登录
1. 把抛物线 $ y = ax^2 $ 向
左
（$ h ＜ 0 $）或向右
（$ h ＞ 0 $）平移$ |h| $个单位长度，就可以得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 $。答案
1. 左 右
解析
【分析】
解决这道题可结合二次函数图象平移的规律思考：首先明确抛物线平移的本质是顶点的平移，抛物线$y=ax^2$的顶点坐标是$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(h,0)$，二者形状、开口方向完全相同，仅位置不同。当$h＜0$时，新顶点横坐标小于0，说明顶点向左移动了$|h|$个单位，也可通过“左加右减自变量”的口诀验证：此时$x-h=x+|h|$，自变量x加正数对应向左平移；当$h＞0$时，新顶点横坐标大于0，说明顶点向右移动了$|h|$个单位，对应自变量x减正数，符合“右减”的规律。
【解析】
通过顶点坐标变化判断平移方向：
1. 抛物线$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$。
2. 当$h＜0$时，顶点从$(0,0)$移动到$(h,0)$，横坐标减小了$|h|$，即向左平移$|h|$个单位长度。
3. 当$h＞0$时，顶点从$(0,0)$移动到$(h,0)$，横坐标增加了$|h|$，即向右平移$|h|$个单位长度。
也可通过平移口诀“左加右减（针对自变量）”验证：$y=a(x-h)^2$中自变量为$x-h$，若$h＜0$，相当于$x$加正数$|h|$，对应左移；若$h＞0$，相当于$x$减正数$h$，对应右移。
【答案】
左 右
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查二次函数图象平移的规律，只要区分清楚左右平移针对自变量、上下平移针对常数项的判断逻辑，记牢“左加右减、上加下减”的口诀就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解决这道题可结合二次函数图象平移的规律思考：首先明确抛物线平移的本质是顶点的平移，抛物线$y=ax^2$的顶点坐标是$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(h,0)$，二者形状、开口方向完全相同，仅位置不同。当$h＜0$时，新顶点横坐标小于0，说明顶点向左移动了$|h|$个单位，也可通过“左加右减自变量”的口诀验证：此时$x-h=x+|h|$，自变量x加正数对应向左平移；当$h＞0$时，新顶点横坐标大于0，说明顶点向右移动了$|h|$个单位，对应自变量x减正数，符合“右减”的规律。
【解析】
通过顶点坐标变化判断平移方向：
1. 抛物线$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$。
2. 当$h＜0$时，顶点从$(0,0)$移动到$(h,0)$，横坐标减小了$|h|$，即向左平移$|h|$个单位长度。
3. 当$h＞0$时，顶点从$(0,0)$移动到$(h,0)$，横坐标增加了$|h|$，即向右平移$|h|$个单位长度。
也可通过平移口诀“左加右减（针对自变量）”验证：$y=a(x-h)^2$中自变量为$x-h$，若$h＜0$，相当于$x$加正数$|h|$，对应左移；若$h＞0$，相当于$x$减正数$h$，对应右移。
【答案】
左 右
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查二次函数图象平移的规律，只要区分清楚左右平移针对自变量、上下平移针对常数项的判断逻辑，记牢“左加右减、上加下减”的口诀就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数 $y=a(x-h)^2$ 的图象和性质：
二次函数 $y=a(x-h)^2$ $a＞0$ $a＜0$
图象 $h＞0$
$h＜0$
开口方向 开口向
对称轴 图1
顶点坐标
函数的增减性 当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而
最值 当 $x=$
二次函数 $y=a(x-h)^2$ $a＞0$ $a＜0$
图象 $h＞0$
$h＜0$
开口方向 开口向
上
开口向下
对称轴 图1
直线x=h
顶点坐标
(h,0)
函数的增减性 当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而
减小
；当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
当 $x＜h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
；当 $x＞h$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
最值 当 $x=$
h
时，$y$ 有最小
值为0 当 $x=$h
时，$y$ 有最大
值为0答案
2. 上 下 直线x=h (h,0) 减小 增大 增大 减小 h 小 h 大
解析
【分析】
解决本题可结合二次函数顶点式的特点逐步推导：①首先由二次项系数a的符号判断开口方向，a的正负直接决定抛物线开口朝向；②顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为使括号内代数式为0的x对应的直线，顶点为对称轴与抛物线的交点，可直接得出对称轴和顶点坐标；③结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时规律相反；④最值同样结合开口方向判断，开口向上有最小值，开口向下有最大值，最值均在顶点处取得。
