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3. 比较二次函数$y=3x^2$与$y=-\frac{1}{3}x^2 +1$的图象，则(
A.开口大小相同
B.开口方向相同
C.对称轴相同
D.顶点坐标相同
C
).A.开口大小相同
B.开口方向相同
C.对称轴相同
D.顶点坐标相同
答案
3. C
解析
【分析】
要比较两个二次函数的图象性质，首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的相关性质：$a$的正负决定开口方向，$|a|$的大小决定开口大小，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。解题时先分别确定两个函数的$a、b、c$取值，再逐一计算对应的性质参数，最后和选项比对即可得出答案。
【解析】
先分别分析两个二次函数的性质：
1. 对于二次函数$y=3x^2$：
系数$a=3＞0$，$b=0$，$c=0$
开口方向：向上；开口大小由$|a|=3$决定；
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=0$（即y轴）；
顶点坐标：$(0,0)$。
2. 对于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2 +1$：
系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，$b=0$，$c=1$
开口方向：向下；开口大小由$|a|=\frac{1}{3}$决定；
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=0$（即y轴）；
顶点坐标：$(0,1)$。
再逐一判断选项：
A. 开口大小相同：两个函数$|a|$不相等，开口大小不同，错误；
B. 开口方向相同：一个向上一个向下，方向不同，错误；
C. 对称轴相同：两个函数对称轴都是$x=0$（y轴），正确；
D. 顶点坐标相同：分别为$(0,0)$和$(0,1)$，不相同，错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，只要熟练掌握二次函数各项系数与图象特征的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要比较两个二次函数的图象性质，首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的相关性质：$a$的正负决定开口方向，$|a|$的大小决定开口大小，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。解题时先分别确定两个函数的$a、b、c$取值，再逐一计算对应的性质参数，最后和选项比对即可得出答案。
【解析】
先分别分析两个二次函数的性质：
1. 对于二次函数$y=3x^2$：
系数$a=3＞0$，$b=0$，$c=0$
开口方向：向上；开口大小由$|a|=3$决定；
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=0$（即y轴）；
顶点坐标：$(0,0)$。
2. 对于二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2 +1$：
系数$a=-\frac{1}{3}＜0$，$b=0$，$c=1$
开口方向：向下；开口大小由$|a|=\frac{1}{3}$决定；
对称轴：$x=-\frac{b}{2a}=0$（即y轴）；
顶点坐标：$(0,1)$。
再逐一判断选项：
A. 开口大小相同：两个函数$|a|$不相等，开口大小不同，错误；
B. 开口方向相同：一个向上一个向下，方向不同，错误；
C. 对称轴相同：两个函数对称轴都是$x=0$（y轴），正确；
D. 顶点坐标相同：分别为$(0,0)$和$(0,1)$，不相同，错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，只要熟练掌握二次函数各项系数与图象特征的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
4. 将抛物线$y=x^2 -4$向上平移3个单位长度后，所得抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=x^2+3$
B.$y=x^2-7$
C.$y=x^2+1$
D.$y=x^2-1$
D
）。A.$y=x^2+3$
B.$y=x^2-7$
C.$y=x^2+1$
D.$y=x^2-1$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的上下平移，解题时首先回忆函数图象平移的核心规律：上下平移时改变的是函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就给原函数的整体值加几，向下平移则减几。本题已知原抛物线解析式和平移方向、单位，直接套用该规律计算即可得到新的函数解析式。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的“上加下减”原则：
原抛物线解析式为$y=x^2 -4$，将其向上平移3个单位长度，只需在原解析式的常数项部分加上3，可得新解析式为：
$y=x^2 -4 +3 = x^2 -1$
