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20. 如图7是一个长方形花圃，花圃的一边靠墙，其他三边用12 m长的篱笆围成.
(1)如果设花圃靠墙的一边AD=x m，那么AB长度是多少？(用含x的式子表示)
(2)请写出长方形花圃的面积y(单位:m²)关于长方形花圃靠墙一边的长度x(单位:m)的函数解析式.
(3)当x从4 m变到6 m时，面积y如何变化？
(1)如果设花圃靠墙的一边AD=x m，那么AB长度是多少？(用含x的式子表示)
(2)请写出长方形花圃的面积y(单位:m²)关于长方形花圃靠墙一边的长度x(单位:m)的函数解析式.
(3)当x从4 m变到6 m时，面积y如何变化？
答案
(1)$∵AB+BC+CD=12\ \mathrm{m}$,而$BC=x\ \mathrm{m},AB=CD,∴AB=\frac{1}{2}(12-x)\ \mathrm{m}$ (2)矩形的面积$y=AB·BC=\frac{1}{2}(12-x)x=6x-\frac{1}{2}x^2=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18$ (3)当$x＜6$时,$y$随着$x$的增大而增大.当$x=4$时,$y=16$;当$x=6$时,$y=18$.故当$x$从4 m变到6 m时,面积$y$从$16\ \mathrm{m}^2$变到$18\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) 首先明确篱笆仅围长方形不靠墙的三边，AD为靠墙的边，因此长方形中BC=AD=x，且对边AB=CD，用篱笆总长度减去BC的长度，得到AB与CD的长度和，除以2即可得到AB的长度。
(2) 长方形面积=长×宽，将AD的长度x和AB的含x表达式代入面积公式，整理后即可得到y关于x的函数解析式，需注意自变量x的实际取值范围。
(3) 先判断二次函数的开口方向和对称轴，确定函数在对应区间的增减性，再分别计算x=4和x=6对应的y值，即可得到面积的变化情况。
【解析】
(1) 由题意可知，AB、BC、CD三边由篱笆围成，总长为12m，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$BC=AD=x\ \mathrm{m}$，$AB=CD$，
∴$AB+CD=12-BC=(12-x)\ \mathrm{m}$，
∴$AB=\frac{1}{2}(12-x)\ \mathrm{m}$。
(2) 长方形面积公式为$面积=长×宽$，即$y=AD·AB$，
代入得：$y=x·\frac{1}{2}(12-x)=6x-\frac{1}{2}x^2$，整理为顶点式为$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18$，结合实际意义x的取值范围为$0＜x＜12$。
(3) 函数$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18$的二次项系数为$-\frac{1}{2}＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=6$，
因此当$x＜6$时，y随x的增大而增大，
当$x=4$时，$y=-\frac{1}{2}×(4-6)^2+18=16\ \mathrm{m}^2$，
当$x=6$时，$y=-\frac{1}{2}×(6-6)^2+18=18\ \mathrm{m}^2$，
即可得x从4m变到6m时面积的变化情况。
【答案】
(1) $AB=\frac{12-x}{2}\ \mathrm{m}$
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+6x(0＜x＜12)$（或$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18(0＜x＜12)$）
(3) 面积y从$16\ \mathrm{m}^2$增大到$18\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；二次函数解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合实际生活场景，将几何图形的周长、面积计算与二次函数知识结合，既考查了基础的代数式表示能力，也考查了二次函数性质的应用，能够锻炼学生将数学知识迁移到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1) 首先明确篱笆仅围长方形不靠墙的三边，AD为靠墙的边，因此长方形中BC=AD=x，且对边AB=CD，用篱笆总长度减去BC的长度，得到AB与CD的长度和，除以2即可得到AB的长度。
(2) 长方形面积=长×宽，将AD的长度x和AB的含x表达式代入面积公式，整理后即可得到y关于x的函数解析式，需注意自变量x的实际取值范围。
(3) 先判断二次函数的开口方向和对称轴，确定函数在对应区间的增减性，再分别计算x=4和x=6对应的y值，即可得到面积的变化情况。
【解析】
(1) 由题意可知，AB、BC、CD三边由篱笆围成，总长为12m，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$BC=AD=x\ \mathrm{m}$，$AB=CD$，
∴$AB+CD=12-BC=(12-x)\ \mathrm{m}$，
∴$AB=\frac{1}{2}(12-x)\ \mathrm{m}$。
