登录
4. 将抛物线 $ y=x^2 $ 通过一次平移可得到抛物线 $ y=(x-3)^2 $. 下列平移方法正确的是(
A.向左平移3个单位长度
B.向上平移3个单位长度
C.向右平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
C
).A.向左平移3个单位长度
B.向上平移3个单位长度
C.向右平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
答案
4. C
解析
【分析】
解决这道题有两种常用思路：一是通过顶点坐标判断，抛物线平移时顶点的平移方向和距离与抛物线整体完全一致，只需要分别求出两个抛物线的顶点坐标，判断顶点的平移方式即可得到抛物线的平移方式；二是用二次函数平移口诀判断，牢记“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，直接观察自变量的变化就能快速得出平移方法。
【解析】
方法1：对比顶点坐标
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$。
从点$(0,0)$到点$(3,0)$的平移方式为向右平移3个单位长度，因此抛物线$y=x^2$向右平移3个单位长度可得到抛物线$y=(x-3)^2$。
方法2：用平移规律判断
二次函数图象平移时，自变量$x$遵循“左加右减”的规则：原函数自变量为$x$，平移后自变量变为$x-3$，即$x$减去了3，对应向右平移3个单位长度。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数部分的基础常考题，核心考察二次函数的平移规则，无论是通过顶点坐标判断还是用口诀推导都能快速解题，熟练掌握方法后几乎不会出错。
【难度系数】
0.9
解决这道题有两种常用思路：一是通过顶点坐标判断，抛物线平移时顶点的平移方向和距离与抛物线整体完全一致，只需要分别求出两个抛物线的顶点坐标，判断顶点的平移方式即可得到抛物线的平移方式；二是用二次函数平移口诀判断，牢记“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，直接观察自变量的变化就能快速得出平移方法。
【解析】
方法1：对比顶点坐标
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$。
从点$(0,0)$到点$(3,0)$的平移方式为向右平移3个单位长度，因此抛物线$y=x^2$向右平移3个单位长度可得到抛物线$y=(x-3)^2$。
方法2：用平移规律判断
二次函数图象平移时，自变量$x$遵循“左加右减”的规则：原函数自变量为$x$，平移后自变量变为$x-3$，即$x$减去了3，对应向右平移3个单位长度。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数部分的基础常考题，核心考察二次函数的平移规则，无论是通过顶点坐标判断还是用口诀推导都能快速解题，熟练掌握方法后几乎不会出错。
【难度系数】
0.9
5. 顶点为$(5,0)$且开口方向、形状与函数$y=-\frac{1}{3}x^2$的图象相同的抛物线是(
A.$y=-\frac{1}{3}(x-5)^2$
B.$y=-\frac{1}{3}x^2$
C.$y=-\frac{1}{3}(x+5)^2$
D.$y=\frac{1}{3}(x+5)^2$
A
).A.$y=-\frac{1}{3}(x-5)^2$
B.$y=-\frac{1}{3}x^2$
C.$y=-\frac{1}{3}(x+5)^2$
D.$y=\frac{1}{3}(x+5)^2$
答案
5. A
解析
【分析】
要确定符合要求的抛物线解析式，可按以下思路思考：首先，抛物线的开口方向和形状由二次项系数a决定，因此先根据已知抛物线的解析式确定a的取值；其次，题目给出了抛物线的顶点坐标，可选择二次函数的顶点式来写解析式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a：二次函数中，a的取值决定抛物线的开口方向和形状，所求抛物线与$y=-\frac{1}{3}x^2$开口方向、形状相同，因此$a=-\frac{1}{3}$，可先排除D选项（D的a为$\frac{1}{3}$，开口方向相反）。
2. 代入顶点式求解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。已知所求抛物线顶点为$(5,0)$，即$h=5$，$k=0$，将$a=-\frac{1}{3}$、$h=5$、$k=0$代入顶点式得：
$y=-\frac{1}{3}(x-5)^2$
3. 对应选项验证：B选项顶点为$(0,0)$，C选项顶点为$(-5,0)$，均不符合要求，只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次项系数的作用，二次函数顶点式，二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是掌握两个要点：一是二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，二是顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要确定符合要求的抛物线解析式，可按以下思路思考：首先，抛物线的开口方向和形状由二次项系数a决定，因此先根据已知抛物线的解析式确定a的取值；其次，题目给出了抛物线的顶点坐标，可选择二次函数的顶点式来写解析式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a：二次函数中，a的取值决定抛物线的开口方向和形状，所求抛物线与$y=-\frac{1}{3}x^2$开口方向、形状相同，因此$a=-\frac{1}{3}$，可先排除D选项（D的a为$\frac{1}{3}$，开口方向相反）。
2. 代入顶点式求解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为抛物线的顶点坐标。已知所求抛物线顶点为$(5,0)$，即$h=5$，$k=0$，将$a=-\frac{1}{3}$、$h=5$、$k=0$代入顶点式得：
$y=-\frac{1}{3}(x-5)^2$
3. 对应选项验证：B选项顶点为$(0,0)$，C选项顶点为$(-5,0)$，均不符合要求，只有A选项符合条件。
