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22. 生物生长规律的模型研究.
如图8,砗磲(chē qú)是地球上最大的双壳类软体动物,某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析,得到某砗磲样本年龄$x$(单位:岁)与平均日生长速率$y$(单位:$μ m$)的数据如下表:
| $x$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 26.0 | 19.0 |
| 9.5 | 7.0 | 5.5 |
【模型构建1】如图9,数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点,根据点的分布情况,猜想其函数图象是过$(0,26.0)$的抛物线,设解析式为$y=ax^2+bx+26$.
(1)选取两个点$(10,14.0),(20,7.0)$,求抛物线的解析式,并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据,发现后四组数据中$x$与$y$的乘积分别为$k_1=140,k_2=142.5,k_3=140,k_4=137.5$,猜想当$x≥10$时,$y$与$x$符合反比例关系,设解析式为$y=\frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差,取$k=\frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4}$,求反比例函数的解析式.
【模型应用】研究发现,正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率,请从上述模型中选择其一,说明选择的理由并计算.
如图8,砗磲(chē qú)是地球上最大的双壳类软体动物,某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析,得到某砗磲样本年龄$x$(单位:岁)与平均日生长速率$y$(单位:$μ m$)的数据如下表:
| $x$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | 26.0 | 19.0 |
| 9.5 | 7.0 | 5.5 |【模型构建1】如图9,数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点,根据点的分布情况,猜想其函数图象是过$(0,26.0)$的抛物线,设解析式为$y=ax^2+bx+26$.
(1)选取两个点$(10,14.0),(20,7.0)$,求抛物线的解析式,并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.
【模型构建2】数学小组B观察表格中数据,发现后四组数据中$x$与$y$的乘积分别为$k_1=140,k_2=142.5,k_3=140,k_4=137.5$,猜想当$x≥10$时,$y$与$x$符合反比例关系,设解析式为$y=\frac{k}{x}$.
(2)为减少偏差,取$k=\frac{k_1+k_2+k_3+k_4}{4}$,求反比例函数的解析式.
【模型应用】研究发现,正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率,请从上述模型中选择其一,说明选择的理由并计算.
答案
22. (1)将$(10,14.0),(20,7.0)$代入$y=ax^2+bx+26$，得$\begin{cases} 100a+10b+26=14.0,\\ 400a+20b+26=7.0, \end{cases}$ $∴\begin{cases} a=\frac{1}{40},\\ b=-\frac{29}{20}. \end{cases}$ $∴y=\frac{1}{40}x^2-\frac{29}{20}x+26=\frac{1}{40}(x-29)^2+\frac{199}{40}$.该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁 (2)当$x≥10,k=\frac{140+142.5+140+137.5}{4}=140,∴y=\frac{140}{x}$ (3)由模型1可知,当$x≥29$时,$y$随$x$的增大而增大,不符合砗磲的生长规律;由模型2可知,当$x≥10$时,$y$随$x$的增大而减小,符合砗磲的生长规律.$∴$选择模型2.当$x=35$时,$y=\frac{140}{35}=4.∴$该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为$4\ μ \mathrm{m}$
解析
【分析】
(1) 题目已给出抛物线的解析式形式为$y=ax^2+bx+26$，已知两个点的坐标，直接将两点代入解析式即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$就能得到抛物线解析式；由于二次项系数为正，抛物线开口向上，顶点处$y$取最小值，顶点的横坐标就是平均日生长速率最小时的年龄，可通过配方法求出顶点横坐标。
(2) 按照题目要求先计算四个$k$值的平均数得到$k$，再代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可得到解析式。
(3) 根据“砗磲平均日生长速率随年龄增长持续降低”的规律分析两个模型的增减性：模型1为开口向上的抛物线，顶点右侧$y$随$x$增大而增大，不符合生长规律；模型2为$k＞0$的反比例函数，在$x≥10$时$y$随$x$增大而减小，符合规律，因此选择模型2代入$x=35$计算即可。
【解析】
(1) 将$(10,14.0),(20,7.0)$代入$y=ax^2+bx+26$，得：
