压U）的乘积，等价于该点向x轴、y轴作垂线所围成矩形的面积，面积越小则功率越小。接下来只需分别对比四个点对应的矩形面积大小，即可判断功率最小的用电器。
【解析】
根据功率计算公式可知$P=UI$：
在U-I图像中，点的横坐标表示电流I，纵坐标表示电压U，二者的乘积对应点与坐标轴围成的矩形的面积，面积大小与功率大小成正比。
对比四个点的矩形面积：
甲点电压远大于丙点，电流与丙点相近，乘积（面积）大于丙点；
乙点电压大于丙点，围成的面积大于丙点；
丁点电流远大于丙点，电压与丙点相近，乘积（面积）大于丙点；
因此丙点对应的功率最小。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的几何意义，功率的计算，函数图像信息提取
【点评】
本题结合物理公式考查数形结合思想的应用，解题关键是将抽象的功率大小比较转化为直观的矩形面积比较，同时考查了跨学科知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，点 $D$ 在 $AC$ 上，$CD=\sqrt{2}$。动点 $P$ 从点 $C$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿边 $CB$，边 $BA$ 向终点 $A$ 匀速运动。以 $DP$ 为边作正方形 $DPEF$，设点 $P$ 运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$，正方形 $DPEF$ 的面积为 $S$。当点 $P$ 从点 $C$ 运动到点 $B$ 的过程中，正方形 $DPEF$ 如图2所示；当点 $P$ 从点 $B$ 运动到点 $A$ 时，$S$ 是关于 $t$ 的二次函数，其图象如图3所示。有下列结论：
①当 $t=1$ 时，$S=3$；
②当点 $P$ 在线段 $BA$ 上时，$S=2t^2 -16t +32$；
③$AD=4\sqrt{2}$。
其中正确的结论有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①当 $t=1$ 时，$S=3$；
②当点 $P$ 在线段 $BA$ 上时，$S=2t^2 -16t +32$；
③$AD=4\sqrt{2}$。
其中正确的结论有（
B
）。A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
12. B
解析
【分析】
解题时先分阶段分析点P的运动：第一阶段P在CB上运动，此时△DCP为直角三角形，正方形面积S等于DP的平方，可直接用勾股定理表示S的表达式；第二阶段P在BA上运动，结合图3的顶点和端点的函数值，先求出BC、AC、AB的边长，再逐个验证三个结论是否正确即可。
【解析】
解：分两段分析点P的运动：
1. 当点P在CB上运动时（$0\le t\le BC$），$PC=t$，$∠ C=90°$，$CD=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$DP^2=CD^2+PC^2=(\sqrt{2})^2+t^2=t^2+2$，即正方形面积$S=t^2+2$。
2. 当点P在BA上运动时（$BC＜t\le BC+AB$），S是关于t的二次函数，结合图3分析：
（1）二次函数顶点为$(4,2)$，即$t=4$时DP最短（此时$DP⊥ AB$），$DP=\sqrt{2}$，S最小为2；
（2）二次函数终点$S=18$，即P运动到A点时，$DP=AD$，故$AD^2=18$，得$AD=3\sqrt{2}$，因此结论③错误。
3. 求各边长度：
在$DP⊥ AB$时的$Rt△ ADP$中，$\sin A=\frac{DP}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$，
在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，设$BC=x$，则$AB=3x$，
$AC=AD+CD=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，由勾股定理得：$x^2+(4\sqrt{2})^2=(3x)^2$，
解得$x=2$，即$BC=2$，$AB=6$，故P在CB上运动时间为2s，$t=2$时P到达B点。
4. 求P在BA上时S的解析式：
设$S=a(t-4)^2+2$，将$t=2$、$S=2^2+2=6$代入得：$6=a(2-4)^2+2$，解得$a=1$，
故$S=(t-4)^2+2=t^2-8t+18$，因此结论②错误。
5. 验证结论①：$t=1$时P在CB上，$S=1^2+2=3$，故①正确。
综上，只有1个正确结论。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，勾股定理，二次函数解析式
【点评】
本题结合动点和函数图象考查几何综合计算，解题的关键是将函数图象的特殊点（顶点、端点）对应到几何运动的特殊位置，分阶段分析计算即可逐一验证结论。
【难度系数】
0.4
解题时先分阶段分析点P的运动：第一阶段P在CB上运动，此时△DCP为直角三角形，正方形面积S等于DP的平方，可直接用勾股定理表示S的表达式；第二阶段P在BA上运动，结合图3的顶点和端点的函数值，先求出BC、AC、AB的边长，再逐个验证三个结论是否正确即可。
【解析】
解：分两段分析点P的运动：
1. 当点P在CB上运动时（$0\le t\le BC$），$PC=t$，$∠ C=90°$，$CD=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$DP^2=CD^2+PC^2=(\sqrt{2})^2+t^2=t^2+2$，即正方形面积$S=t^2+2$。