【答案】
A
【知识点】
二次项系数的作用，二次函数顶点式，二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是掌握两个要点：一是二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状，二是顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
6. 已知二次函数$y=3(x+2)^2$的图象上有三点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
B
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_3＞y_1＞y_2$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
6. B
解析
【分析】
要解这道题，可通过两种思路求解：一是直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的函数值再比较大小；二是利用二次函数的性质判断，该函数是顶点式，a=3＞0说明抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，开口向上的抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可快速比较。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(1,y₁)代入$y=3(x+2)^2$，得$y_1=3×(1+2)^2=3×9=27$；
将B(2,y₂)代入$y=3(x+2)^2$，得$y_2=3×(2+2)^2=3×16=48$；
将C(-3,y₃)代入$y=3(x+2)^2$，得$y_3=3×(-3+2)^2=3×1=3$；
因为$48＞27＞3$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：利用抛物线性质求解
二次函数$y=3(x+2)^2$中$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
计算各点到对称轴的距离：
点A到对称轴的距离：$|1-(-2)|=3$；
点B到对称轴的距离：$|2-(-2)|=4$；
点C到对称轴的距离：$|-3-(-2)|=1$；
开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大，因为$4＞3＞1$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，两种解题方法都很常用，利用对称轴和距离判断的方法能大幅提升解题速度，适合做选择题时使用。
【难度系数】
0.8
要解这道题，可通过两种思路求解：一是直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，计算出对应的函数值再比较大小；二是利用二次函数的性质判断，该函数是顶点式，a=3＞0说明抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，开口向上的抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可快速比较。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(1,y₁)代入$y=3(x+2)^2$，得$y_1=3×(1+2)^2=3×9=27$；
将B(2,y₂)代入$y=3(x+2)^2$，得$y_2=3×(2+2)^2=3×16=48$；
将C(-3,y₃)代入$y=3(x+2)^2$，得$y_3=3×(-3+2)^2=3×1=3$；
因为$48＞27＞3$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：利用抛物线性质求解
二次函数$y=3(x+2)^2$中$a=3＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
计算各点到对称轴的距离：
点A到对称轴的距离：$|1-(-2)|=3$；
点B到对称轴的距离：$|2-(-2)|=4$；
点C到对称轴的距离：$|-3-(-2)|=1$；
开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大，因为$4＞3＞1$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，两种解题方法都很常用，利用对称轴和距离判断的方法能大幅提升解题速度，适合做选择题时使用。
【难度系数】
0.8
7. 已知抛物线$y=(x+a-3)^2$的顶点在x轴的正半轴上，则a的取值范围是
$a＜3$
。答案
7. a＜3
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=(x-h)^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(h,k)$；2. 观察给定的抛物线解析式，其顶点纵坐标为0，说明顶点天然在x轴上，因此只需满足顶点横坐标为正即可符合“顶点在x轴正半轴”的要求；3. 从解析式中提取顶点横坐标的表达式，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线的顶点式$y=(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$。
将给定抛物线$y=(x+a-3)^2$变形为$y=[x-(3-a)]^2$，可得该抛物线的顶点坐标为$(3-a,0)$。
∵ 顶点在x轴的正半轴上，
∴ 顶点横坐标大于0，即$3-a＞0$，
解不等式得：$a＜3$。
【答案】