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移类基础题，核心考察对平移法则的掌握，解题时注意区分上下平移“上加下减”和左右平移“左加右减”的适用场景，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的上下平移，解题时首先回忆函数图象平移的核心规律：上下平移时改变的是函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就给原函数的整体值加几，向下平移则减几。本题已知原抛物线解析式和平移方向、单位，直接套用该规律计算即可得到新的函数解析式。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的“上加下减”原则：
原抛物线解析式为$y=x^2 -4$，将其向上平移3个单位长度，只需在原解析式的常数项部分加上3，可得新解析式为：
$y=x^2 -4 +3 = x^2 -1$
因此对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移，函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移类基础题，核心考察对平移法则的掌握，解题时注意区分上下平移“上加下减”和左右平移“左加右减”的适用场景，避免混淆法则导致出错。
【难度系数】
0.9
5. 下列图象可能是函数$y=ax^2+a$（$a≠0$）的图象的是（
B
）。答案
5. B
解析
【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+a(a≠0)$的图象，我们可以从两个角度思考：一是先判断图象与x轴的交点个数，可通过解方程$ax^2+a=0$是否有实根来判断；二是分类讨论$a$的正负，结合二次函数开口方向、与y轴交点、顶点位置等性质验证选项。首先看交点：令$y=0$，方程变形为$x^2=-1$，没有实数解，说明函数图象和x轴没有交点，直接排除有交点的选项，再验证剩余选项是否符合性质即可。
【解析】
解：对于函数$y=ax^2+a(a≠0)$：
1. 先判断图象与x轴的交点：令$y=0$，则$ax^2+a=0$，整理得$x^2=-1$。
由于对任意实数$x$，$x^2≥0$恒成立，因此该方程没有实数根，即二次函数图象与$x$轴没有交点。
观察选项：A中图象与x轴有2个交点，C、D中图象与x轴各有1个交点，均不符合，排除A、C、D。
2. 验证B选项：当$a＜0$时，二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{0}{2a}=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,a)$，在y轴负半轴，且函数最大值为$a＜0$，整个图象位于x轴下方，与B选项图象完全一致。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题时可以先通过解方程判断图象与x轴的交点个数，快速排除错误选项，再结合开口方向、顶点位置等性质验证剩余选项，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断二次函数$y=ax^2+a(a≠0)$的图象，我们可以从两个角度思考：一是先判断图象与x轴的交点个数，可通过解方程$ax^2+a=0$是否有实根来判断；二是分类讨论$a$的正负，结合二次函数开口方向、与y轴交点、顶点位置等性质验证选项。首先看交点：令$y=0$，方程变形为$x^2=-1$，没有实数解，说明函数图象和x轴没有交点，直接排除有交点的选项，再验证剩余选项是否符合性质即可。
【解析】
解：对于函数$y=ax^2+a(a≠0)$：
1. 先判断图象与x轴的交点：令$y=0$，则$ax^2+a=0$，整理得$x^2=-1$。
由于对任意实数$x$，$x^2≥0$恒成立，因此该方程没有实数根，即二次函数图象与$x$轴没有交点。
观察选项：A中图象与x轴有2个交点，C、D中图象与x轴各有1个交点，均不符合，排除A、C、D。
2. 验证B选项：当$a＜0$时，二次函数开口向下，对称轴为$x=-\frac{0}{2a}=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,a)$，在y轴负半轴，且函数最大值为$a＜0$，整个图象位于x轴下方，与B选项图象完全一致。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题时可以先通过解方程判断图象与x轴的交点个数，快速排除错误选项，再结合开口方向、顶点位置等性质验证剩余选项，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 已知抛物线 $ y = x^2 + a - 3 $ 的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是
a＜3
.答案
6. a＜3
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：该形式的抛物线顶点坐标为$(0,k)$。本题中抛物线解析式为$y=x^2+a-3$，对应可得顶点纵坐标为$a-3$。顶点在x轴下方，说明顶点的纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y = x^2 + a - 3$，其属于$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0, a-3)$。
∵ 顶点在x轴的下方，x轴上点的纵坐标为0，位于x轴下方的点纵坐标小于0，
∴ $a - 3 ＜ 0$，
解得：$a ＜ 3$。
【答案】