【解析】
1. 开口方向：当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下；
2. 对称轴：对于$y=a(x-h)^2$，对称轴为直线$x=h$；
3. 顶点坐标：当$x=h$时，$y=0$，因此顶点坐标为$(h,0)$；
4. 函数增减性：
$a＞0$时开口向上，$x＜h$时，y随x的增大而减小；$x＞h$时，y随x的增大而增大；
$a＜0$时开口向下，$x＜h$时，y随x的增大而增大；$x＞h$时，y随x的增大而减小；
5. 最值：
$a＞0$时开口向上，顶点为最低点，$x=h$时y有最小值为0；
$a＜0$时开口向下，顶点为最高点，$x=h$时y有最大值为0。
【答案】
上 下 直线x=h (h,0) 减小 增大 增大 减小 h 小 h 大
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础识记类题型，考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，熟练掌握参数a、h对二次函数图象、增减性、最值的影响，是后续解决二次函数综合问题的基础。
【难度系数】
0.9
解决本题可结合二次函数顶点式的特点逐步推导：①首先由二次项系数a的符号判断开口方向，a的正负直接决定抛物线开口朝向；②顶点式$y=a(x-h)^2$的对称轴为使括号内代数式为0的x对应的直线，顶点为对称轴与抛物线的交点，可直接得出对称轴和顶点坐标；③结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左侧函数递减、右侧递增，开口向下时规律相反；④最值同样结合开口方向判断，开口向上有最小值，开口向下有最大值，最值均在顶点处取得。
【解析】
1. 开口方向：当$a＞0$时，二次函数开口向上；当$a＜0$时，二次函数开口向下；
2. 对称轴：对于$y=a(x-h)^2$，对称轴为直线$x=h$；
3. 顶点坐标：当$x=h$时，$y=0$，因此顶点坐标为$(h,0)$；
4. 函数增减性：
$a＞0$时开口向上，$x＜h$时，y随x的增大而减小；$x＞h$时，y随x的增大而增大；
$a＜0$时开口向下，$x＜h$时，y随x的增大而增大；$x＞h$时，y随x的增大而减小；
5. 最值：
$a＞0$时开口向上，顶点为最低点，$x=h$时y有最小值为0；
$a＜0$时开口向下，顶点为最高点，$x=h$时y有最大值为0。
【答案】
上 下 直线x=h (h,0) 减小 增大 增大 减小 h 小 h 大
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于基础识记类题型，考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的图象与性质，熟练掌握参数a、h对二次函数图象、增减性、最值的影响，是后续解决二次函数综合问题的基础。
【难度系数】
0.9
例 已知二次函数 $y=2(x-1)^2$ 的图象如图26.2−5所示，求$△ ABO$的面积。
解 ∵二次函数 $y=2(x-1)^2$，
∴顶点A的坐标为$(1,0)$，点B的坐标为$(0,2)$。
∴$OA=1$，$OB=2$。
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×1×2=1$，
即$△ ABO$的面积是1。
方法感悟 1. 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点坐标为$(h,0)$。
2. 注意平移的口诀：左加右减。这个变化与点的变化是相反的。
图26.2−5
解 ∵二次函数 $y=2(x-1)^2$，
∴顶点A的坐标为$(1,0)$，点B的坐标为$(0,2)$。
∴$OA=1$，$OB=2$。
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×1×2=1$，
即$△ ABO$的面积是1。
方法感悟 1. 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点坐标为$(h,0)$。
2. 注意平移的口诀：左加右减。这个变化与点的变化是相反的。
图26.2−5
答案
解析
【分析】
要计算$△ ABO$的面积，首先观察到$△ ABO$是直角在原点$O$的直角三角形，仅需求出两条直角边$OA$、$OB$的长度即可。$OA$的长度等于点$A$横坐标的绝对值，$OB$的长度等于点$B$纵坐标的绝对值，解题思路如下：1. 根据二次函数顶点式的特征直接得到顶点$A$的坐标；2. 令$x=0$代入函数解析式，求出图象与$y$轴交点$B$的坐标；3. 代入直角三角形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求点$A$的坐标：
已知二次函数$y=2(x-1)^2$是顶点式$y=a(x-h)^2$，该形式抛物线的顶点坐标为$(h,0)$，因此顶点$A$的坐标为$(1,0)$，可得$OA=1$。
2. 求点$B$的坐标：
点$B$是抛物线与$y$轴的交点，$y$轴上的点横坐标为$0$，将$x=0$代入$y=2(x-1)^2$，计算得$y=2×(0-1)^2=2$，因此$B$点坐标为$(0,2)$，可得$OB=2$。
3. 计算$△ ABO$的面积：
$△ ABO$为直角三角形，直角边为$OA$和$OB$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×1×2=1$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数与坐标轴交点求法