$a＜3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；解一元一次不等式；坐标轴点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次函数顶点式的掌握程度，以及结合点的位置特征列不等式求解的能力，熟练记忆顶点式对应的顶点坐标是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=(x-h)^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(h,k)$；2. 观察给定的抛物线解析式，其顶点纵坐标为0，说明顶点天然在x轴上，因此只需满足顶点横坐标为正即可符合“顶点在x轴正半轴”的要求；3. 从解析式中提取顶点横坐标的表达式，列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线的顶点式$y=(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$。
将给定抛物线$y=(x+a-3)^2$变形为$y=[x-(3-a)]^2$，可得该抛物线的顶点坐标为$(3-a,0)$。
∵ 顶点在x轴的正半轴上，
∴ 顶点横坐标大于0，即$3-a＞0$，
解不等式得：$a＜3$。
【答案】
$a＜3$
【知识点】
二次函数顶点式性质；解一元一次不等式；坐标轴点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次函数顶点式的掌握程度，以及结合点的位置特征列不等式求解的能力，熟练记忆顶点式对应的顶点坐标是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 二次函数$y=\frac{2}{3}(x+3)^2$的图象如图26.2-6所示，则$△ ABO$的面积为
$9$
。答案
8. 9
解析
【分析】
要求△ABO的面积，需先确定点A、点B的坐标：点A是二次函数图象与x轴的交点，令y=0即可求出A点横坐标，得到OA的长度；点B是二次函数图象与y轴的交点，令x=0即可求出B点纵坐标，得到OB的长度。由于∠AOB为直角，直接代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
对于二次函数$y=\frac{2}{3}(x+3)^2$，令$y=0$，则$\frac{2}{3}(x+3)^2=0$，解得$x=-3$，即$A(-3,0)$，因此$OA=3$。
2. 求点B的坐标：
令$x=0$，代入函数得$y=\frac{2}{3}×(0+3)^2=\frac{2}{3}×9=6$，即$B(0,6)$，因此$OB=6$。
3. 计算△ABO的面积：
△ABO为直角三角形，直角在原点O，因此面积$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×6=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；坐标轴上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握二次函数与坐标轴交点的求法，结合直角三角形面积公式即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
要求△ABO的面积，需先确定点A、点B的坐标：点A是二次函数图象与x轴的交点，令y=0即可求出A点横坐标，得到OA的长度；点B是二次函数图象与y轴的交点，令x=0即可求出B点纵坐标，得到OB的长度。由于∠AOB为直角，直接代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
对于二次函数$y=\frac{2}{3}(x+3)^2$，令$y=0$，则$\frac{2}{3}(x+3)^2=0$，解得$x=-3$，即$A(-3,0)$，因此$OA=3$。
2. 求点B的坐标：
令$x=0$，代入函数得$y=\frac{2}{3}×(0+3)^2=\frac{2}{3}×9=6$，即$B(0,6)$，因此$OB=6$。
3. 计算△ABO的面积：
△ABO为直角三角形，直角在原点O，因此面积$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×6=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；坐标轴上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是掌握二次函数与坐标轴交点的求法，结合直角三角形面积公式即可快速算出结果。
【难度系数】
0.8
9.(易错题)已知二次函数$y=3(x-h)^2$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，则$h$的取值范围是
$h≤1$
.答案
9. h≤1
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴直线$x=h$的右侧，$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中二次项系数$a=3＞0$，满足开口向上的特征，结合题目给出的“$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大”的条件，可推导出$x＞1$的区间需全部落在对称轴右侧，进而确定$h$的取值范围，注意不要遗漏$h=1$的边界情况。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-h)^2$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$，根据开口向上的二次函数增减性，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
3. 题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明区间$x＞1$是$x＞h$的子集，因此对称轴$x=h$需在直线$x=1$上或$x=1$的左侧，即$h≤1$。
【答案】
$h≤1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数增减性
【点评】