$a＜3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；点的坐标与位置关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的判定以及根据点的位置关系列不等式求解，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的基本性质：该形式的抛物线顶点坐标为$(0,k)$。本题中抛物线解析式为$y=x^2+a-3$，对应可得顶点纵坐标为$a-3$。顶点在x轴下方，说明顶点的纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
对于抛物线$y = x^2 + a - 3$，其属于$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0, a-3)$。
∵ 顶点在x轴的下方，x轴上点的纵坐标为0，位于x轴下方的点纵坐标小于0，
∴ $a - 3 ＜ 0$，
解得：$a ＜ 3$。
【答案】
$a＜3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；点的坐标与位置关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数顶点坐标的判定以及根据点的位置关系列不等式求解，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 若抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$的形状相同，开口方向相反，且顶点是$(0,-3)$，则该抛物线对应的函数解析式是
$y=-2x^2-3$
。答案
7. $y=-2x^2-3$
解析
【分析】
解题可按三步推导：①先根据抛物线形状、开口方向确定二次项系数a的值：抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定；②再根据顶点坐标确定常数项c的值：抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$；③最后将a、c代入解析式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$形状相同，开口方向相反
∴ 二次项系数满足$|a|=2$，且$a$与$2$符号相反，即$a=-2$
又
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点为$(0,-3)$，而$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$
∴ $c=-3$
将$a=-2$、$c=-3$代入解析式，得$y=-2x^2-3$
【答案】
$y=-2x^2-3$
【知识点】
二次项系数的意义，二次函数顶点坐标，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数中参数$a$和$c$的几何意义，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推导：①先根据抛物线形状、开口方向确定二次项系数a的值：抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，开口方向由二次项系数的符号决定；②再根据顶点坐标确定常数项c的值：抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$；③最后将a、c代入解析式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+c$与$y=2x^2$形状相同，开口方向相反
∴ 二次项系数满足$|a|=2$，且$a$与$2$符号相反，即$a=-2$
又
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点为$(0,-3)$，而$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$
∴ $c=-3$
将$a=-2$、$c=-3$代入解析式，得$y=-2x^2-3$
【答案】
$y=-2x^2-3$
【知识点】
二次项系数的意义，二次函数顶点坐标，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数中参数$a$和$c$的几何意义，熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 抛物线 $ y = ax^2 - 4(a ＞ 0) $ 上有两点 $ A(1, y_1), B(3, y_2) $，则 $ y_1 $
＜
$ y_2 $.（填“＞”“＜”或“=”）答案
8. ＜
解析
【分析】
解题有两种思路：①利用二次函数增减性判断：先确定抛物线的开口方向和对称轴，该抛物线无一次项，对称轴为y轴（x=0），已知a＞0，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大，再比较两点横坐标大小就能判断函数值大小；②代入计算法：把两点横坐标分别代入解析式求出y₁、y₂的表达式，作差后结合a＞0的条件判断大小。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性判断
抛物线$y = ax^2 - 4$的对称轴为$x=0$（y轴），
∵$a＞0$，
∴抛物线开口向上，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵A、B两点横坐标满足$1＜3$，且都大于0，
∴$y_1 ＜ y_2$。
方法二：代入作差比较
将$A(1,y_1)$代入解析式得：$y_1 = a×1^2 -4 = a-4$，
将$B(3,y_2)$代入解析式得：$y_2 = a×3^2 -4 = 9a-4$，