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数的基本性质与简单几何面积计算的结合，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征，以及函数与坐标轴交点的求解方法，整体计算量小，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算$△ ABO$的面积，首先观察到$△ ABO$是直角在原点$O$的直角三角形，仅需求出两条直角边$OA$、$OB$的长度即可。$OA$的长度等于点$A$横坐标的绝对值，$OB$的长度等于点$B$纵坐标的绝对值，解题思路如下：1. 根据二次函数顶点式的特征直接得到顶点$A$的坐标；2. 令$x=0$代入函数解析式，求出图象与$y$轴交点$B$的坐标；3. 代入直角三角形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求点$A$的坐标：
已知二次函数$y=2(x-1)^2$是顶点式$y=a(x-h)^2$，该形式抛物线的顶点坐标为$(h,0)$，因此顶点$A$的坐标为$(1,0)$，可得$OA=1$。
2. 求点$B$的坐标：
点$B$是抛物线与$y$轴的交点，$y$轴上的点横坐标为$0$，将$x=0$代入$y=2(x-1)^2$，计算得$y=2×(0-1)^2=2$，因此$B$点坐标为$(0,2)$，可得$OB=2$。
3. 计算$△ ABO$的面积：
$△ ABO$为直角三角形，直角边为$OA$和$OB$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×1×2=1$
【答案】
$1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数与坐标轴交点求法
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数的基本性质与简单几何面积计算的结合，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特征，以及函数与坐标轴交点的求解方法，整体计算量小，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
1. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y=2(x-2)^2$ 的图象可能是(
D
). 答案
1. D
解析
【分析】
要判断二次函数的图象，可先通过两步判断：首先根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合顶点式确定顶点坐标，逐一比对选项即可得到答案。首先二次项系数a=2＞0，可先排除开口向下的选项；再结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得本题抛物线顶点坐标是$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴，再排除顶点位置不符合的选项，即可选出正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=2(x-2)^2$的二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=2$，$k=0$，因此抛物线顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在$x$轴正半轴上。
3. 比对剩余选项：
选项A顶点在$x$轴负半轴，不符合；选项C顶点在$y$轴上（$x=0$处），不符合；选项D开口向上，顶点在$x$轴正半轴，符合函数图象特征。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象特征，通过开口方向、顶点位置两个维度即可快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数的图象，可先通过两步判断：首先根据二次项系数的符号判断开口方向，再结合顶点式确定顶点坐标，逐一比对选项即可得到答案。首先二次项系数a=2＞0，可先排除开口向下的选项；再结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得本题抛物线顶点坐标是$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴，再排除顶点位置不符合的选项，即可选出正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=2(x-2)^2$的二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=2$，$k=0$，因此抛物线顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在$x$轴正半轴上。
3. 比对剩余选项：
选项A顶点在$x$轴负半轴，不符合；选项C顶点在$y$轴上（$x=0$处），不符合；选项D开口向上，顶点在$x$轴正半轴，符合函数图象特征。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象特征，通过开口方向、顶点位置两个维度即可快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数 $y=3(x-1)^2$ 的顶点坐标是(
A.$(0,-1)$
B.$(0,1)$
C.$(-1,0)$
D.$(1,0)$
D
).A.$(0,-1)$
B.$(0,1)$
C.$(-1,0)$