2. 当点P在BA上运动时（$BC＜t\le BC+AB$），S是关于t的二次函数，结合图3分析：
（1）二次函数顶点为$(4,2)$，即$t=4$时DP最短（此时$DP⊥ AB$），$DP=\sqrt{2}$，S最小为2；
（2）二次函数终点$S=18$，即P运动到A点时，$DP=AD$，故$AD^2=18$，得$AD=3\sqrt{2}$，因此结论③错误。
3. 求各边长度：
在$DP⊥ AB$时的$Rt△ ADP$中，$\sin A=\frac{DP}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$，
在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$，设$BC=x$，则$AB=3x$，
$AC=AD+CD=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，由勾股定理得：$x^2+(4\sqrt{2})^2=(3x)^2$，
解得$x=2$，即$BC=2$，$AB=6$，故P在CB上运动时间为2s，$t=2$时P到达B点。
4. 求P在BA上时S的解析式：
设$S=a(t-4)^2+2$，将$t=2$、$S=2^2+2=6$代入得：$6=a(2-4)^2+2$，解得$a=1$，
故$S=(t-4)^2+2=t^2-8t+18$，因此结论②错误。
5. 验证结论①：$t=1$时P在CB上，$S=1^2+2=3$，故①正确。
综上，只有1个正确结论。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，勾股定理，二次函数解析式
【点评】
本题结合动点和函数图象考查几何综合计算，解题的关键是将函数图象的特殊点（顶点、端点）对应到几何运动的特殊位置，分阶段分析计算即可逐一验证结论。
【难度系数】
0.4
13. 已知反比例函数$y=\frac{m-2}{x}$，其图象的两个分支在第一、第三象限内，则$m$的取值范围是
$m＞2$
。答案
13. $m＞2$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，当比例系数$k＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象的两个分支分别位于第二、第四象限。本题已知图象在第一、第三象限，因此可得比例系数$m-2＞0$，解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的图象性质，若$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象分支在第一、第三象限，则$k＞0$。
本题中$k=m-2$，据此列不等式：
$m-2＞0$
解得：$m＞2$
【答案】
$m＞2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数系数和图象所在象限的对应关系，只要熟记相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，当比例系数$k＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象的两个分支分别位于第二、第四象限。本题已知图象在第一、第三象限，因此可得比例系数$m-2＞0$，解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：根据反比例函数的图象性质，若$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象分支在第一、第三象限，则$k＞0$。
本题中$k=m-2$，据此列不等式：
$m-2＞0$
解得：$m＞2$
【答案】
$m＞2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数系数和图象所在象限的对应关系，只要熟记相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
14. 关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个根分别为$a$和$b$，则$ab=$
$3$
。答案
14. 3
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的乘积，有两种解题思路：思路1：先求解方程得到两个根，再将两根相乘计算结果；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解方程，直接通过方程的系数计算两根乘积，计算更简便。对于标准形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$的一元二次方程，两根之积为$\frac{C}{A}$，我们只需对应找出题干方程的二次项系数和常数项，代入公式即可快速求解。
【解析】
方法一（利用韦达定理）：
一元二次方程$x^2 -4x +3=0$中，二次项系数$A=1$，常数项$C=3$。
根据韦达定理，若方程两根为$a$、$b$，则两根之积$ab=\frac{C}{A}$。
代入得$ab=\frac{3}{1}=3$。
方法二（解方程求根计算）：
对$x^2 -4x +3=0$因式分解，得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，即方程的两个根为1和3，