本题是易错题，易错点为遗漏$h=1$的情况，解题时需明确边界值是否满足条件：当$h=1$时，对称轴为$x=1$，此时$x＞1$刚好是抛物线的增区间，符合题意，因此不要漏写等号。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴直线$x=h$的右侧，$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中二次项系数$a=3＞0$，满足开口向上的特征，结合题目给出的“$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大”的条件，可推导出$x＞1$的区间需全部落在对称轴右侧，进而确定$h$的取值范围，注意不要遗漏$h=1$的边界情况。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-h)^2$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$，根据开口向上的二次函数增减性，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
3. 题目要求当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明区间$x＞1$是$x＞h$的子集，因此对称轴$x=h$需在直线$x=1$上或$x=1$的左侧，即$h≤1$。
【答案】
$h≤1$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数增减性
【点评】
本题是易错题，易错点为遗漏$h=1$的情况，解题时需明确边界值是否满足条件：当$h=1$时，对称轴为$x=1$，此时$x＞1$刚好是抛物线的增区间，符合题意，因此不要漏写等号。
【难度系数】
0.7
10. 若抛物线的顶点在 $ x $ 轴上，对称轴是直线 $ x=-1 $，与 $ y $ 轴交于点 $ A(0,-3) $。
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)写出它的顶点坐标和开口方向。
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)写出它的顶点坐标和开口方向。
答案
(1)由条件可设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2$,把 $A(0,-3)$代入得 $a×(0+1)^2=-3$,解得 $a=-3$,
∴抛物线的解析式为 $y=-3(x+1)^2$ (2)
∵抛物线的解析式为 $y=-3(x+1)^2$,
∴抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$，开口方向向下。
∴抛物线的解析式为 $y=-3(x+1)^2$ (2)
∵抛物线的解析式为 $y=-3(x+1)^2$,
∴抛物线的顶点坐标为$(-1,0)$，开口方向向下。
解析
【分析】
（1）已知抛物线顶点在x轴上，对称轴为直线x=-1，可推出顶点坐标为(-1,0)，因此选择二次函数顶点式设解析式最为简便，形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后可简化为$y=a(x+1)^2$，再将y轴交点$A(0,-3)$代入解析式即可求出参数$a$的值，得到最终解析式。
（2）二次函数顶点式中可直接读出顶点坐标，再根据二次项系数$a$的正负判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
【解析】
(1) 由抛物线顶点在x轴上，对称轴是直线$x=-1$，可知顶点坐标为$(-1,0)$，设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2$（$a≠0$），
把 $A(0,-3)$ 代入解析式得：$a×(0+1)^2=-3$，
解得 $a=-3$，
∴抛物线的解析式为 $y=-3(x+1)^2$。
(2) 由抛物线的解析式 $y=-3(x+1)^2$ 可得，
顶点坐标为$(-1,0)$，
∵二次项系数$a=-3＜0$，
∴抛物线开口方向向下。
【答案】
(1) $y=-3(x+1)^2$；(2) 顶点坐标为$(-1,0)$，开口方向向下。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题的关键是根据已知条件合理选择解析式的形式，熟练掌握顶点式中各参数的几何意义即可快速求解，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线顶点在x轴上，对称轴为直线x=-1，可推出顶点坐标为(-1,0)，因此选择二次函数顶点式设解析式最为简便，形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后可简化为$y=a(x+1)^2$，再将y轴交点$A(0,-3)$代入解析式即可求出参数$a$的值，得到最终解析式。
（2）二次函数顶点式中可直接读出顶点坐标，再根据二次项系数$a$的正负判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下。
【解析】
(1) 由抛物线顶点在x轴上，对称轴是直线$x=-1$，可知顶点坐标为$(-1,0)$，设抛物线的解析式为 $y=a(x+1)^2$（$a≠0$），
把 $A(0,-3)$ 代入解析式得：$a×(0+1)^2=-3$，
解得 $a=-3$，
∴抛物线的解析式为 $y=-3(x+1)^2$。
(2) 由抛物线的解析式 $y=-3(x+1)^2$ 可得，
顶点坐标为$(-1,0)$，
∵二次项系数$a=-3＜0$，
∴抛物线开口方向向下。
【答案】
(1) $y=-3(x+1)^2$；(2) 顶点坐标为$(-1,0)$，开口方向向下。
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的图像与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题的关键是根据已知条件合理选择解析式的形式，熟练掌握顶点式中各参数的几何意义即可快速求解，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
11. 已知抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A,B,C三点的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)试判断$△ ABC$的形状并说明理由.
(1)求A,B,C三点的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)试判断$△ ABC$的形状并说明理由.
