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例1 如图1，AB是$\odot O$的直径，$∠ E=35°$，则$∠ BOD=(\quad)$.
A. $80°$
B. $100°$
C. $120°$
D. $110°$
解析 在$\odot O$中，$∠ AOD=2∠ E=70°$，$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-70°=110°$. 故选D.
A. $80°$
B. $100°$
C. $120°$
D. $110°$
解析 在$\odot O$中，$∠ AOD=2∠ E=70°$，$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-70°=110°$. 故选D.
答案
解析 在$\odot O$中，$∠ AOD=2∠ E=70°$，$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-70°=110°$. 故选D.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，$∠ E$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，根据圆周角定理可先求出$∠ AOD$的度数；再结合$AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB$为平角等于$180°$，利用邻补角的关系即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
在$\odot O$中，$∠ E$和$∠ AOD$都对应弧$AD$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOD=2∠ E=2×35°=70°$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，所以$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-70°=110°$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.圆周角定理
2.邻补角计算
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，解题的核心是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，结合圆周角定理和邻补角的性质即可求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，$∠ E$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，根据圆周角定理可先求出$∠ AOD$的度数；再结合$AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB$为平角等于$180°$，利用邻补角的关系即可求出$∠ BOD$的度数。
【解析】
在$\odot O$中，$∠ E$和$∠ AOD$都对应弧$AD$，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOD=2∠ E=2×35°=70°$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$，所以$∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-70°=110°$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.圆周角定理
2.邻补角计算
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，解题的核心是准确识别同弧所对的圆周角和圆心角，结合圆周角定理和邻补角的性质即可求解，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
例2 如图3，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，AC，OB交于点D。若$AD=CD=8$，$OD=6$，则BD的长为(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
).A.5
B.4
C.3
D.2
答案
解析
∵AD=CD=8,
∴AC⊥OB.在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8,OD=6$,则有$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$\therefore OB=OA=10$. $\therefore BD=OB-OD=10-6=4$.故选B.
∵AD=CD=8,
∴AC⊥OB.在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8,OD=6$,则有$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$\therefore OB=OA=10$. $\therefore BD=OB-OD=10-6=4$.故选B.
解析
【分析】
首先观察已知条件，AD=CD说明点D是弦AC的中点，OB是过圆心O的半径，可结合垂径定理的推论得到OB⊥AC，即△AOD是直角三角形；接下来在Rt△AOD中利用勾股定理求出半径OA的长度，而OB和OA都是圆的半径长度相等，最后用OB的长度减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
∵AD=CD=8，OB是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理的推论可得$OB⊥ AC$，即$∠ ADO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8$，$OD=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=10$，
∴$BD=OB-OD=10-6=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求出圆的半径即可求解，解题思路直接，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，AD=CD说明点D是弦AC的中点，OB是过圆心O的半径，可结合垂径定理的推论得到OB⊥AC，即△AOD是直角三角形；接下来在Rt△AOD中利用勾股定理求出半径OA的长度，而OB和OA都是圆的半径长度相等，最后用OB的长度减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
∵AD=CD=8，OB是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理的推论可得$OB⊥ AC$，即$∠ ADO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8$，$OD=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=10$，
∴$BD=OB-OD=10-6=4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求出圆的半径即可求解，解题思路直接，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解析 ∵AD=CD=8,∴AC⊥OB.在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8,OD=6$,则有$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，$\therefore OB=OA=10$. $\therefore BD=OB-OD=10-6=4$.故选B.
答案
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AD=CD入手，可判定△ACD为等腰三角形，结合图形隐含的三线合一条件可得AC⊥OB，进而得到Rt△AOD；接下来在直角三角形中，已知两条直角边AD、OD的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边OA的长度；再根据同圆的半径相等，可知OB=OA，最后用OB的长度减去OD的长度，就能计算出BD的长度，对应选出正确选项。
【解析】
∵AD=CD，
∴△ACD为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥OB，即△AOD为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8,OD=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
∵OA、OB为同圆的半径，
∴$OB=OA=10$
∴$BD=OB-OD=10-6=4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何计算类题型，核心考察学生对等腰三角形、勾股定理、圆的基础性质的综合运用能力，解题逻辑链条清晰，计算难度低，属于几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件AD=CD入手，可判定△ACD为等腰三角形，结合图形隐含的三线合一条件可得AC⊥OB，进而得到Rt△AOD；接下来在直角三角形中，已知两条直角边AD、OD的长度，直接运用勾股定理即可求出斜边OA的长度；再根据同圆的半径相等，可知OB=OA，最后用OB的长度减去OD的长度，就能计算出BD的长度，对应选出正确选项。
【解析】
∵AD=CD，
∴△ACD为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC⊥OB，即△AOD为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=8,OD=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
∵OA、OB为同圆的半径，
∴$OB=OA=10$
∴$BD=OB-OD=10-6=4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何计算类题型，核心考察学生对等腰三角形、勾股定理、圆的基础性质的综合运用能力，解题逻辑链条清晰，计算难度低，属于几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.8
如图2，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ BAC = 50°$，则$∠ OBC=$
40
°。答案
40
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求角的关系：①已知∠BAC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理可先求出同弧对应的圆心角∠BOC的度数；②OB和OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，两个底角相等；③结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×50°=100°$
∵OB、OC是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题核心是先利用圆周角定理建立已知角和圆心角的关系，再结合等腰三角形特征计算角度，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和所求角的关系：①已知∠BAC是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理可先求出同弧对应的圆心角∠BOC的度数；②OB和OC都是圆的半径，长度相等，因此△OBC是等腰三角形，两个底角相等；③结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×50°=100°$
∵OB、OC是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题核心是先利用圆周角定理建立已知角和圆心角的关系，再结合等腰三角形特征计算角度，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
如图4，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点D，且$AB=8$，$OC=5$，则DC的长是
2
.答案
2
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤展开：首先，观察图形已知半径OC垂直弦AB，首先想到垂径定理，可求出弦AB的一半AD的长度；其次，连接半径OA，得到直角三角形ODA，OA是圆的半径，长度和OC相等，结合已求出的AD长度，用勾股定理即可算出OD的长度；最后，DC的长度等于半径OC减去OD的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在Rt$△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$DC=OC - OD=5 - 3=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是通过垂径定理得到直角三角形，结合勾股定理求解，要熟练掌握“遇到弦的垂线时连接半径构造直角三角形”这一常用辅助线做法。
【难度系数】
0.8
解题思路可按以下步骤展开：首先，观察图形已知半径OC垂直弦AB，首先想到垂径定理，可求出弦AB的一半AD的长度；其次，连接半径OA，得到直角三角形ODA，OA是圆的半径，长度和OC相等，结合已求出的AD长度，用勾股定理即可算出OD的长度；最后，DC的长度等于半径OC减去OD的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$，
在Rt$△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$DC=OC - OD=5 - 3=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是通过垂径定理得到直角三角形，结合勾股定理求解，要熟练掌握“遇到弦的垂线时连接半径构造直角三角形”这一常用辅助线做法。
【难度系数】
0.8
