3. (乌鲁木齐一模)综合与实践
【思考尝试】
(1) 如图①, 在 $Rt△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC = 90°$, 点 $D$ 在 $BC$ 上, 连接 $AD$, 将线段 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 得到线段 $AE$, 连接 $CE$, $DE$. 用等式写出线段 $BD$, $CD$, $AD$ 之间的数量关系, 并说明理由.
【实践探究】
(2) 如图②, 小新受此问题启发, 思考提出新的问题: 在等腰直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$ 上取两点 $F$, $G$, 连接 $AF$, $AG$, 使 $∠ FAG = 45°$. 用等式写出线段 $BF$, $FG$, $GC$ 之间的数量关系, 并说明理由.

3. (1) $BD^2 + CD^2 = 2AD^2$. 理由: 由题意,得△ABC与△ADE均为等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,$DE=\sqrt{2}AD$.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中,$\begin{cases} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{cases}$,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE=45°,
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°,
∴$CE^2 + CD^2 = DE^2 = (\sqrt{2}AD)^2=2AD^2$,
∴$BD^2+CD^2=2AD^2$.
(2) $FG^2=BF^2+GC^2$. 理由: 如图,把AF绕点A逆时针旋转90°得到AF',连接F'G,F'C,
∴∠F'AC=∠BAF,AF'=AF.
∵AB=AC,
∴△AF'C≌△AFB(SAS),
∴F'C=FB,∠F'CA=∠B=∠ACB=45°,
∴∠F'CG=∠F'CA+∠BCA=45°+45°=90°. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠FAG=45°,
∴∠BAF+∠GAC=45°,
∴∠F'AC+∠GAC=∠F'AG=45°,
∴∠F'AG=∠FAG=45°. 又
∵AG=AG,AF'=AF,
∴△F'AG≌△FAG(SAS),
∴F'G=FG. 在Rt△F'CG中,$F'G^2=F'C^2+GC^2$,
∴$FG^2=BF^2+GC^2$.

4.(乌鲁木齐模拟)【问题情境】
如图,四边形ABCD是正方形.过点C在正方形ABCD的外侧作射线CN,∠DCN=α(0°＜α＜90°).作点D关于射线CN的对称点E,线段DE交射线CN于点M,连接BE交直线CN于点F.
【探究发现】
(1)当0°＜α≤45°时,∠EFN的度数为多少度?
【猜想论证】
(2)在(1)的条件下,猜想线段BF,CF,EF之间的数量关系,并证明你的猜想.

4. (1) 如图,连接CE.
∵点E是点D关于射线CN的对称点,
∴CD=CE,∠DCN=∠ECN=α.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,BC=CD,
∴BC=CE,
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{1}{2}×[180°-(90°+2α)]=45°-α$,
∴∠EFN=∠ECN+∠CEB=α+45°-α=45°.
(2) $BF=\sqrt{2}CF+EF$. 证明: 如图,过点C作CH⊥CF,交BE于点H.
∵∠EFN=45°,
∴∠CHF=∠HFC=45°,
∴$HF=\sqrt{2}CF$,∠BHC=∠EFC=135°.
∵∠CBH=∠CEF,
∴△CBH≌△CEF(AAS),
∴CH=CF,BH=EF,
∴$BF=HF+BH=\sqrt{2}CF+EF$.