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23. 综合与实践.
【问题背景】排队是生活中常见的场景. 如图10,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安检通道数之间的关系.
【研究条件】条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30 min开始进行安检,经研究发现,现场总人数y关于安检时间x的函数解析式为$y=-x^2+60x+100(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请解答下列问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间为x min时,已入场人数为
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值?最大值为多少?
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10 min内(包含10 min)减少；
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道?请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
【问题背景】排队是生活中常见的场景. 如图10,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安检通道数之间的关系.
【研究条件】条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30 min开始进行安检,经研究发现,现场总人数y关于安检时间x的函数解析式为$y=-x^2+60x+100(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请解答下列问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间为x min时,已入场人数为
$18x$
,排队人数w关于安检时间x的函数解析式为$w=-x^2+42x+100$
.【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值?最大值为多少?
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10 min内(包含10 min)减少；
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道?请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
答案
23. (1) $18x$ $w=-x^2+42x+100$ (2)$w=-x^2+42x+100=-(x-21)^2+541,∴$当$x=21$时,$w$取得最大值,为$=541;∴$排队人数在第21 min达到最大值,最大值为541 (3)开设了$m$条通道,$∴w=y-6mx=-x^2+60x+100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100,∴$对称轴为直线$x=3(10-m).∵$排队人数10 min(包括10 min)内减少,$∴0≤3(10-m)≤10.∴\frac{20}{3}≤m≤10$.又$∵$最多开通9条,$∴\frac{20}{3}≤m≤9$.$∵m$为正整数,$∴m$的最小值为7,$∴$最少开7条通道
解析
【分析】
(1) 先计算已入场人数：通道数×单通道每分钟安检人数×安检时间，即可得到x分钟的已入场人数；再根据排队人数=现场总人数-已入场人数，代入总人数的解析式即可得到w关于x的函数式。
(2) 排队人数w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法将解析式化为顶点式，即可得到最大值和对应的时间。
(3) 设开设m条安检通道，先写出此时排队人数w的表达式，该二次函数开口向下，对称轴右侧函数随x增大而减小，要让10分钟内（含10分钟）排队人数减少，需对称轴≤10，结合m为正整数、最多开放9条通道的限制，即可求出最小的m值。
【解析】
(1) 3条通道每分钟可安检人数为$3×6=18$人，因此x分钟已入场人数为$18x$；
根据排队人数的计算规则，$w=y-18x=(-x^2+60x+100)-18x=-x^2+42x+100$。
(2) 对$w=-x^2+42x+100$配方：
$w=-(x^2-42x)+100=-(x^2-42x+21^2-21^2)+100=-(x-21)^2+441+100=-(x-21)^2+541$
$\because$二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=21$时，$w$取得最大值，最大值为541。
(3) 设开设$m$条安检通道，此时x分钟已入场人数为$6mx$，
则排队人数$w=y-6mx=-x^2+60x+100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{6(10-m)}{2×(-1)}=3(10-m)$，
要求排队人数在安检开始10min内（包含10min）减少，即区间$0≤ x≤10$在函数的递减区间内，因此对称轴满足$0≤3(10-m)≤10$，
解不等式得：$\frac{20}{3}≤ m≤10$，
又$\because$最多可开放9条安检通道，且$m$为正整数，
$\therefore \frac{20}{3}≤ m≤9$，$m$的最小正整数值为7，即最少开设7条通道。
【答案】
(1) $18x$；$w=-x^2+42x+100$
(2) 排队人数在第21 min达到最大值，最大值为541
(3) 可开设7条安检通道
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题以生活中常见的安检排队场景为载体，考查了二次函数的实际应用，需要考生准确建立函数模型，结合二次函数的单调性和最值性质解决问题，很好地体现了数学与生活的联系，也锻炼了考生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先计算已入场人数：通道数×单通道每分钟安检人数×安检时间，即可得到x分钟的已入场人数；再根据排队人数=现场总人数-已入场人数，代入总人数的解析式即可得到w关于x的函数式。
(2) 排队人数w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法将解析式化为顶点式，即可得到最大值和对应的时间。
(3) 设开设m条安检通道，先写出此时排队人数w的表达式，该二次函数开口向下，对称轴右侧函数随x增大而减小，要让10分钟内（含10分钟）排队人数减少，需对称轴≤10，结合m为正整数、最多开放9条通道的限制，即可求出最小的m值。
【解析】
(1) 3条通道每分钟可安检人数为$3×6=18$人，因此x分钟已入场人数为$18x$；
根据排队人数的计算规则，$w=y-18x=(-x^2+60x+100)-18x=-x^2+42x+100$。
(2) 对$w=-x^2+42x+100$配方：
$w=-(x^2-42x)+100=-(x^2-42x+21^2-21^2)+100=-(x-21)^2+441+100=-(x-21)^2+541$
$\because$二次项系数$-1＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$当$x=21$时，$w$取得最大值，最大值为541。
(3) 设开设$m$条安检通道，此时x分钟已入场人数为$6mx$，
则排队人数$w=y-6mx=-x^2+60x+100-6mx=-x^2+6(10-m)x+100$，
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{6(10-m)}{2×(-1)}=3(10-m)$，
要求排队人数在安检开始10min内（包含10min）减少，即区间$0≤ x≤10$在函数的递减区间内，因此对称轴满足$0≤3(10-m)≤10$，
解不等式得：$\frac{20}{3}≤ m≤10$，
又$\because$最多可开放9条安检通道，且$m$为正整数，
$\therefore \frac{20}{3}≤ m≤9$，$m$的最小正整数值为7，即最少开设7条通道。
【答案】
(1) $18x$；$w=-x^2+42x+100$
(2) 排队人数在第21 min达到最大值，最大值为541
(3) 可开设7条安检通道
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图象与性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题以生活中常见的安检排队场景为载体，考查了二次函数的实际应用，需要考生准确建立函数模型，结合二次函数的单调性和最值性质解决问题，很好地体现了数学与生活的联系，也锻炼了考生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