作差得$y_2 - y_1 = (9a-4)-(a-4) = 8a$，
∵$a＞0$，
∴$8a＞0$，即$y_2 ＞ y_1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数图象性质、函数值比较
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题思路灵活，既可以通过二次函数增减性快速判断，也可以通过代入计算作差比较，重点考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路：①利用二次函数增减性判断：先确定抛物线的开口方向和对称轴，该抛物线无一次项，对称轴为y轴（x=0），已知a＞0，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大，再比较两点横坐标大小就能判断函数值大小；②代入计算法：把两点横坐标分别代入解析式求出y₁、y₂的表达式，作差后结合a＞0的条件判断大小。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性判断
抛物线$y = ax^2 - 4$的对称轴为$x=0$（y轴），
∵$a＞0$，
∴抛物线开口向上，
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵A、B两点横坐标满足$1＜3$，且都大于0，
∴$y_1 ＜ y_2$。
方法二：代入作差比较
将$A(1,y_1)$代入解析式得：$y_1 = a×1^2 -4 = a-4$，
将$B(3,y_2)$代入解析式得：$y_2 = a×3^2 -4 = 9a-4$，
作差得$y_2 - y_1 = (9a-4)-(a-4) = 8a$，
∵$a＞0$，
∴$8a＞0$，即$y_2 ＞ y_1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
二次函数的增减性、二次函数图象性质、函数值比较
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题思路灵活，既可以通过二次函数增减性快速判断，也可以通过代入计算作差比较，重点考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.9
9.(易错题)对于二次函数$y=-2x^2+4$，当$-2＜x≤1$时，y的取值范围是
$-4＜y≤4$
。答案
9. $-4＜y≤4$
解析
【分析】
要确定二次函数在指定区间内y的取值范围，首先分析二次函数的基本性质：该函数a=-2＜0，开口向下，对称轴为y轴（x=0），顶点为最高点，对应y的最大值。再结合给定x的区间-2＜x≤1，找到区间内离对称轴最远的点计算最小y值，同时注意区间端点的开闭情况，判断端点处的y值是否能取到。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+4$：
1. 分析函数基本性质：$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,4)$，所以函数的最大值为$4$，且$x=0$在区间$-2＜x≤1$内，因此$y$的最大值可取到$4$。
2. 计算区间端点对应的y值：
当$x=-2$时，代入得$y=-2×(-2)^2+4=-4$，由于$x＞-2$，因此$y＞-4$；
当$x=1$时，代入得$y=-2×1^2+4=2$，$2＞-4$。
3. 结合开口向下的性质：离对称轴$x=0$越远，y值越小，区间内x无限接近-2时y无限接近-4，因此y的取值范围是$-4＜y≤4$。
【答案】
$-4＜y≤4$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数取值范围的易错题，易错点有两个：一是忽略x=-2为开区间，错误认为y可以取到-4；二是错误判断最小值的位置，误认为x=1时取最小值。解题时要先明确抛物线的开口方向、对称轴，再结合区间的开闭情况确定最值是否可取。
【难度系数】
0.6
要确定二次函数在指定区间内y的取值范围，首先分析二次函数的基本性质：该函数a=-2＜0，开口向下，对称轴为y轴（x=0），顶点为最高点，对应y的最大值。再结合给定x的区间-2＜x≤1，找到区间内离对称轴最远的点计算最小y值，同时注意区间端点的开闭情况，判断端点处的y值是否能取到。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+4$：
1. 分析函数基本性质：$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,4)$，所以函数的最大值为$4$，且$x=0$在区间$-2＜x≤1$内，因此$y$的最大值可取到$4$。
2. 计算区间端点对应的y值：
当$x=-2$时，代入得$y=-2×(-2)^2+4=-4$，由于$x＞-2$，因此$y＞-4$；
当$x=1$时，代入得$y=-2×1^2+4=2$，$2＞-4$。
3. 结合开口向下的性质：离对称轴$x=0$越远，y值越小，区间内x无限接近-2时y无限接近-4，因此y的取值范围是$-4＜y≤4$。
【答案】
$-4＜y≤4$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数取值范围的易错题，易错点有两个：一是忽略x=-2为开区间，错误认为y可以取到-4；二是错误判断最小值的位置，误认为x=1时取最小值。解题时要先明确抛物线的开口方向、对称轴，再结合区间的开闭情况确定最值是否可取。
【难度系数】
0.6
10. 如图26.2-3，抛物线$y=x^2 - 4$与x轴交于A，B两点，顶点为C.点P为抛物线上一点，且位于x轴上方，$△ PAB$的面积等于4.