(2) 长方形面积公式为$面积=长×宽$，即$y=AD·AB$，
代入得：$y=x·\frac{1}{2}(12-x)=6x-\frac{1}{2}x^2$，整理为顶点式为$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18$，结合实际意义x的取值范围为$0＜x＜12$。
(3) 函数$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18$的二次项系数为$-\frac{1}{2}＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=6$，
因此当$x＜6$时，y随x的增大而增大，
当$x=4$时，$y=-\frac{1}{2}×(4-6)^2+18=16\ \mathrm{m}^2$，
当$x=6$时，$y=-\frac{1}{2}×(6-6)^2+18=18\ \mathrm{m}^2$，
即可得x从4m变到6m时面积的变化情况。
【答案】
(1) $AB=\frac{12-x}{2}\ \mathrm{m}$
(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+6x(0＜x＜12)$（或$y=-\frac{1}{2}(x-6)^2+18(0＜x＜12)$）
(3) 面积y从$16\ \mathrm{m}^2$增大到$18\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式；二次函数解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合实际生活场景，将几何图形的周长、面积计算与二次函数知识结合，既考查了基础的代数式表示能力，也考查了二次函数性质的应用，能够锻炼学生将数学知识迁移到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
21. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”。例如，一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的两个根分别是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”。
(1) 若一元二次方程 $ x^2 - 9x + c = 0 $ 是“二倍根方程”，则 $ c = $
(2) 若 $ (x - 2)(ax - b) = 0(a ≠ 0) $ 是“二倍根方程”，求 $ \dfrac{ab}{a^2 + b^2} $ 的值。
(3) 若方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 是“二倍根方程”，求 $ b $ 与 $ c $ 之间的关系。
(1) 若一元二次方程 $ x^2 - 9x + c = 0 $ 是“二倍根方程”，则 $ c = $
$18$
。(2) 若 $ (x - 2)(ax - b) = 0(a ≠ 0) $ 是“二倍根方程”，求 $ \dfrac{ab}{a^2 + b^2} $ 的值。
(3) 若方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 是“二倍根方程”，求 $ b $ 与 $ c $ 之间的关系。
答案
21. (1) 18 (2)解方程$(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$,解得$x_1=2,x_2=\frac{b}{a}.∵(x-2)(ax-b)=0(a≠0)$是“二倍根方程”,$∴\frac{b}{a}=2×2=4$或$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}×2=1$.当$\frac{b}{a}=4$时,$\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{\frac{b}{a}}{1+(\frac{b}{a})^2}=\frac{4}{1+4^2}=\frac{4}{17}$;当$\frac{b}{a}=1$时,$\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{\frac{b}{a}}{1+(\frac{b}{a})^2}=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}$.综上所述,$\frac{ab}{a^2+b^2}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{4}{17}$ (3)设$x_1=n$与$x_2=2n$是方程$x^2+bx+c=0$的解,$∴n+2n=-b,n·2n=c$,即$n=-\frac{b}{3},n^2=\frac{c}{2},∴(-\frac{b}{3})^2=\frac{c}{2}$,即$c=\frac{2}{9}b^2$
解析
【分析】
这是结合新定义“二倍根方程”的一元二次方程综合题，解题核心是利用韦达定理（根与系数的关系）结合新定义条件求解：
(1) 已知方程是二倍根方程，可设两根为$n$和$2n$，根据韦达定理先由两根之和求出$n$的值，再通过两根之积计算$c$；
(2) 先求出方程的两个根，再分两种情况讨论：要么第二个根是第一个根的2倍，要么第一个根是第二个根的2倍，得到$\frac{b}{a}$的两个取值，再将所求代数式分子分母同除以$a^2$，代入$\frac{b}{a}$的值计算即可；
