1.(乌鲁木齐模拟)综合与实践
如图①,在正方形ABCD中,AB=4,在BC上取一点G,使得$CG=\sqrt{3}$,以CG为边作正方形CEFG,连接AF,DG.
【问题发现】
(1)$\frac{DG}{AF}$的值是,直线DG,AF所夹锐角的度数是.
【拓展探究】
(2)如图②,正方形CEFG绕点C顺时针旋转时,上述结论是否成立?若成立,请结合图②证明;若不成立,请说明理由.

1. (1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $45°$
(2) 结论成立. 证明: 如图,连接CF,连接AC交DG于点O,延长DG交AF于点H.
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=∠CGF=∠DCB=90°,GC=GF,∠ACB+∠FCG+∠BCG=45°+45°+∠BCG=90°+∠BCG=∠ACF. 又
∵∠DCG=∠BCD+∠BCG=90°+∠BCG,
∴∠ACF=∠DCG. 由勾股定理,得$AC=\sqrt{2}DC$,$FC=\sqrt{2}CG$,
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{FC}{CG}=\sqrt{2}$,
∴△DGC∽△AFC,
∴$\frac{DG}{AF}=\frac{CG}{CF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,∠FAC=∠GDC. 又
∵∠AOH=∠DOC,
∴∠AHO=∠ACD=45°,
∴结论仍然成立.

2. 综合与探究
【问题情境】如图①，在△ABC中，AB=BC，BO是△ABC的中线. 将△BOC绕点O顺时针旋转得到△DOE，其中点B，C的对应点分别为点D，E，线段DE分别与线段OA，AB交于点M，F，线段OE与AB交于点N.
【推理证明】(1)求证：△AON≌△EOM.
【拓展延伸】(2)在旋转过程中，当OD//AB时，如图②，判断DO与DF的数量关系，并说明理由.

2. (1) 证明:
∵AB=BC,BO是△ABC的中线,
∴∠A=∠C,AO=CO.
∵△BOC旋转得到△DOE,
∴∠E=∠C,EO=CO,
∴∠A=∠E,AO=EO.
∵∠AON=∠EOM,
∴在△AON和△EOM中,$\begin{cases} ∠A=∠E \\ AO=EO \\ ∠AON=∠EOM \end{cases}$,
∴△AON≌△EOM(ASA).
(2) 解: DO=DF. 理由如下:
∵AB=BC,BO是△ABC的中线,
∴∠ABO=∠CBO.
∵△BOC旋转得到△DOE,
∴∠D=∠CBO,OD=OB,
∴∠ABO=∠D.
∵OD//AB,
∴∠D=∠AFD,
∴∠AFD=∠ABO,
∴DF//OB,
∴四边形DFBO是平行四边形.
∵OD=OB,
∴四边形DFBO是菱形,
∴DO=DF.