(1) A（
(2)求点P的坐标.
(1) A（
-2
，0
），B（2
，0
），C（0
，-4
）；(2)求点P的坐标.
答案
10. (1) $(-2,0)$ $(2,0)$ $(0,-4)$ (2)
∵抛物线 $y=x^2-4$,令 $y=0$,得到 $x=2$ 或 $-2$,即 $A(-2,0),B(2,0),∴AB=4. ∵S_{△ PAB}=4$,设点 $P$ 的纵坐标为 $b$,
∴ $\frac{1}{2}×4|b|=4$,即 $|b|=2,∴b=2$ 或 $-2. ∵$ 点 $P$ 位于 $x$ 轴上方,
∴ $b＞0. ∴b=2$. 令 $x^2-4=2$,解得 $x=±\sqrt{6},∴$ 点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{6},2),(-\sqrt{6},2)$
∵抛物线 $y=x^2-4$,令 $y=0$,得到 $x=2$ 或 $-2$,即 $A(-2,0),B(2,0),∴AB=4. ∵S_{△ PAB}=4$,设点 $P$ 的纵坐标为 $b$,
∴ $\frac{1}{2}×4|b|=4$,即 $|b|=2,∴b=2$ 或 $-2. ∵$ 点 $P$ 位于 $x$ 轴上方,
∴ $b＞0. ∴b=2$. 令 $x^2-4=2$,解得 $x=±\sqrt{6},∴$ 点 $P$ 的坐标为 $(\sqrt{6},2),(-\sqrt{6},2)$
解析
【分析】
(1)求抛物线与x轴交点A、B的坐标，只需令y=0，解一元二次方程得到x的值即可；抛物线$y=x^2-4$的对称轴为y轴，求顶点C的坐标只需令x=0，代入解析式得到y的值即可。
(2)求解点P坐标，先计算A、B两点的距离得到△PAB的底边长，再根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，结合点P在x轴上方的条件确定纵坐标的取值，最后将纵坐标代入抛物线解析式求解横坐标即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=x^2-4$，令$y=0$，则$x^2-4=0$，解得$x=\pm2$，因此A点坐标为$(-2,0)$，B点坐标为$(2,0)$；
该抛物线对称轴为y轴（$x=0$），令$x=0$，得$y=0-4=-4$，因此顶点C的坐标为$(0,-4)$。
(2) 先计算AB的长度：$AB=2-(-2)=4$。
设点P的纵坐标为$b$，因为点P位于x轴上方，所以$b＞0$，△PAB的高即为$b$。
根据三角形面积公式$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知$S_{△ PAB}=4$，得：
$\frac{1}{2}×4× b=4$，解得$b=2$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=x^2-4$，得$x^2-4=2$，即$x^2=6$，解得$x=\pm\sqrt{6}$。
因此点P的坐标为$(\sqrt{6},2)$、$(-\sqrt{6},2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$，$\boldsymbol{(2,0)}$，$\boldsymbol{(0,-4)}$
(2) $\boldsymbol{(\sqrt{6},2)}$，$\boldsymbol{(-\sqrt{6},2)}$
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求法，二次函数顶点坐标，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题时要注意利用坐标轴上点的坐标特征求交点，结合面积公式确定未知点的纵坐标，最后代入解析式求解即可，需注意题干中“点P在x轴上方”的限制条件，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
(1)求抛物线与x轴交点A、B的坐标，只需令y=0，解一元二次方程得到x的值即可；抛物线$y=x^2-4$的对称轴为y轴，求顶点C的坐标只需令x=0，代入解析式得到y的值即可。
(2)求解点P坐标，先计算A、B两点的距离得到△PAB的底边长，再根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，结合点P在x轴上方的条件确定纵坐标的取值，最后将纵坐标代入抛物线解析式求解横坐标即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=x^2-4$，令$y=0$，则$x^2-4=0$，解得$x=\pm2$，因此A点坐标为$(-2,0)$，B点坐标为$(2,0)$；
该抛物线对称轴为y轴（$x=0$），令$x=0$，得$y=0-4=-4$，因此顶点C的坐标为$(0,-4)$。
(2) 先计算AB的长度：$AB=2-(-2)=4$。
设点P的纵坐标为$b$，因为点P位于x轴上方，所以$b＞0$，△PAB的高即为$b$。
根据三角形面积公式$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知$S_{△ PAB}=4$，得：