所以$ab=1×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程相关计算，两种解题方法都适用，熟练掌握韦达定理可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两根的乘积，有两种解题思路：思路1：先求解方程得到两个根，再将两根相乘计算结果；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解方程，直接通过方程的系数计算两根乘积，计算更简便。对于标准形式为$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$的一元二次方程，两根之积为$\frac{C}{A}$，我们只需对应找出题干方程的二次项系数和常数项，代入公式即可快速求解。
【解析】
方法一（利用韦达定理）：
一元二次方程$x^2 -4x +3=0$中，二次项系数$A=1$，常数项$C=3$。
根据韦达定理，若方程两根为$a$、$b$，则两根之积$ab=\frac{C}{A}$。
代入得$ab=\frac{3}{1}=3$。
方法二（解方程求根计算）：
对$x^2 -4x +3=0$因式分解，得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，即方程的两个根为1和3，
所以$ab=1×3=3$。
【答案】
3
【知识点】
根与系数的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程相关计算，两种解题方法都适用，熟练掌握韦达定理可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
15. 某商店购入一批白洋淀咸咸鸭蛋进行销售. 已知每盒咸鸭蛋进价为30元,售价为x元,每星期可卖出(250−5x)盒,当x=
$40$
时,该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大.答案
15. 40
解析
【分析】
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的核心计算公式：总利润=单盒利润×销售数量。先用水含x的式子表示单盒利润，结合已知的销售量表达式，列出总利润关于售价x的函数关系式，可判断该函数为二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，在顶点处取得最大值，再根据二次函数顶点横坐标公式求出对应x值，最后验证x的取值符合实际销售要求即可。
【解析】
设该商店每星期销售咸鸭蛋的利润为y元。
单盒咸鸭蛋的利润为$(x-30)$元，每星期销售量为$(250-5x)$盒，因此总利润为：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(250-5x)\\&=250x-5x^2-7500+150x\\&=-5x^2+400x-7500\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中$a=-5＜0$，图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-5$、$b=400$计算得：
$x=-\frac{400}{2×(-5)}=40$
验证：当$x=40$时，销售量$250-5×40=50＞0$，且售价$40＞30$，符合实际销售要求。
【答案】
40
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题是销售类最值的典型应用题，解题核心是根据利润公式正确建立二次函数模型，再结合二次函数性质求解最值，解题时需注意验证自变量取值是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的核心计算公式：总利润=单盒利润×销售数量。先用水含x的式子表示单盒利润，结合已知的销售量表达式，列出总利润关于售价x的函数关系式，可判断该函数为二次函数，且二次项系数小于0，图象开口向下，在顶点处取得最大值，再根据二次函数顶点横坐标公式求出对应x值，最后验证x的取值符合实际销售要求即可。
【解析】
设该商店每星期销售咸鸭蛋的利润为y元。
单盒咸鸭蛋的利润为$(x-30)$元，每星期销售量为$(250-5x)$盒，因此总利润为：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(250-5x)\\&=250x-5x^2-7500+150x\\&=-5x^2+400x-7500\end{aligned}$
该函数是二次函数，其中$a=-5＜0$，图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值。
代入$a=-5$、$b=400$计算得：
$x=-\frac{400}{2×(-5)}=40$
验证：当$x=40$时，销售量$250-5×40=50＞0$，且售价$40＞30$，符合实际销售要求。
【答案】
40
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题是销售类最值的典型应用题，解题核心是根据利润公式正确建立二次函数模型，再结合二次函数性质求解最值，解题时需注意验证自变量取值是否符合实际场景要求。
【难度系数】
0.7
16. 如图4是拱桥抛物线形的示意图，已知该抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{2}{25}x^2 +10$，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8 m的点E，F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为