D.$(1,0)$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定二次函数的顶点坐标，首先判断给出的二次函数解析式的形式，本题给出的是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下顶点坐标直接对应为$(h,k)$，解题时只需对应找出解析式中的$h$、$k$值即可，注意符号不要出错：解析式中是$(x-h)$，所以括号里的常数项符号要反过来得到$h$的值，没有单独的常数项时$k=0$。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
本题中二次函数为$y=3(x-1)^2$，对比顶点式可得：$a=3$，$h=1$，$k=0$，因此该二次函数的顶点坐标为$(1,0)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础题，主要考查二次函数顶点式的直接应用，解题关键是牢记顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，尤其要注意$h$的符号不要判断错误。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数的顶点坐标，首先判断给出的二次函数解析式的形式，本题给出的是顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下顶点坐标直接对应为$(h,k)$，解题时只需对应找出解析式中的$h$、$k$值即可，注意符号不要出错：解析式中是$(x-h)$，所以括号里的常数项符号要反过来得到$h$的值，没有单独的常数项时$k=0$。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
本题中二次函数为$y=3(x-1)^2$，对比顶点式可得：$a=3$，$h=1$，$k=0$，因此该二次函数的顶点坐标为$(1,0)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础题，主要考查二次函数顶点式的直接应用，解题关键是牢记顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，尤其要注意$h$的符号不要判断错误。
【难度系数】
0.9
3. 对于二次函数 $y=2(x-m)^2$ 的图象，下列说法不正确的是(
A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=m$
C.二次函数的最小值为0
D.与 $x$ 轴无公共点
D
).A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=m$
C.二次函数的最小值为0
D.与 $x$ 轴无公共点
答案
3. D
解析
【分析】
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时我们可以先明确给定函数中各参数的值，再逐一验证每个选项的说法是否正确：①开口方向由$a$的正负决定；②对称轴为直线$x=h$；③最值由开口方向和$k$的值共同决定；④判断与$x$轴的交点可令$y=0$，看方程是否有实数解。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：二次函数$y=2(x-m)^2$中$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
B选项：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，本题中$h=m$，故对称轴是直线$x=m$，B说法正确，不符合题意；
C选项：抛物线开口向上，顶点坐标为$(m,0)$，因此二次函数的最小值为顶点的纵坐标0，C说法正确，不符合题意；
D选项：令$y=0$，可得$2(x-m)^2=0$，解得$x=m$，即抛物线与$x$轴的交点为$(m,0)$，有公共点，故D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数对应的图像特征，只要熟练掌握相关性质，通过逐一验证选项即可快速得出答案，判断函数与坐标轴交点时可通过解方程的方式辅助验证。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时我们可以先明确给定函数中各参数的值，再逐一验证每个选项的说法是否正确：①开口方向由$a$的正负决定；②对称轴为直线$x=h$；③最值由开口方向和$k$的值共同决定；④判断与$x$轴的交点可令$y=0$，看方程是否有实数解。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：二次函数$y=2(x-m)^2$中$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
B选项：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，本题中$h=m$，故对称轴是直线$x=m$，B说法正确，不符合题意；
C选项：抛物线开口向上，顶点坐标为$(m,0)$，因此二次函数的最小值为顶点的纵坐标0，C说法正确，不符合题意；
D选项：令$y=0$，可得$2(x-m)^2=0$，解得$x=m$，即抛物线与$x$轴的交点为$(m,0)$，有公共点，故D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式中各参数对应的图像特征，只要熟练掌握相关性质，通过逐一验证选项即可快速得出答案，判断函数与坐标轴交点时可通过解方程的方式辅助验证。
【难度系数】
0.9