$\frac{1}{2}×4× b=4$，解得$b=2$。
将$y=2$代入抛物线解析式$y=x^2-4$，得$x^2-4=2$，即$x^2=6$，解得$x=\pm\sqrt{6}$。
因此点P的坐标为$(\sqrt{6},2)$、$(-\sqrt{6},2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-2,0)}$，$\boldsymbol{(2,0)}$，$\boldsymbol{(0,-4)}$
(2) $\boldsymbol{(\sqrt{6},2)}$，$\boldsymbol{(-\sqrt{6},2)}$
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求法，二次函数顶点坐标，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题时要注意利用坐标轴上点的坐标特征求交点，结合面积公式确定未知点的纵坐标，最后代入解析式求解即可，需注意题干中“点P在x轴上方”的限制条件，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
11. 如图26.2-4，抛物线$y=-x^2+4$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形.
（1）直接写出点D的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的函数解析式.
（1）直接写出点D的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的函数解析式.
答案
11. (1)当 $x=0$ 时, $y=4$,即 $C(0,4)$. 当 $y=0$ 时, $-x^2+4=0$,解得 $x=±2,∴B(2,0),A(-2,0). ∴AB=4. ∵$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $CD// AB,CD=AB=4,∴D(-4,4)$ (2)设平移后的抛物线为 $y=-x^2+4+m$,则 $4=-(-4)^2+4+m$,解得 $m=16,∴$ 平移后抛物线的解析式为 $y=-x^2+20$
∴ $CD// AB,CD=AB=4,∴D(-4,4)$ (2)设平移后的抛物线为 $y=-x^2+4+m$,则 $4=-(-4)^2+4+m$,解得 $m=16,∴$ 平移后抛物线的解析式为 $y=-x^2+20$
解析
【分析】
（1）求解点D坐标的思路：首先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，令x=0可得C点坐标，令y=0可得A、B两点坐标，计算出AB的长度；再利用平行四边形对边平行且相等的性质，CD和AB平行（即CD平行于x轴），因此D点纵坐标和C点相同，结合CD=AB的长度即可求出D点横坐标。
（2）求解平移后抛物线解析式的思路：抛物线上下平移时二次项系数不变，仅常数项遵循“上加下减”的规律，因此设平移后的解析式为原解析式加上平移距离m，将D点坐标代入解析式求出m的值，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
（1）求抛物线与坐标轴的交点：
当$x=0$时，代入$y=-x^2+4$得$y=4$，即$C(0,4)$；
当$y=0$时，代入$y=-x^2+4$得$-x^2+4=0$，解得$x=\pm2$，因此$A(-2,0)$，$B(2,0)$，可得$AB=2-(-2)=4$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD// AB$，$CD=AB=4$。
∵$AB$在x轴上，
∴$CD$平行于x轴，D点纵坐标与C点相等为4；又D在C左侧，因此D点横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
（2）设抛物线向上平移了$m$个单位，根据二次函数平移规律，平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+m$。
将$D(-4,4)$代入解析式得：
$4=-(-4)^2+4+m$
计算得$4=-16+4+m$，解得$m=16$。
因此平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{D(-4,4)}$
(2) $\boldsymbol{y=-x^2+20}$
【知识点】
1. 抛物线与坐标轴交点求解
2. 平行四边形的性质
3. 二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数基础综合题，结合了二次函数性质、平行四边形性质、函数平移三个考点，解题核心是先确定抛物线上关键点坐标，再结合对应性质逐步推导，属于常规基础题型，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）求解点D坐标的思路：首先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，令x=0可得C点坐标，令y=0可得A、B两点坐标，计算出AB的长度；再利用平行四边形对边平行且相等的性质，CD和AB平行（即CD平行于x轴），因此D点纵坐标和C点相同，结合CD=AB的长度即可求出D点横坐标。