(3) 设方程的两根为$n$和$2n$，利用韦达定理分别写出两根和、两根积的表达式，消去参数$n$即可得到$b$和$c$的关系式。
【解析】
(1) 设方程$x^2 - 9x + c = 0$的两根为$n$和$2n$，由韦达定理得：
$n + 2n = 9$，解得$n=3$，
则两根为3和6，所以$c = 3×6 = 18$。
(2) 解方程$(x - 2)(ax - b) = 0(a≠0)$，得$x_1=2$，$x_2=\frac{b}{a}$，
∵该方程是“二倍根方程”，
∴分两种情况：
① 当$\frac{b}{a}=2×2=4$时，
将$\frac{ab}{a^2 + b^2}$分子分母同除以$a^2$，得$\frac{\frac{b}{a}}{1 + (\frac{b}{a})^2}$，代入得$\frac{4}{1 + 4^2}=\frac{4}{17}$；
② 当$\frac{b}{a}=2×\frac{1}{2}=1$时，
代入得$\frac{1}{1 + 1^2}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{ab}{a^2 + b^2}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{4}{17}$。
(3) 设方程$x^2 + bx + c = 0$的两根为$n$和$2n$，由韦达定理得：
$n + 2n = -b$，$n·2n = c$，
整理得$n = -\frac{b}{3}$，$n^2 = \frac{c}{2}$，
将$n = -\frac{b}{3}$代入$n^2 = \frac{c}{2}$，得$(-\frac{b}{3})^2 = \frac{c}{2}$，
化简得$c = \frac{2}{9}b^2$。
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$或$\boxed{\dfrac{4}{17}}$；(3) $\boxed{c=\dfrac{2}{9}b^2}$
【知识点】
韦达定理，新定义运算，代数式化简
【点评】
本题以新定义“二倍根方程”为载体，考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免因漏看倍数关系导致漏解，对基础知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
这是结合新定义“二倍根方程”的一元二次方程综合题，解题核心是利用韦达定理（根与系数的关系）结合新定义条件求解：
(1) 已知方程是二倍根方程，可设两根为$n$和$2n$，根据韦达定理先由两根之和求出$n$的值，再通过两根之积计算$c$；
(2) 先求出方程的两个根，再分两种情况讨论：要么第二个根是第一个根的2倍，要么第一个根是第二个根的2倍，得到$\frac{b}{a}$的两个取值，再将所求代数式分子分母同除以$a^2$，代入$\frac{b}{a}$的值计算即可；
(3) 设方程的两根为$n$和$2n$，利用韦达定理分别写出两根和、两根积的表达式，消去参数$n$即可得到$b$和$c$的关系式。
【解析】
(1) 设方程$x^2 - 9x + c = 0$的两根为$n$和$2n$，由韦达定理得：
$n + 2n = 9$，解得$n=3$，
则两根为3和6，所以$c = 3×6 = 18$。
(2) 解方程$(x - 2)(ax - b) = 0(a≠0)$，得$x_1=2$，$x_2=\frac{b}{a}$，
∵该方程是“二倍根方程”，
∴分两种情况：
① 当$\frac{b}{a}=2×2=4$时，
将$\frac{ab}{a^2 + b^2}$分子分母同除以$a^2$，得$\frac{\frac{b}{a}}{1 + (\frac{b}{a})^2}$，代入得$\frac{4}{1 + 4^2}=\frac{4}{17}$；
② 当$\frac{b}{a}=2×\frac{1}{2}=1$时，
代入得$\frac{1}{1 + 1^2}=\frac{1}{2}$。
综上，$\frac{ab}{a^2 + b^2}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{4}{17}$。
(3) 设方程$x^2 + bx + c = 0$的两根为$n$和$2n$，由韦达定理得：
$n + 2n = -b$，$n·2n = c$，
整理得$n = -\frac{b}{3}$，$n^2 = \frac{c}{2}$，
将$n = -\frac{b}{3}$代入$n^2 = \frac{c}{2}$，得$(-\frac{b}{3})^2 = \frac{c}{2}$，
化简得$c = \frac{2}{9}b^2$。
【答案】
(1) $\boxed{18}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$或$\boxed{\dfrac{4}{17}}$；(3) $\boxed{c=\dfrac{2}{9}b^2}$
【知识点】
韦达定理，新定义运算，代数式化简
【点评】
本题以新定义“二倍根方程”为载体，考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免因漏看倍数关系导致漏解，对基础知识的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
