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18. 如图5，在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+4$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于C点，且$A(-1,6)$，$C(2,0)$。
(1)求该一次函数和反比例函数的解析式。
(2)求$△ BOC$的面积。
(1)求该一次函数和反比例函数的解析式。
(2)求$△ BOC$的面积。
答案
18. (1)
∵直线$y=kx+4$经过点$C(2,0),∴2k+4=0.∴k=-2.∴$该一次函数的解析式为$y=-2x+4$. 把点A的坐标为$(-1,6)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=-1×6=-6,∴$该反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$ (2)由$\begin{cases} y=-2x+4,\\ y=-\frac{6}{x}, \end{cases}$得$-2x+4=-\frac{6}{x}$，解得$x_1=-1,x_2=3.∵$当$x=3$时,$y=-\frac{6}{3}=-2,∴B(3,-2).∴S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|y_B|=\frac{1}{2}×2×2=2$
∵直线$y=kx+4$经过点$C(2,0),∴2k+4=0.∴k=-2.∴$该一次函数的解析式为$y=-2x+4$. 把点A的坐标为$(-1,6)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=-1×6=-6,∴$该反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$ (2)由$\begin{cases} y=-2x+4,\\ y=-\frac{6}{x}, \end{cases}$得$-2x+4=-\frac{6}{x}$，解得$x_1=-1,x_2=3.∵$当$x=3$时,$y=-\frac{6}{3}=-2,∴B(3,-2).∴S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|y_B|=\frac{1}{2}×2×2=2$
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式：已知一次函数的表达式为$y=kx+4$，且图象过点$C(2,0)$，将点$C$坐标代入表达式即可求出$k$的值，得到一次函数解析式；求反比例函数解析式：已知反比例函数图象过点$A(-1,6)$，将$A$点坐标代入$y=\frac{m}{x}$即可求出$m$的值，得到反比例函数解析式。
(2) 求$△ BOC$的面积：首先需要得到点$B$的坐标，联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组得到两个交点坐标，排除已知的$A$点，即可得到$B$点坐标；$△ BOC$的底$OC$的长度为点$C$横坐标的绝对值，高为点$B$纵坐标的绝对值，利用三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) 已知一次函数$y=kx+4$经过点$C(2,0)$，将$C(2,0)$代入解析式得：
$2k+4=0$，解得$k=-2$，
因此一次函数的解析式为$y=-2x+4$。
已知反比例函数$y=\frac{m}{x}$经过点$A(-1,6)$，将$A(-1,6)$代入解析式得：
$m=(-1)×6=-6$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=-2x+4 \\ y=-\dfrac{6}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-2x+4=-\frac{6}{x}$，
整理求解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
将$x=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-2$，因此点$B$的坐标为$(3,-2)$。
由$C(2,0)$得$OC=2$，点$B$到$x$轴的距离为$|y_B|=|-2|=2$，
因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OC × |y_B| = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-2x+4}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$；
(2) $△ BOC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，坐标系内面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及联立方程求交点、结合坐标特征计算三角形面积的能力，解题逻辑清晰，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数解析式：已知一次函数的表达式为$y=kx+4$，且图象过点$C(2,0)$，将点$C$坐标代入表达式即可求出$k$的值，得到一次函数解析式；求反比例函数解析式：已知反比例函数图象过点$A(-1,6)$，将$A$点坐标代入$y=\frac{m}{x}$即可求出$m$的值，得到反比例函数解析式。
(2) 求$△ BOC$的面积：首先需要得到点$B$的坐标，联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组得到两个交点坐标，排除已知的$A$点，即可得到$B$点坐标；$△ BOC$的底$OC$的长度为点$C$横坐标的绝对值，高为点$B$纵坐标的绝对值，利用三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) 已知一次函数$y=kx+4$经过点$C(2,0)$，将$C(2,0)$代入解析式得：
$2k+4=0$，解得$k=-2$，
因此一次函数的解析式为$y=-2x+4$。
已知反比例函数$y=\frac{m}{x}$经过点$A(-1,6)$，将$A(-1,6)$代入解析式得：
$m=(-1)×6=-6$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=-2x+4 \\ y=-\dfrac{6}{x} \end{cases}$
消去$y$得：$-2x+4=-\frac{6}{x}$，
整理求解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
将$x=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-2$，因此点$B$的坐标为$(3,-2)$。
由$C(2,0)$得$OC=2$，点$B$到$x$轴的距离为$|y_B|=|-2|=2$，
因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2} × OC × |y_B| = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-2x+4}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$；
(2) $△ BOC$的面积为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，坐标系内面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及联立方程求交点、结合坐标特征计算三角形面积的能力，解题逻辑清晰，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
19. 已知二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$.