$\begin{cases} 100a+10b+26=14.0\\ 400a+20b+26=7.0 \end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=\frac{1}{40}\\ b=-\frac{29}{20} \end{cases}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{40}x^2-\frac{29}{20}x+26$，配方得$y=\frac{1}{40}(x-29)^2+\frac{199}{40}$。
因为抛物线开口向上，$x=29$时$y$取最小值，即该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁。
(2) 计算$k$的平均值：$k=\frac{140+142.5+140+137.5}{4}=140$，因此当$x≥10$时，反比例函数解析式为$y=\frac{140}{x}$。
(3) 选择模型2，理由：由模型1可知，当$x≥29$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合砗磲平均日生长速率持续降低的生长规律；模型2中$k=140＞0$，当$x≥10$时$y$随$x$的增大而减小，符合生长规律。
当$x=35$时，代入$y=\frac{140}{x}$得$y=\frac{140}{35}=4$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{40}x^2-\frac{29}{20}x+26}$，平均日生长速率最小时的年龄为29岁；
(2) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{140}{x}(x≥10)}$；
(3) 选择模型2，35岁时的平均日生长速率为$\boldsymbol{4\ μ m}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 二次函数的图象与性质
3. 反比例函数的应用
【点评】
本题结合砗磲生长的实际研究背景，考查了二次函数、反比例函数的基础应用，既要求掌握函数解析式的求解方法，也需要结合实际情境分析函数性质选择合适的模型，体现了数学在实际科学研究中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 题目已给出抛物线的解析式形式为$y=ax^2+bx+26$，已知两个点的坐标，直接将两点代入解析式即可得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$就能得到抛物线解析式；由于二次项系数为正，抛物线开口向上，顶点处$y$取最小值，顶点的横坐标就是平均日生长速率最小时的年龄，可通过配方法求出顶点横坐标。
(2) 按照题目要求先计算四个$k$值的平均数得到$k$，再代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$即可得到解析式。
(3) 根据“砗磲平均日生长速率随年龄增长持续降低”的规律分析两个模型的增减性：模型1为开口向上的抛物线，顶点右侧$y$随$x$增大而增大，不符合生长规律；模型2为$k＞0$的反比例函数，在$x≥10$时$y$随$x$增大而减小，符合规律，因此选择模型2代入$x=35$计算即可。
【解析】
(1) 将$(10,14.0),(20,7.0)$代入$y=ax^2+bx+26$，得：
$\begin{cases} 100a+10b+26=14.0\\ 400a+20b+26=7.0 \end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=\frac{1}{40}\\ b=-\frac{29}{20} \end{cases}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{40}x^2-\frac{29}{20}x+26$，配方得$y=\frac{1}{40}(x-29)^2+\frac{199}{40}$。
因为抛物线开口向上，$x=29$时$y$取最小值，即该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁。
(2) 计算$k$的平均值：$k=\frac{140+142.5+140+137.5}{4}=140$，因此当$x≥10$时，反比例函数解析式为$y=\frac{140}{x}$。
(3) 选择模型2，理由：由模型1可知，当$x≥29$时，$y$随$x$的增大而增大，不符合砗磲平均日生长速率持续降低的生长规律；模型2中$k=140＞0$，当$x≥10$时$y$随$x$的增大而减小，符合生长规律。
当$x=35$时，代入$y=\frac{140}{x}$得$y=\frac{140}{35}=4$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{40}x^2-\frac{29}{20}x+26}$，平均日生长速率最小时的年龄为29岁；
(2) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{140}{x}(x≥10)}$；
(3) 选择模型2，35岁时的平均日生长速率为$\boldsymbol{4\ μ m}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 二次函数的图象与性质
3. 反比例函数的应用
【点评】
本题结合砗磲生长的实际研究背景，考查了二次函数、反比例函数的基础应用，既要求掌握函数解析式的求解方法，也需要结合实际情境分析函数性质选择合适的模型，体现了数学在实际科学研究中的应用价值。
【难度系数】
0.7