（2）求解平移后抛物线解析式的思路：抛物线上下平移时二次项系数不变，仅常数项遵循“上加下减”的规律，因此设平移后的解析式为原解析式加上平移距离m，将D点坐标代入解析式求出m的值，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
（1）求抛物线与坐标轴的交点：
当$x=0$时，代入$y=-x^2+4$得$y=4$，即$C(0,4)$；
当$y=0$时，代入$y=-x^2+4$得$-x^2+4=0$，解得$x=\pm2$，因此$A(-2,0)$，$B(2,0)$，可得$AB=2-(-2)=4$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD// AB$，$CD=AB=4$。
∵$AB$在x轴上，
∴$CD$平行于x轴，D点纵坐标与C点相等为4；又D在C左侧，因此D点横坐标为$0-4=-4$，即$D(-4,4)$。
（2）设抛物线向上平移了$m$个单位，根据二次函数平移规律，平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+m$。
将$D(-4,4)$代入解析式得：
$4=-(-4)^2+4+m$
计算得$4=-16+4+m$，解得$m=16$。
因此平移后抛物线的解析式为$y=-x^2+4+16=-x^2+20$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{D(-4,4)}$
(2) $\boldsymbol{y=-x^2+20}$
【知识点】
1. 抛物线与坐标轴交点求解
2. 平行四边形的性质
3. 二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数基础综合题，结合了二次函数性质、平行四边形性质、函数平移三个考点，解题核心是先确定抛物线上关键点坐标，再结合对应性质逐步推导，属于常规基础题型，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. 抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位长度后所得抛物线对应的函数解析式为
$y=3x^2-2$
。答案
12. $y=3x^2-2$
解析
【分析】
拿到这道题，首先回忆二次函数图像平移的核心规律：抛物线平移只改变位置，不改变形状和开口方向，因此二次项系数a保持不变。其次区分平移类型：上下平移是对函数整体的y值进行调整，遵循“上加下减”的规则，即向上平移几个单位就给原解析式加几，向下平移几个单位就给原解析式减几。本题是向下平移2个单位，直接在原解析式基础上减2即可得到新的解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线平移时，形状、开口方向均不发生改变，即二次项系数a不变，原抛物线解析式为$y=3x^2$，$a=3$。
又
∵ 抛物线向下平移2个单位长度，根据上下平移“上加下减”的规律，需在原函数解析式的基础上减去平移的单位长度2。
∴ 平移后所得抛物线的函数解析式为$y=3x^2-2$。
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查二次函数的平移规律，解题关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规则，注意上下平移是对函数整体进行加减，左右平移是对自变量x进行加减，避免混淆两种平移的操作对象即可得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先回忆二次函数图像平移的核心规律：抛物线平移只改变位置，不改变形状和开口方向，因此二次项系数a保持不变。其次区分平移类型：上下平移是对函数整体的y值进行调整，遵循“上加下减”的规则，即向上平移几个单位就给原解析式加几，向下平移几个单位就给原解析式减几。本题是向下平移2个单位，直接在原解析式基础上减2即可得到新的解析式。
【解析】
解：
∵ 抛物线平移时，形状、开口方向均不发生改变，即二次项系数a不变，原抛物线解析式为$y=3x^2$，$a=3$。
又
∵ 抛物线向下平移2个单位长度，根据上下平移“上加下减”的规律，需在原函数解析式的基础上减去平移的单位长度2。
∴ 平移后所得抛物线的函数解析式为$y=3x^2-2$。
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查二次函数的平移规律，解题关键是熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规则，注意上下平移是对函数整体进行加减，左右平移是对自变量x进行加减，避免混淆两种平移的操作对象即可得分。
【难度系数】
0.9