(1)完成下列表格,并根据表格数据在图6中描点、连线画出二次函数图象.
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
(3)若$0≤ x≤5$,求$y$的取值范围.
(1)完成下列表格,并根据表格数据在图6中描点、连线画出二次函数图象.
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
(3)若$0≤ x≤5$,求$y$的取值范围.
答案
(1)0 2 描点,连线如答图10所示
(2)该二次函数图象的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,0)$ (3)当$x=2$时,$y=0$;当$x=5$时,$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2=\frac{9}{2}.∴$由图象可得$0≤x≤5$时,$0≤y≤\frac{9}{2}$解析
【分析】
(1) 完成表格只需将对应x值代入二次函数解析式计算y值即可，绘制图象时先描出计算得到的点，再用平滑曲线顺次连接即可；(2) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应解析式中的参数即可得到结果；(3) 该二次函数开口向上，顶点处取得最小值，因此先找顶点的y值作为最小值，再分别计算区间端点$x=0$和$x=5$的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，得$y=\frac{1}{2}×(2-2)^2=0$；将$x=0$代入得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2$，因此表格对应数值为0、2，描点连线后图象如答图10所示。
(2) 已知二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2$，$k=0$，因此图象的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(3) 由于$a=\frac{1}{2}＞0$，二次函数图象开口向上，因此在顶点处y取得最小值：当$x=2$时，$y_{min}=0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2$；当$x=5$时，$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2=\frac{9}{2}$；
比较得$\frac{9}{2}＞2$，因此在$0≤x≤5$范围内，y的最大值为$\frac{9}{2}$，故y的取值范围是$0≤y≤\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)0 2 描点,连线如答图10所示 (2)该二次函数图象的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,0)$ (3)当$x=2$时,$y=0$;当$x=5$时,$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2=\frac{9}{2}.∴$由图象可得$0≤x≤5$时,$0≤y≤\frac{9}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、区间最值求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，全面考查了二次函数的作图、性质应用及区间最值的计算，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式对应的对称轴、顶点坐标等性质，求解区间最值时要结合开口方向，综合顶点和区间端点的函数值判断。
【难度系数】
0.75
(1) 完成表格只需将对应x值代入二次函数解析式计算y值即可，绘制图象时先描出计算得到的点，再用平滑曲线顺次连接即可；(2) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接对应解析式中的参数即可得到结果；(3) 该二次函数开口向上，顶点处取得最小值，因此先找顶点的y值作为最小值，再分别计算区间端点$x=0$和$x=5$的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=2$代入$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，得$y=\frac{1}{2}×(2-2)^2=0$；将$x=0$代入得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2$，因此表格对应数值为0、2，描点连线后图象如答图10所示。
(2) 已知二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2$，$k=0$，因此图象的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(3) 由于$a=\frac{1}{2}＞0$，二次函数图象开口向上，因此在顶点处y取得最小值：当$x=2$时，$y_{min}=0$；
分别计算区间端点的函数值：当$x=0$时，$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2$；当$x=5$时，$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2=\frac{9}{2}$；
比较得$\frac{9}{2}＞2$，因此在$0≤x≤5$范围内，y的最大值为$\frac{9}{2}$，故y的取值范围是$0≤y≤\frac{9}{2}$。
【答案】
(1)0 2 描点,连线如答图10所示
(2)该二次函数图象的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,0)$ (3)当$x=2$时,$y=0$;当$x=5$时,$y=\frac{1}{2}×(5-2)^2=\frac{9}{2}.∴$由图象可得$0≤x≤5$时,$0≤y≤\frac{9}{2}$【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、区间最值求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，全面考查了二次函数的作图、性质应用及区间最值的计算，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式对应的对称轴、顶点坐标等性质，求解区间最值时要结合开口方向，综合顶点和区间端点的函数值判断。
【难度系数】
0.75