答案
(1) 抛物线 $y=\frac{1}{5}(x-5)^2$ 的顶点为 A(5,0)，由x=0，得y=5，则点 B 的坐标为(0,5)。
∵对称轴为直线 x=5，
∴点 C 的坐标为(10,5)
(2) $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$
(3) △ABC 是等腰直角三角形.理由如下：$AB = \sqrt{5^2+5^2} = 5\sqrt{2}$，$AC = \sqrt{(10-5)^2+5^2}=5\sqrt{2}$，BC=10，则 $AB^2+AC^2=BC^2$，AB=AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形
∵对称轴为直线 x=5，
∴点 C 的坐标为(10,5)
(2) $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×10×5=25$
(3) △ABC 是等腰直角三角形.理由如下：$AB = \sqrt{5^2+5^2} = 5\sqrt{2}$，$AC = \sqrt{(10-5)^2+5^2}=5\sqrt{2}$，BC=10，则 $AB^2+AC^2=BC^2$，AB=AC，
∴△ABC 是等腰直角三角形
解析
【分析】
(1) 求三点坐标：抛物线为顶点式，可直接得到顶点A的坐标；求y轴交点B，令x=0代入解析式计算y值即可；BC平行x轴说明B、C纵坐标相同，结合抛物线对称轴为直线x=5，可知B、C关于对称轴对称，即可求出C点坐标。
(2) 求△ABC面积：先算出水平线段BC的长度，再求点A到直线BC的垂直距离，代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
(3) 判断三角形形状：先用勾股定理算出AB、AC的长度，判断是否为等腰三角形，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断是否为直角三角形，综合得出三角形形状。
【解析】
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$是顶点式，顶点A的坐标为$(5,0)$；
令$x=0$，代入解析式得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此B点坐标为$(0,5)$；
抛物线对称轴为直线$x=5$，BC平行于x轴，故B、C纵坐标均为5，且关于直线$x=5$对称，因此C点横坐标为$5+(5-0)=10$，即C点坐标为$(10,5)$。
(2) 由B(0,5)、C(10,5)得$BC=10-0=10$，点A到直线BC（$y=5$）的距离为$5-0=5$，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 高=\frac{1}{2}×10×5=25$
(3) △ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
因此$AB=AC$，△ABC为等腰三角形；
又$BC=10$，$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100=BC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ BAC=90°$，故△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$；
(2) $△ ABC$的面积为25；
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形。
【知识点】
二次函数的图象与性质，三角形面积计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数与三角形的基础综合题，解题关键是熟练掌握二次函数的基本性质，结合对称性简化坐标计算，再利用勾股定理及逆定理判断三角形形状，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 求三点坐标：抛物线为顶点式，可直接得到顶点A的坐标；求y轴交点B，令x=0代入解析式计算y值即可；BC平行x轴说明B、C纵坐标相同，结合抛物线对称轴为直线x=5，可知B、C关于对称轴对称，即可求出C点坐标。
(2) 求△ABC面积：先算出水平线段BC的长度，再求点A到直线BC的垂直距离，代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
(3) 判断三角形形状：先用勾股定理算出AB、AC的长度，判断是否为等腰三角形，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断是否为直角三角形，综合得出三角形形状。
【解析】
(1) 抛物线$y=\frac{1}{5}(x-5)^2$是顶点式，顶点A的坐标为$(5,0)$；
令$x=0$，代入解析式得$y=\frac{1}{5}×(0-5)^2=5$，因此B点坐标为$(0,5)$；
抛物线对称轴为直线$x=5$，BC平行于x轴，故B、C纵坐标均为5，且关于直线$x=5$对称，因此C点横坐标为$5+(5-0)=10$，即C点坐标为$(10,5)$。
(2) 由B(0,5)、C(10,5)得$BC=10-0=10$，点A到直线BC（$y=5$）的距离为$5-0=5$，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 高=\frac{1}{2}×10×5=25$
(3) △ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{(5-0)^2+(0-5)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
$AC=\sqrt{(10-5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$，
因此$AB=AC$，△ABC为等腰三角形；
又$BC=10$，$AB^2+AC^2=(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2=50+50=100=BC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ BAC=90°$，故△ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(5,0)$，$B(0,5)$，$C(10,5)$；
(2) $△ ABC$的面积为25；
(3) $△ ABC$是等腰直角三角形。
【知识点】
二次函数的图象与性质，三角形面积计算，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数与三角形的基础综合题，解题关键是熟练掌握二次函数的基本性质，结合对称性简化坐标计算，再利用勾股定理及逆定理判断三角形形状，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