$10$
m.答案
16. 10
解析
【分析】
首先明确水面AB在x轴上，因此距水面高8m的点的纵坐标y=8，接下来只需将y=8代入抛物线的函数解析式，求解对应的x的值，两个解分别对应点E和点F的横坐标，两点横坐标的差的绝对值就是水平距离EF的长度。
【解析】
由题意可知，距水面AB高8m的点的纵坐标为y=8，将y=8代入抛物线解析式$y=-\dfrac{2}{25}x^2 +10$，得：
$8 = -\dfrac{2}{25}x^2 +10$
移项整理得：$\dfrac{2}{25}x^2 = 2$
两边同乘$\dfrac{25}{2}$得：$x^2=25$
解得：$x_1=5$，$x_2=-5$
因此点E的横坐标为-5，点F的横坐标为5，水平距离$EF=5 - (-5)=10$（m）
【答案】
10
【知识点】
1.二次函数的实际应用 2.二次函数图象上点的坐标特征 3.解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的核心是将实际的高度条件转化为函数中的纵坐标值，代入解析式求解横坐标后计算距离，考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确水面AB在x轴上，因此距水面高8m的点的纵坐标y=8，接下来只需将y=8代入抛物线的函数解析式，求解对应的x的值，两个解分别对应点E和点F的横坐标，两点横坐标的差的绝对值就是水平距离EF的长度。
【解析】
由题意可知，距水面AB高8m的点的纵坐标为y=8，将y=8代入抛物线解析式$y=-\dfrac{2}{25}x^2 +10$，得：
$8 = -\dfrac{2}{25}x^2 +10$
移项整理得：$\dfrac{2}{25}x^2 = 2$
两边同乘$\dfrac{25}{2}$得：$x^2=25$
解得：$x_1=5$，$x_2=-5$
因此点E的横坐标为-5，点F的横坐标为5，水平距离$EF=5 - (-5)=10$（m）
【答案】
10
【知识点】
1.二次函数的实际应用 2.二次函数图象上点的坐标特征 3.解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的核心是将实际的高度条件转化为函数中的纵坐标值，代入解析式求解横坐标后计算距离，考查了学生把实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 解下列方程：
(1)$x^2 -2x -8=0$；
(2)$2x^2 +3x -2=0$。
17. 解下列方程：
(1)$x^2 -2x -8=0$；
(2)$2x^2 +3x -2=0$。
答案
17. (1) $x_1=4,x_2=-2$ (2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-2$
解析
【分析】
这两道题均为一元二次方程求解问题，解题可优先选择因式分解法：先将方程左边的二次三项式通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根；若因式分解不熟练，也可使用公式法：先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac判断是否有实根，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -2x -8=0$：
对左边二次三项式因式分解，十字相乘可得：
$(x-4)(x+2)=0$
则$x-4=0$或$x+2=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 解方程$2x^2 +3x -2=0$：
对左边二次三项式因式分解，十字相乘可得：
$(2x-1)(x+2)=0$
则$2x-1=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-2$；(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、公式法等常用解法是解题核心，计算过程中要注意符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9
这两道题均为一元二次方程求解问题，解题可优先选择因式分解法：先将方程左边的二次三项式通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根；若因式分解不熟练，也可使用公式法：先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac判断是否有实根，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -2x -8=0$：
对左边二次三项式因式分解，十字相乘可得：
$(x-4)(x+2)=0$
则$x-4=0$或$x+2=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 解方程$2x^2 +3x -2=0$：
对左边二次三项式因式分解，十字相乘可得：
$(2x-1)(x+2)=0$
则$2x-1=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=4,x_2=-2$；(2) $x_1=\frac{1}{2},x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法、公式法等常用解法是解题核心，计算过程中要注意符号问题，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9
